2.2.2等差數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用解析課件

1、2.2.2 等差數(shù)列的性質(zhì)及其應(yīng)用第1頁，共29頁。等差數(shù)列的項與序號的關(guān)系兩項關(guān)系多項關(guān)系通項公式的推廣：anam_(m，nN*)項的運算性質(zhì)：若mnpq(m，n，p，qN*)，則_apaq1(nm)daman第2頁，共29頁。 ：在等差數(shù)列an中，如果mn2w(m，n，wN)，那么aman2aw是否成立？反過來呢？提示：若mn2w(m，n，wN)，則amana1(m1)da1(n1)d2a1(w1)d2aw，顯然成立；在等差數(shù)列an中，若aman2aw，不一定有mn2w，如常數(shù)列第3頁，共29頁。等差數(shù)列的性質(zhì)(1)等差數(shù)列的項的對稱性在有窮等差數(shù)列中，與首末兩項“等距離”的兩項之和等于首

2、項與末項的和即a1ana2an1a3an2(2)若an、bn分別是公差為d，d的等差數(shù)列，則有(3)an的公差為d，則d0an為遞增數(shù)列；d0）， a1a32a2， a1a2a3153a2， a25， 又a1a2a380， a1a3(5d)(5d)16d3或d3(舍去)， a12a210d35， a11a12a133a12105. 第8頁，共29頁。 (1)三個數(shù)成等差數(shù)列，和為6，積為24，求這三個數(shù)；(2)四個數(shù)成遞增等差數(shù)列，中間兩數(shù)的和為2，首末兩項的積為8，求這四個數(shù)【例2】第9頁，共29頁。解(1)法一 設(shè)首項為a，公差為d， 這三個數(shù)分別為a，ad，a2d， 依題意，3a3d6且

3、a(ad)(a2d)24， a2d，代入a(ad)(a2d)24， 得2(2d)(2d)24,4d212， 即d216，于是d4， 三個數(shù)為2,2,6或6,2，2. 法二 設(shè)等差數(shù)列的等差中項為a，公差為d， 則這三個數(shù)分別為ad，a，ad. 依題意，3a6且a(ad)(ad)24， a2，代入a(ad)(ad)24， 化簡得d216，于是d4， 故三個數(shù)為2,2,6或6,2，2.第10頁，共29頁。(2) 法一 若設(shè)這四個數(shù)為a，ad，a2d，a3d(公差為d)， 依題意，2a3d2，且a(a3d)8， 化簡得d24，所以d2或2. 又四個數(shù)成遞增等差數(shù)列，所以d0，所以d2， 故所求的四個

4、數(shù)為2,0,2,4.第11頁，共29頁。法二 設(shè)這四個數(shù)為a3d，ad，ad，a3d(公差為2d)， 依題意，2a2，且(a3d)(a3d)8， 即a1，a29d28， d21，d1或d1. 又四個數(shù)成遞增等差數(shù)列，所以d0， d1， 故所求的四個數(shù)為2,0,2,4.第12頁，共29頁。 利用等差數(shù)列的定義巧設(shè)未知量可以簡化計算一般地有如下規(guī)律：當?shù)炔顢?shù)列an的項數(shù)n為奇數(shù)時，可設(shè)中間一項為a，再以公差為d向兩邊分別設(shè)項：a2d，ad，a，ad，a2d，；當項數(shù)為偶數(shù)項時，可設(shè)中間兩項為ad，ad，再以公差為2d向兩邊分別設(shè)項：a3d，ad，ad，a3d，這樣可減少計算量第13頁，共29頁。(

5、1)求證：數(shù)列bn為等差數(shù)列(2)試問a1a2是否是數(shù)列an中的項？如果是，是第幾項；如果不是，請說明理由第14頁，共29頁。第15頁，共29頁。即a1a2a11，a1a2是數(shù)列an中的項，是第11項第16頁，共29頁。 在等差數(shù)列an中：(1)若a35，則a12a4_；(2)若a158，a6020，則a75_.解析(1)a12a4a1(a3a5)(a1a5)a32a3a33a315.(2)法一設(shè)首項為a1，公差為d.a158，a6020，【變式1】 第17頁，共29頁。法三an為等差數(shù)列，a15，a30，a45，a60，a75成等差數(shù)列，設(shè)公差為d，則a15為首項，a60為第4項a60a15

6、3d，即2083d，d4.從而a75a60d20424.答案(1)15(2)24第18頁，共29頁。 已知構(gòu)成等差數(shù)列的四個數(shù)之和為26， 第二個數(shù)與第三個數(shù)之積為40， 求這個等差數(shù)列解設(shè)此四數(shù)依次為a3d，ad，ad，a3d.【變式2】 第19頁，共29頁。(1)求證：數(shù)列an2n為等差數(shù)列；(2)設(shè)數(shù)列bn滿足bn2log2(an1n)，求bn的通項公式解(1)(an12n1)(an2n)an1an2n1(與n無關(guān))，故數(shù)列an2n為等差數(shù)列，且公差d1.(2)由(1)可知，an2n(a12)(n1)dn1，故an2nn1，所以bn2log2(an1n)2n.【變式3】 在數(shù)列an中，a

7、12，an1an2n1.第20頁，共29頁。【例4】 甲、乙兩人連續(xù)6年對某縣農(nóng)村養(yǎng)雞業(yè)規(guī)模進行調(diào)查，提供兩個不同的信息圖如圖所示甲調(diào)查表明：從第1年每個養(yǎng)雞場出產(chǎn)1萬只雞上升到第6年平均每個雞場出產(chǎn)2萬只雞乙調(diào)查表明：由第1年養(yǎng)雞場個數(shù)30個減少到第6年10個題型四等差數(shù)列的實際應(yīng)用第21頁，共29頁。請您根據(jù)提供的信息說明，求(1)第2年養(yǎng)雞場的個數(shù)及全縣出產(chǎn)雞的總只數(shù)；(2)到第6年這個縣的養(yǎng)雞業(yè)比第1年是擴大了還是縮小了？請說明理由(3)哪一年的規(guī)模最大？請說明理由審題指導 本題為圖表信息題，綜合考查了等差數(shù)列的知識和等差數(shù)列的函數(shù)特征規(guī)范解答 由題干圖可知，從第1年到第6年平均每個雞

8、場出產(chǎn)的雞數(shù)成等差數(shù)列，記為an，公差為d1，且a11，a62；從第1年到第6年的養(yǎng)雞場個數(shù)也成等差數(shù)列，記為bn，公差為d2，且b130，b610；從第1年到第6年全縣出產(chǎn)雞的總只數(shù)記為數(shù)列cn，則cnanbn. (2分)第22頁，共29頁。所以c2a2b21.22631.2. (6分)(2)c6a6b621020c1a1b130，所以到第6年這個縣的養(yǎng)雞業(yè)比第1年縮小了 (8分)第23頁，共29頁。(3)an1(n1)0.20.2n0.8，bn30(n1)(4)4n34(1n6)，cnanbn(0.2n0.8)(4n34)0.8n23.6n27.2(1n6) (10分)所以(1)第2年養(yǎng)雞

9、場的個數(shù)為26個，全縣出產(chǎn)雞的總只數(shù)是31.2萬只；(2)到第6年這個縣的養(yǎng)雞業(yè)比第1年縮小了；(3)第2年的規(guī)模最大(12分)第24頁，共29頁?！绢}后反思】 本題可以按照解析幾何中的直線問題求解，但是，如果換個角度，利用構(gòu)造等差數(shù)列模型來解決，更能體現(xiàn)出等差數(shù)列這一函數(shù)特征，讓人回味無窮題型設(shè)計的開放和解答的開放是時代的要求這種解答方式的轉(zhuǎn)變，同學們要在學習中體會，在體會中升華第25頁，共29頁。 某公司經(jīng)銷一種數(shù)碼產(chǎn)品，第1年獲利200萬元，從第2年起由于市場競爭等方面的原因，利潤每年比上一年減少20萬元，按照這一規(guī)律如果公司不開發(fā)新產(chǎn)品，也不調(diào)整經(jīng)營策略，從哪一年起，該公司經(jīng)銷這一產(chǎn)品

10、將虧損？解由題意可知，設(shè)第1年獲利為a1，第n年獲利為an，則anan120，(n2，nN*)，每年獲利構(gòu)成等差數(shù)列an，且首項a1200，公差d20，所以ana1(n1)d200(n1)(20)20n220.若an0，則該公司經(jīng)銷這一產(chǎn)品將虧損，由an20n22011，即從第12年起，該公司經(jīng)銷這一產(chǎn)品將虧損【變式4】 第26頁，共29頁。 數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，學習時要善于利用函數(shù)的思想來解決問題，運用方程的思想解等差數(shù)列是常見題型，解決此類問題需要抓住基本量a1，an，n，d，掌握好設(shè)未知數(shù)、列方程、解方程三個環(huán)節(jié)，常通過“設(shè)而不求，整體代入”來簡化運算 已知等差數(shù)列an的公差是正數(shù)，并且a3a712，a4a64，求數(shù)列an的通項公式思路分析 其實這樣的題目我們已有解決它的辦法，但如果細心觀察，我們發(fā)現(xiàn)得到a3，a7的和與積，于是聯(lián)想到一元二次方程及根與系數(shù)的關(guān)系方法技巧函數(shù)與方程思想在等差數(shù)列中的應(yīng)用【示例】第27頁，共29頁。解由等差數(shù)列an的性質(zhì)知：a3a7a4a6，從而a3a712，a3a74，故a3，a7是方程x24x120的兩根，又d0，解之