2021年高考北師版(理科)數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：第7章第7節(jié)課時(shí)分層訓(xùn)練44空間向量在立體幾何中的應(yīng)

1、課時(shí)分層訓(xùn)練（四十四）空間向量在立體幾何中的應(yīng)用A組根底達(dá)標(biāo)（建議用時(shí)：30分鐘）一、選擇題.平面a內(nèi)有一點(diǎn)M（1, 1,2）,平面a的一個(gè)法向量為n=（6, 3,6）, 那么以下點(diǎn)P中，在平面a內(nèi)的是（）【導(dǎo)學(xué)號(hào)：57962361】A. P(2,3,3)B. P(2,0,1)C. P(4,4,0)D. P(3, 3,4)A 逐一驗(yàn)證法，對(duì)于選項(xiàng) A, MP = (1,4,1), . .MP n = 612+6=0, a MP，n, 點(diǎn)P在平面a內(nèi)，同理可驗(yàn)證其他三個(gè)點(diǎn)不在平面a內(nèi).（2021西安調(diào)研）如圖7-7-9,在空間直角坐標(biāo)系中有直三棱柱 ABC-A1B1C1,CA=CC = 2CB,

2、那么直線BC1與直線AB1夾角的余弦值為（圖 7-7-9A.D.2.55B.A 不妨設(shè) CB=1,那么 B(0,0,1), A(2,0,0), C1 = (0,2,0), B1(0,2,1), . BC1 = (0,2, 1), AB1 = (2,2,1).一 一 B C1 A B10+4-1 亞 TOC o 1-5 h z cosBC1, AB1= =匚.上一nt IV5X35|BCi| |ABi|、. .1 一一、，3.正萬體ABCD-AiBiCiDi的棱長為a,點(diǎn)M在ACi上且AM = MCi, N為 TOC o 1-5 h z BiB的中點(diǎn)，那么|M岫為()a 2im6A.aB.ac

3、i5ci5C.-aD- 3 aA 以D為原點(diǎn)建立如下圖的空間直角坐標(biāo)系D-xyz,a那么 A(a,0,0), Ci(0, a, a), Na, a, 2 .設(shè) M(x, y, z), 一 ， 一 , i .點(diǎn) M 在 ACi 上且 AM =.MCi,(x-a, y, z) = ；(x, a-y, a-z),a- 3=ya- 3/日 2a得m y,a a3，3 .|MN戶al2+ a-32+ 2a 2=V2ia4.正三棱柱ABC-AiBiCi的側(cè)棱長與底面邊長相等,那么ABi與側(cè)面ACCiAi所成角的正弦值等于()A.4BB- 4C.22A 如下圖建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正三棱柱的棱長為2, O(

4、0,0,0), bM3, 0,0), A(0, i,0), Bi(g, 0,2),那么 ABi = (V3, i,2),那么 BO=(一/，0,0)r為側(cè)面ACCiAi的法向量.即sin 8=11| =乎.應(yīng)選A. |ABi|BO|5.在正方體ABCD-AiBiCiDi中，點(diǎn)E為BBi的中點(diǎn)，那么平面 AiED與平 TOC o 1-5 h z 面ABCD所成的銳二面角的余弦值為()【導(dǎo)學(xué)號(hào)：579623622A.2B-3C3D位C. 3D2B 以A為原點(diǎn)建立如下圖的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz,設(shè)棱長為1,那么Ai(0,0,1),11E1, 0, 2，D(0，1，), A1D=(0,1, 1),

5、A1E= 1, 0, -2 .yz=0,即10設(shè)平面A1ED的一個(gè)法向量為m = (1, y, z),A1D m=0, ;有A1E n1 = 0, y=2，解得z=2.；n1= (1,2,2).平面ABCD的一個(gè)法向量為n2= (0,0,1).22 cos =二，n3X1 3， ，一、2即所成的銳二面角的余弦值為2. 3二、填空題 . 一 6.點(diǎn)P是平行四邊形ABCD所在的平面外一點(diǎn)，如果AB=(2, 1, 4), ，一一、* 一一AD=(4,2,0), AP=(1,2, 1).對(duì)于結(jié)論： APLAB;APLAD;AP是平_. 一 . 、面ABCD的法向量；AP/ BD.其中正確的序號(hào)是 .

6、/AB AP = 0, ADAP = 0,.ABXAP, ADXAP,那么正確.又AB與AD不平行.AP是平面ABCD的法向量，那么正確.由于 BD=AD AB= (2,3,4), AP=(1,2, 1),.BD 與 AP 不平行，故錯(cuò)?？?1氏.7. (2021 鄭州模擬)在長方體 ABCD-A1B1C1D1 中，AB = 2, BC = AA1=1,那么DiCi與平面A1BC1所成角的正弦值為【導(dǎo)學(xué)號(hào)：57962363】1鼻以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DDi為z軸，建立空間直角坐標(biāo) 3系，設(shè)n=(x, y, z)為平面AiBCi的法向量,那么 n AiB = 0, n AiCi =

7、 0,2yz=0,即令z=2,那么y=1, x = 2,x+2y= 0,于是 n = (2,1,2), DiCi=(0,2,0).，七 1設(shè)所求線面角為 &那么sin a=|cosn, DiCi1=3.在一直角坐標(biāo)系中，A(1,6), B(3, 8),現(xiàn)沿x軸將坐標(biāo)平面折成60 的二面角，那么折疊后 A, B兩點(diǎn)間的距離為 .【導(dǎo)學(xué)號(hào):57962364】217 如圖為折疊后的圖形，其中作 ACXCD, BDXCD,那么 AC = 6, BD = 8, CD = 4,兩異面直線AC, BD所成的角為60 : 故由 AB= AC + CD+DB,彳#AB|2=AC+CD + DB|2 = 68,.

8、 .雨=2.17.三、解答題. （2021南昌模擬）如圖7-7-10,四棱錐 S-ABCD中，SDL底面 ABCD, AB/DC, ADXDC, AB= AD = 1, DC = SD= 2, E 為棱 SB 上的一點(diǎn)，且 SE= 2EB.證明：DE，平面SBC;求二面角A-DE-C的大小.解由題意，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以DA, DC, DS所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系（如圖）,DS= (0,0,2). 210分那么 A(1,0,0), B(1,1,0), C(0,2,0), S(0,0,2), DB = (1,1,0), 分(1)證明：SE= 2EB,一 2一 1- 212

9、2 2.de=3Db+3DS= 3(i,i,0)+3(0,o,2)= 3, 3, 3 .又BC=(1,1,0), BS=(1, 1,2),.DE BC = 0, DE BS= 0,一 一 一 一DEBC, DEBS.又 BCABS= B,.DE，平面 SBC(2)由(1)知，DEL平面 SBC,. EC 平面 SBC, , DEX EC.取DE的中點(diǎn)F, 1 1 1211那么 F 3，3，3 , FA= 3, -3，- 3 ,故FADE = 0,由此得 FAXDE.向量FA與EC的夾角等于二面角A-DE-C的平面角，- 一一 FA EC 1又 cosFA, EC= 一. 二 2, |FA|EC

10、|12分而角A-DE-C的大小為120.10.在四棱錐P-ABCD中，PD，底面ABCD,底面ABCD為正方形，PD= DC, E, F分別是AB, PB的中點(diǎn).(1)求證：EFXCD;(2)在平面PAD內(nèi)是否存在一點(diǎn) G,使GF，平面PCB.假設(shè)存在，求出點(diǎn) G 坐標(biāo)；假設(shè)不存在，請(qǐng)說明理由.解(1)證明：如圖，以DA, DC, DP所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè) AD=a,那么 D(0,0,0), A(a,0,0), B(a, a,0), C(0, a,0), aa aE a,萬，0 , P(0,0, a), F,萬，Ya e b TOC o 1-5 h z a -

11、a Y八那么 EF= 2, 0, 2 ， DC=(0，a，0).3 分. EF DC = 0,.EFDC,從而得 EFXCD.5 分假設(shè)存在滿足條件的點(diǎn) G,、一.一 a a a設(shè) G(x,0, z),那么 FG= x 2，-2, z-2 .假設(shè)使GF,平面PCB,那么FGXCB, FGXCP.一一 a a aa/口 a八FG CB= x-2，2，z- 2 (a,0,0)=a x2 =0,得 x=.8 分，一一 a a a由FGCP= x-2，2，z-2 (0, a, a)a , a=2 + a z2 =0，得 z= 0.a.G點(diǎn)坐標(biāo)為 20, 0 ,即存在滿足條件的點(diǎn)G,且點(diǎn)G為AD的中點(diǎn).

12、12分B組能力提升（建議用時(shí)：15分鐘）（2021河南百校聯(lián)盟聯(lián)考）斜四才8柱 ABCD-AiBiCiDi的各棱長均為2, /AiAD = 60, / BAD = 90,平面 A1ADD1,平面 ABCD,那么直線 BD1 與平面ABCD所成的角的正切值為（）A.B.134C.3913D.393C MAD中點(diǎn)O,連接OAi,易證AiOL平面ABCD.建立如下圖的空間直角坐標(biāo)系，得 B(2, 1,0), Di(0,2, V3), BDi = ( 2,3, V3),平面 ABCD 的一 個(gè)法向量為n = (0,0,1),設(shè)BDi與平面ABCD所成的角為9, /.sin仁|BD1 n| = tan|

13、BDi| |n|34，（2021衡水中學(xué)質(zhì)檢）如圖7-7-11所示，在正方體 ABCD-AiBiCiDi中，棱長為a,M,N分別為AiB和AC上的點(diǎn)，AiMmAN：2,那么MN與平面BBiCiC 3的位置關(guān)系是.MN / 平面 BBiCiCAiM=AN =2a31|圖 7-7-11以Ci為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如下圖的坐標(biāo)系.那么M a,2aa 2a 2a一 a 23 , N y, y, a , . .MN= 3, 0, 3a .又 Ci(0,0,0), Di(0, a,0), CiDi = (0, a,0), .MN CiDi = 0,.MNlCiDi.又.CiDi是平面 BBiCiC的法向量，且 M

14、N?平面 BBiCiC,MN/平面BBiCiC.（202i天津高考）如圖7-7-i2,正方形 ABCD的中心為 O,四邊形 OBEF 為矩形，平面 OBEFL平面ABCD,點(diǎn)G為AB的中點(diǎn)，AB=BE = 2.圖 7-7-i2(1)求證：EG/平面ADF;(2)求二面角O-EF-C的正弦值；一、- ，一 ，一 2 一 一(3)設(shè)H為線段AF上的點(diǎn)，且AH = HF,求直線BH和平面CEF所成角的3正弦值.解依題意，OF，平面ABCD,如圖，以。為原點(diǎn)，分別以AD, BA, OF的方向?yàn)閤軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，依題意可得O(0,0,0),A(1,1,0), B(-1, 1,0

15、), C(1, 1,0), D(1,1,0), E(-1, 1,2), F(0,0,2),G(-1,0,0).證明：依題意，AD =(2,0,0), AF = (1, - 1,2).設(shè)m = (x1, y，z1)為平面ADF的法向量，nAD = 0,2x1 = 0,那么即n1 AF = 0,x1-y1 + 2z1=0,不妨取z1=1,可得m = (0,2,1).又EG=(0,1, 2),可得 EGm = 0.又因?yàn)橹本€EG2 平面ADF,所以EG/平面ADF._ 、一 / .一. .、一_.、(2)易證OA=(1,1,0)為平面OEF的一個(gè)法向量，依題意,EF=(1,1,0), CF=(1,1,2).n2 EF = 0,設(shè)n2=(x2, y2, z2)為平面CEF的法向量，那么n2 CF = 0,x2 + y2= 0,即-X2+y2 + 2z2=0,不妨