2022年二輪復(fù)習(xí)高考圓錐曲線解答題專題七 (斜率為定值)

1、2022年二輪復(fù)習(xí)高考圓錐曲線解答題專題七斜率為定值22.已知橢圓三+方= l(a0)的左右焦點分別是片，鳥，|耳周=2,點P為橢圓短軸的端點，且耳工的面積為(1)求橢圓的方程：(2)點是橢圓上的一點，與，坊是橢圓上的兩動點，且直線6與，6區(qū)關(guān)于直線x = l對稱，試證明：直線與鳥的斜率為定值.己知點尸在圓O：f + y2=9上運動，點P在X軸上的投影為Q,動點例滿足4PQ = 3x2MQ.（1）求動點M的軌跡E的方程；（2）設(shè)G（-3,0）,8（3,0）,過點尸（1,0）的動直線/與曲線E交于AB（不同于G,”）兩點.問：直線AG與8H的斜率之比是否為定值？若為定值，求出該定值；若不為定值，

2、試說 明理由.3,已知橢圓C: + 2 = l(a/,0)的左、右焦點分別為耳(一1,0)、月(1,0),點尸為橢圓C上一點，使得NFK=6(y,百鳥的面積為走.3(1)求橢圓C的標準方程；(2)直線4與橢圓。相交于A、B兩點,直線4與橢圓C相交于。、E兩點，且A、B、D . E四點的橫坐標均不相同，若直線4與直線4的斜率互為相反數(shù)，求證：直線A。和 直線的的斜率互為相反數(shù).221.如圖所示，橢圓C:餐+親 = l(aO)的離心率為萬，其右準線方程為x = 4, A、8分別為橢圓的左、右頂點，過點4 8作斜率分別為&、k2 ,直線AM和直線BN分別與 橢圓C交于點M, N (其中M在x軸上方，

3、N在x軸下方).(1)求橢圓C的方程；(2)若直線MN恒過橢圓的左焦點月，求證：為定值.如圖，拋物線C： y=2px的焦點為尸，拋物線上一定點。(1,2).過焦點F的直線(不經(jīng)過點。)與拋物線交于A3兩點，與準線/交于點M.(1)過A8中點C,作準線/的垂線，垂足為E，若求直線AB的斜率； (2)已知48直線方程為丁 =(1一1)(%。0),記。4, QB, QM的斜率分別為占，k2, k3 ,若匕+42=3成立，求出義的值.橢圓C：二+ 4 = l(ob0)的左、右焦點分別是Fi, F2,離心率為乂)，過Fi且垂直于 a2 b22x軸的直線被橢圓C截得的線段長為1.(1)求橢圓C的方程；(2

4、)點P是橢圓C上除長軸端點外的任一點，連接PFi, PF2,設(shè)回F1PF2的角平分線PM交C的長軸于點M(m, 0),求m的取值范圍；(3)在(2)的條件下，過點P作斜率為k的直線/,使得/與橢圓C有且只有一個公共點，1 1設(shè)直線PFi, PF?的斜率分別為h, ki,若AhO,證明丁+ 77-為定值，并求出這個定值.22.如圖，在平面直角坐標系中，已知耳，居分別是橢圓E：5+ 3 = 1（4人0）的 a b左、右焦點，4 8分別橢圓E的左、右頂點，且正+ 58月=。.（1）求橢圓E的離心率；（2）已知點。（1,0）為線段。入的中點，M為橢圓E上的動點（異于點4 8）,連接并 延長交橢圓E于點

5、N,連接MD、ND并分別延長交橢圓E于點P、Q,連接PQ,設(shè)直線MN、 PQ的斜率存在且分別為勺、女2,試問是否存在常數(shù)4,使得勺+4&=0恒成立？，若存 在，求出；I的值；若不存在，說明理由.r2 21.橢圓C： J + 4 = 1 （。力0）的左、右焦點分別是A、居，離心率為上，過耳且 ab2垂直于軸的直線被橢圓C截得的線段長為3.（1）求橢圓C的方程；（2）點P是橢圓C上除長軸端點外的任一點，連接尸片、PF2 ,設(shè)/耳2鳥的角平分線PM交C的長軸于點M（W,0）,求m的取值范圍；（3）在（2）的條件下，過點P作斜率為k的宜線/,使得/與橢圓C有且只有一個公共點設(shè)直線尸片、尸鳥的斜率分別為

6、人、心,若A/0,試證明行+占為定值，并求出這個 氣 AC AC/C?定值.已知圓C：V + y2=4,點p為圓C上的動點，過點P作X軸的垂線，垂足為Q,設(shè)。為PQ的中點，且。的軌跡為曲線E.（1）求曲線E的方程；（2）不過原點的直線/與曲線E交于M、N兩點，已知OM,宜線/, ON的斜率占，k, 修成等比數(shù)列，記以O(shè)M，QN為直徑的圓的面積分別為，S,試探就，+S2是否為定 值，若是，求出此值；若不是，說明理由.已知A（/,O）,B（O,yo）兩點分別在X軸和y軸上運動，且若動點尸（x,y）滿 足麗=2麗+百麗.（1）求出動點P的軌跡。的標準方程；（2）設(shè)動直線/與曲線。有且僅有一個公共點，

7、與圓爐+尸=7相交于兩點用6（兩點 均不在坐標軸上），求直線。/。8的斜率之積.r2 v21.如圖，在平面直角坐標系xOy中，橢圓C: j +J = 1 （ab0）的離心率為一，右 a2 b22準線的方程為x = 4,耳，尸2分別為橢圓C的左、右焦點，A, 8分別為橢圓C的左、右頂點.（1）求橢圓C的標準方程；（2）過丁。,0） 。）作斜率為女（女0）的左右焦點分別是片，鳥，|耳周=2,點P為橢圓短軸的端點，且耳工的面積為（1）求橢圓的方程：（2）點是橢圓上的一點，4,反是橢圓上的兩動點，且直線8與，8區(qū)關(guān)于直線x = l對稱，試證明：直線與鳥的斜率為定值. TOC o 1-5 h z 【答案

8、】（1） + = 1；（2）證明見解析. 43解：（1）由已知忻勾=2得c = l,又S&pg =-x2xb = /3 , h = y/3 a = 4 + 3 = 2.2所以橢圓的標準方程為工+匕=1. 43（2）已知點當直線8與斜率不存在時顯然不滿足題意，所以直線8月斜率存在，3設(shè)直線8月：丫一萬=攵（尤一1）,即丁 =米+ ,-左，由于直線8耳，8員關(guān)于直線尤=1對稱，則直線 BB2: y = -kx+ + k ,3 ,k得(3+442)*2 +4k(3-2k)x+4k2 -12左一3 = 0=1設(shè)耳a，y）, 8（天,必） y =履+ 聯(lián)立：b0）的左、右焦點分別為耳（一1,0）、用（1

9、,0）,點P為橢圓。上一點，使得/耳PE=6（r, /；,的面積為立.3（1）求橢圓C的標準方程；（2）直線（與橢圓C相交于A、8兩點，直線4與橢圓。相交于。、E兩點,且A、B、D、E四點的橫坐標均不相同，若直線4與直線4的斜率互為相反數(shù)，求證：直線AO和 直線BE的斜率互為相反數(shù).2【答案】（1） + y2=； （2）證明見解析.2（1）設(shè)橢圓。的焦距為2c,由題意有c = L由環(huán)工的面積為半，即；|p用. |P瑪. sin 60 =，所以|P用忖用=；因為歸耳+|P閭=2。，所以|P+附|2=（幟用+忱用卜2冏卜附| = 4/-g.在尸耳鳥中，4c2 =忻瑪1=幟娟2 +歸鳥_2|p/7|

10、.|p77|cos600=4a2-|-1 = 4a2-4 ,又c = l,所以/=2,所以力= J2-c2 =1.故橢圓C的標準方程為三+ 9=1；（2）證明：設(shè)點 A、B、的坐標分別為（,y）、（&,%）、（3，乃）、（乂，乂），設(shè)直線A8的方程為丫 =辰+”，直線。E的方程為曠=一履+， + y J 聯(lián)立方程2 v-kx + m -消去后整理為（2公+l）f +4bnr + 2病-2 =。,4 kmx + %, 丁一1 22+12m22k2+1玉十修同理可得4kn 2k2 +l2n2-22產(chǎn)+1因為再、龍之、與互不相等，故有， 直線AD的斜率為a=山=*也些=一旦2 +忙/一百 一 不出一

11、百Xj JC|直線BE的斜率為%=皿=（-狂+電=一也+士竺 %一看巧一看X4 -X2工4 一天則匕 +女郎=一左+ $+ +(n-m) 十 -、JV t|s*4*，J(七一% )(元4 % )故直線AD和直線BE的斜率互為相反數(shù)._ 2女(為馬-J3x4)+(?-m)(x3 + x4)-(x1+x2)X24.如圖所示，橢圓c： J + a：N在x軸下方）.= l（ab0）的離心率為,，其右準線方程為x = 4, A、 8分別為橢圓的左、右頂點，過點4 8作斜率分別為&、k2 ,直線AM和宜線BN分別與（2）若直線MN恒過橢圓的左焦點月，求證：為定值22【答案】（1）+ - = 1; （2）證

12、明見解析.43C 1(1)由題可得上=上,人=4,解得c = L = 2 ale又6=+。2,可得 =3,所以橢圓C的方程為: (2) vA(-2,0),設(shè)am 的方程為y = K(x+2),設(shè)由y = k (x + 2)22，匕=1I 43消去y整理得(3 + 4匕2)32 + 16勺2*+16婷- 12 = 0, A0.由韋達定理可得：v o_ 16：玉 - 3+4公2，解得再=c16 婷一 1213+ 4斤一8好 +6，代入y = A|(x + 2),求得12k.%二許，即知監(jiān)2+6 12K + 4 3 + 他2.8(2,0),設(shè) 8N 的方程為y = &(x-2),設(shè)N(X2，2)，y

13、 = &(x-2)f y2 ，消去-整理得(3+4&2)*2-16(2%+16左22-12 = 0, A0.|_ J 1u T由韋達定理可得：x2 4-216片2x2 =3+ 4火216k2? T23 + 4V甌26,代入y = 與（x-2）,求得12k、%=承即.8k, -6 122 + 4左223 + 4&2,UUUU UUUU又直線MN恒過橢圓的左焦點石，則M/NEuuuir又加耳=+91243+4匕2 3+4仁UULH ,NF、12寸-3 一 12、 3+ 4&2? 3 + %2-4 幺 2+9 -12k. V*=.即(奴的+3)收一33=0D 十 A-jD 十 TrC -Q%, 網(wǎng)

14、0, .4匕&+30 , /. kx -3 = 0 ,即皆=3 k一 上所以之為定值.5.如圖，拋物線C： 丁=20%的焦點為拋物線上一定點Q（l,2）.過焦點F的直線（不經(jīng)過點Q）與拋物線交于A B兩點，與準線/交于點M.（1）過AB中點c,作準線/的垂線，垂足為E，若|CE|=|mM，求直線A8的斜率;（2）已知AB直線方程為丁 = %（尤一1）（攵#0），記QA, QB, QM的斜率分別為占，區(qū),&3，若占+& =4&3成立，求出人的值.【答案】（1）6 ；（2）2 = 2.解：（1）把點Q（l,2）的坐標代入V = 2px,解得2P = 4, 所以拋物線方程為y2=4x,準線/的方程為

15、x = l.由題意|。目=；|4卻=忸1,耐 MC|=|M8|+忸q = 2|CE|,設(shè)直線AB的傾斜角為CE1乃0；7 = cosa=-,團a =一,MC23回直線A5的斜率為6 ：（2旭A8的方程為y = A（x1）,左。0,由拋物線準線/： x = T ,可知M（-1,-2A）.又Q（l,2）,所以占=彳詈=% + 1,由卜：=乂x T）消去y整理得標/_ 2僅2 + 2）% +公=0, y = 4x顯然 A = 4（公+2丫 一縱4=16仰+1）0,設(shè) A（X，x）, B（x2,y2）,2k2+4.貝+x2 =, xx2 = l,k又。（1,2）,則用=三2-)2LIT/因為A, F，

16、3三點共線,所以匕+左2 =2-X 4 2 - % 11 _ Xj 1 _ X?+ 2A4 C 2.+44個+2)+ 2k =r-k + 2k = 2(& +1) x2 -(X + A?) + 2k+ 4 + 即存在常數(shù)2 = 2,使得4+&=2/成立.6.橢圓C：事+寫=1940）的左、右焦點分別是F1，F(xiàn)2,離心率為業(yè)，過F1且垂直于x軸的直線被橢圓C截得的線段長為1.（1）求橢圓C的方程；（2）點P是橢圓C上除長軸端點外的任一點，連接PFi, PF2,設(shè)FiPG的角平分線PM交C的長軸于點M（m, 0）,求m的取值范圍；（3）在（2）的條件下，過點P作斜率為k的直線/,使得/與橢圓C有且

17、只有一個公共點，1 1設(shè)直線PF1, PE的斜率分別為ki, k2,若k2W0,證明丁 + :為定值，并求出這個定值. kk kk、 TOC o 1-5 h z 233【答案】(1) + y2 = 1; (2) m/3 yo0,Ipf2： yox(xo- V3 )y-6yo=o,即+百%|即一百H由題意知/2 = /qy。+(x()+，3)+(%-J3由于點P在橢圓上，所以今+為2=,因為 一 6m 百，2X02,m + 6/3 m可得 7 G 萬斤+ 2 2- x0 TOC o 1-5 h z 333所以m= xo,因此m/3 2xn由(2)知一+ = -2 + 勺 v = 2K h y0

18、% y。1 1因此丁+ 丁為定值，這個定值為一8.kk、 kk2227.如圖，在平面直角坐標系宜萬中，已知，居分別是橢圓： = +與=1（。力0）的 a 廳左、右焦點，4 8分別橢圓E的左、右頂點，且麗+ 586=0.（1）求橢圓E的離心率；（2）已知點。（1,0）為線段。工的中點，M為橢圓上的動點（異于點4 B）,連接并 延長交橢圓E于點N,連接MD、ND并分別延長交橢圓E于點P、Q,連接PQ,設(shè)直線MN、 PQ的斜率存在且分別為&、k2,試問是否存在常數(shù)；I,使得占+/1&=0恒成立？，若存 在，求出；I的值；若不存在，說明理由.24【答案】y；（2） A,=-（1） AF2 +5BF2

19、=6,.AF-, =5E,反.a + c = 5（a-c）,化簡得2a = 3c,c 2橢圓E的離心率e =二一a 3（2）存在滿足條件的常數(shù)尤=-g.設(shè)M,y）,%（孫力）。（蒼，），Q（Z，%），因為點0（1,（）為線段OF1的中點,c = 2,從而q = 3,。=不，左焦點耳（一2,0）,故橢圓E TOC o 1-5 h z 22的方程為二+匕=1.95X1 - 1x2 v2則直線MD的方程為X = - y +1,代入橢圓方程+ - = 1整理得，y955x, 2 須一1.八r1/+-y-4 = 0. y x從而故點P(,2).同理，點x, -5%) -5百一5% 5 %一55x,-9

20、4y,、y, y,。(二一丁，一氣)因為三點“、耳、N共線，所以；=一江；，從而 x2 - 5 x2 5% + 2 % + 2芭力-% =2(y-%)4H 4%從而* = %一，_ 5 -5 _-乂 +5(m + -2)_ 7(/-)_ 乂2丁丁幅與 58-9 -4()-4(m-吃)一丁元 I - 5 X,一 5 TOC o 1-5 h z 故匕一竺1 = 0,從而存在滿足條件的常數(shù)A,2 = -. 77r2 v218.橢圓C：=+ 3 = 1 (。人0)的左、右焦點分別是士、F2,離心率為上，過人且 a b2垂直于軸的直線被橢圓C截得的線段長為3.(1)求橢圓C的方程；(2)點P是橢圓C上除

21、長軸端點外的任一點，連接PK、PF2,設(shè)NF,PF2的角平分線PM交C的長軸于點M(m,O),求m的取值范圍:(3)在(2)的條件下，過點P作斜率為k的直線/,使得/與橢圓C有且只有一個公共點設(shè)直線尸片、的斜率分別為無、h1 1若Zh(),試證明方+萬二為定值，并求出這個 KK Ktx-f定值. TOC o 1-5 h z 2211o【答案】(1)+ = 1 (2) m =土幺，a2 b2a2h2c 1由題意知z = 3,又e = =一, aa 2所以 a = 2, b = -3 ,22所以橢圓C的方程為2 +工=143(2)設(shè) P(%,%)( % 工。)又耳(-1,0),(1,0)，所以直線

22、PK，產(chǎn)工的方程分別為%：%x(/ + l)y+%=，/% :yox-(-l)y-yo=O, 帆為 + %|陽%一%|J%+(x()+ l) Jyd+(x()T)由于點P在橢圓上，因為一1 v 機 v 1, -2 x0 2 , TOC o 1-5 h z 77/4-11 加=所以11,所以m=:人）./ + 2 2-x04因此 加/3(0,y0) =(2x0,V3y0)所以x = 2%,y = 6% ,所以又因為|A3|=1,所以片+ y；=l,即U + 爭J =1.即5+! = L22所以曲線。的標準方程為工+匕=1.43(2)當直線/的斜率存在時，設(shè)/的方程為y = G+，.得（4儲 +3

23、）x? +8kn+4z2 -12 = 0.y = kx + m, 由方程組2卜-1143團直線/與橢圓C有且僅有一個公共點，g =（8碗）2-4（4d+3）（4到一12）= 0,即加2 =4r+3.由方程組 , 得（% + 1）r + 2&/tv +/- 7 = 0, x + y = 7 則42 =（2加）2-4（公+ 1）（加2 -7）o.設(shè)4（x，y），A（9，）, 則% + 加27k2 + l設(shè)宜線。耳，。鳥的斜率分別為kt,k2,所以%|左2 =2也XX2（+ /n）（Ax2 + in） k2x1x2 + （占 + x2） + /?2xx2nr -7二 十 1, 2km 2+ km- -zF nry + lnr -1公+ 1將加=4左2+3代入上式,當宜線/的斜率不存在時，由題意知I的方程為x = 2.3此時，圓f +