4(1)定積分的概念與性質(zhì)課件

1、第四章 一元函數(shù)積分 定積分和不定積分是積分學(xué)的兩個一種認(rèn)識問題、分析問題、解決問題的不定積分側(cè)重于基本積分法的訓(xùn)練,而定積分則完整地體現(xiàn)了積分思想 主要組成部分.思想方法.1第1頁，共41頁。第五章 定積分基本要求 理解定積分的定義和性質(zhì),微積分基本定理,了解反常積分的概念,掌握用定積分表達(dá)一些幾何量與物理量(如面積、體積、弧長、功、引力等）的方法.2第2頁，共41頁。第一節(jié) 定積分的概念與性質(zhì)定積分的定義可積函數(shù)類小結(jié) 思考題 作業(yè) 定 積 分定積分的性質(zhì)*definite integral3第3頁，共41頁。(1).曲邊梯形的面積 定積分概念也是由大量的實(shí)際問題求由連續(xù)曲線一、定積分的定

2、義抽象出來的, 現(xiàn)舉兩例.定積分的概念與性質(zhì)1. 實(shí)例4第4頁，共41頁。用矩形面積梯形面積（五個小矩形）（十個小矩形）思想以直代曲顯然,小矩形越多,矩形總面積越接近曲邊定積分的概念與性質(zhì)近似取代曲邊梯形面積5第5頁，共41頁。 采取下列四個步驟來求面積A.(1) 分割(2) 取近似定積分的概念與性質(zhì)長度為為高的小矩形,面積近似代替6第6頁，共41頁。(3) 求和這些小矩形面積之和可作為曲邊梯形面積A的近似值.(4) 求極限為了得到A的精確值,取極限,形的面積:分割無限加細(xì),定積分的概念與性質(zhì)極限值就是曲邊梯7第7頁，共41頁。(2).求變速直線運(yùn)動的路程思想以不變代變設(shè)某物體作直線運(yùn)動,已知

3、速度是時間間隔的一個連續(xù)函數(shù),求物體在這段時間內(nèi)所經(jīng)過的路程.思路把整段時間分割成若干小段,每小段上速度看作不變,求出各小段的路程再相加,便得到路程的近似值,最后通過對時間的無限細(xì)分過程求得路程的精確值定積分的概念與性質(zhì)8第8頁，共41頁。(1) 分割(3) 求和(4) 取極限路程的精確值(2) 取近似定積分的概念與性質(zhì)表示在時間區(qū)間內(nèi)走過的路程.某時刻的速度9第9頁，共41頁。2、定積分的定義設(shè)函數(shù)f (x)在a,b上有界,在a,b中任意插入定義若干個分點(diǎn)把區(qū)間a,b分成n個小區(qū)間,各小區(qū)間長度依次為在各小區(qū)間上任取一點(diǎn)作乘積并作和記如果不論對(1)(2)(3)(4)上兩例共同點(diǎn):2) 方法

4、一樣;1) 量具有可加性,3) 結(jié)果形式一樣.定積分的概念與性質(zhì)10第10頁，共41頁。被積函數(shù)被積表達(dá)式記為積分和怎樣的分法,也不論在小區(qū)間上點(diǎn)怎樣的取法,只要當(dāng)和S總趨于確定的極限I,稱這個極限I為函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b上的定積分.定積分的概念與性質(zhì)積分下限積分上限積分變量a,b積分區(qū)間也稱函數(shù) f(x)在區(qū)間a,b上黎曼可積.11第11頁，共41頁。(2) 的結(jié)構(gòu)和上、下限, 今后將經(jīng)常利用定積分與變量記號無關(guān)性進(jìn)行推理.定積分是一個數(shù),定積分?jǐn)?shù)值只依賴于被積函數(shù)定積分的概念與性質(zhì)有關(guān);注無關(guān).而與積分變量的記號無關(guān).12第12頁，共41頁。曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積的負(fù)值(1).

5、幾何意義定積分的概念與性質(zhì)3、定積分的幾何意義和物理意義13第13頁，共41頁。幾何意義定積分的概念與性質(zhì)各部分面積的代數(shù)和.取負(fù)號.它是介于x軸、函數(shù) f (x) 的圖形及兩條直線 x =a, x = b之間的在 x 軸上方的面積取正號;在 x 軸下方的面積14第14頁，共41頁。例解(2). 物理意義t = b所經(jīng)過的路程 s.oxy作直線運(yùn)動的物體從時刻 t = a 到時刻定積分的概念與性質(zhì)定積分表示以變速15第15頁，共41頁。定理1定理2或記為 黎曼 德國數(shù)學(xué)家(18261866)二、可積函數(shù)類可積.且只有有限個可積.當(dāng)函數(shù)的定積分存在時,可積.黎曼可積,第一類間斷點(diǎn),充分條件定積分

6、的概念與性質(zhì)16第16頁，共41頁。勒貝格(Lebesgue)定理定理3定積分為a,b上的積分上限函數(shù).設(shè)f (x)在a,b中可積,則對任一點(diǎn)以后再研究其性質(zhì).17第17頁，共41頁。對定積分的補(bǔ)充規(guī)定說明定積分的概念與性質(zhì)三、定積分的基本性質(zhì)在下面的性質(zhì)中, 假定定積分都存在, 且不考慮積分上下限的大小18第18頁，共41頁。證(此性質(zhì)可以推廣到有限多個函數(shù)作和的情況)性質(zhì)1定積分的概念與性質(zhì)且19第19頁，共41頁。證性質(zhì)2性質(zhì)1和性質(zhì)2稱為定積分的概念與性質(zhì)線性性質(zhì).且20第20頁，共41頁。 補(bǔ)充例 (定積分對于積分區(qū)間具有可加性)則性質(zhì)3定積分的概念與性質(zhì)假設(shè)的相對位置如何,上式總成

7、立.不論且21第21頁，共41頁。證性質(zhì)4性質(zhì)5定積分的概念與性質(zhì)則(保序性)22第22頁，共41頁。性質(zhì)5的推論1證定積分的概念與性質(zhì)則于是性質(zhì)5如果在區(qū)間則23第23頁，共41頁。思考比較下列積分的大小.(1)(2)(3)(4)(5)定積分的概念與性質(zhì)24第24頁，共41頁。證說明性質(zhì)5的推論2定積分的概念與性質(zhì)性質(zhì)5如果在區(qū)間則可積性是顯然的.由推論125第25頁，共41頁。證(此性質(zhì)可用于估計(jì)積分值的大致范圍)性質(zhì)6分別是函數(shù)最大值及最小值.則定積分的概念與性質(zhì)(估值定理)26第26頁，共41頁。例3估計(jì)定積分的值.定積分的概念與性質(zhì)27第27頁，共41頁。性質(zhì)7 (積分第一中值定理)

8、設(shè)函數(shù)則至少存在一點(diǎn)提示:即得積分中值定理.定積分的概念與性質(zhì)28第28頁，共41頁。證由閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的介值定理:性質(zhì)8(定積分中值定理）定積分的概念與性質(zhì)如果函數(shù)在閉區(qū)間連續(xù),則在積分區(qū)間至少存在一點(diǎn) 使下式成立:積分中值公式至少存在一點(diǎn) 使即29第29頁，共41頁。定理用途 注定積分的概念與性質(zhì)性質(zhì)8(定積分中值定理）如果函數(shù)在閉區(qū)間連續(xù),則在積分區(qū)間至少存在一點(diǎn) 使下式成立:1.無論從幾何上, 還是從物理上, 都容易理解平均值公式求連續(xù)變量的平均值要用到.如何去掉積分號來表示積分值.2. 事實(shí)上30第30頁，共41頁。積分中值公式的幾何解釋至少存在一點(diǎn) 在區(qū)間使得以區(qū)間為底邊,以曲線

9、為曲邊的曲邊梯形的面積等于同一底邊而高為的一個矩形的面積.定積分的概念與性質(zhì)31第31頁，共41頁。解例4定積分幾何意義求電動勢在一個周期上的平均值定積分的概念與性質(zhì)32第32頁，共41頁。例5若函數(shù)上連續(xù),且且定積分的概念與性質(zhì)證明:上命題等價于:則33第33頁，共41頁。推論1若則推論2若則定積分的概念與性質(zhì)34第34頁，共41頁。例6證由積分中值定理有(a為常數(shù))定積分的概念與性質(zhì)35第35頁，共41頁。Cauchy-Schwarz不等式考慮:第五章 定積分 習(xí)題課例736第36頁，共41頁。3. 定積分的性質(zhì)(注意估值性質(zhì)、積分中值定理的應(yīng)用)4. 典型問題(1) 估計(jì)積分值;(2) 不計(jì)算定積分比較積分大小.六、小結(jié)1. 定積分的實(shí)質(zhì): 特殊和式的極限.2. 定積分的思想和方法:以直代曲、以勻代變.四步曲:分割、取近似、求和、取極限.思想方法定積分的概念與性質(zhì)37第37頁，共41頁。思考題1證 夾逼定理即得定積分的概念與性質(zhì)38第38頁，共41頁。思考題2解由定積分幾何意義可知定積分的概念與性質(zhì)用定積分的幾何意義計(jì)算并求所圍成圖形的面積(如圖).圖形,39第39頁，共41頁。定積分的概念與