2021年高考北師版(理科)數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義：熱點(diǎn)探究課1導(dǎo)數(shù)應(yīng)用中的高考熱點(diǎn)問(wèn)題

1、熱點(diǎn)探究課(一)導(dǎo)數(shù)應(yīng)用中的高考熱點(diǎn)問(wèn)題命題解讀函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容，導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的重要工具，因 此，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用是歷年高考的重點(diǎn)與熱點(diǎn)，常涉及的問(wèn)題有：討論函數(shù)的單調(diào)性(求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間卜求極值、求最值、求切線方程、求函數(shù)的零點(diǎn)或方程的根、 求參數(shù)的范圍、證明不等式等，涉及的數(shù)學(xué)思想有：函數(shù)與方程、分類(lèi)討論、數(shù) 形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸思想等，中、高檔難度均有.熱點(diǎn)1利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值(答題模板)函數(shù)的單調(diào)性、極值是局部概念，函數(shù)的最值是整體概念，研究函數(shù)的性質(zhì) 必須在定義域內(nèi)進(jìn)展，因此，務(wù)必遵循定義域優(yōu)先的原那么，本熱點(diǎn)主要有三種 考察方式：(1)討論函數(shù)的單調(diào)性或求單調(diào)區(qū)

2、間；(2)求函數(shù)的極值或最值；(3)利 用函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值，求參數(shù)的范圍.卜例值(本小題總分值12分)(2021全國(guó)卷H)函數(shù)f(x)=lnx+a(1 x).(1)討論f(x)的單調(diào)性；(2)當(dāng)f(x)有最大值，且最大值大于2a 2時(shí)，求a的取值范圍.思路點(diǎn)撥(1)求出導(dǎo)數(shù)后對(duì)a分類(lèi)討論，然后判斷單調(diào)性；(2)運(yùn)用(1)的結(jié) 論分析函數(shù)的最大值，對(duì)得到的不等式進(jìn)展等價(jià)轉(zhuǎn)化，通過(guò)構(gòu)造函數(shù)并分析該函 數(shù)的單調(diào)性求a的范圍. TOC o 1-5 h z 1八標(biāo)準(zhǔn)解答(1)f(x)的定義域?yàn)?0, +oo), f)=;-a.2分x假設(shè)a0,所以f(x)在(0, +8)上遞增.3分，、，1 ,假

3、設(shè)a0,那么當(dāng)x 0, 1時(shí)，fx)0; a當(dāng) xC -, +8 時(shí) x)0時(shí)，f(x)在x=-取得最大值，最大值為af - = In - + a 1 1 = In a+ a 1. a a a因止匕f1 2a 2等價(jià)于In a+ a- 10.10分a令 g(a)=ln a+ a-1,那么 g(a)在(0, +00)上遞增，g(i)=。.于是，當(dāng) 0a1 時(shí)，g(a)1 時(shí)，g(a)0.因此，a的取值范圍是(0,1).12分答題本K板討論含參函數(shù)f(x)的單調(diào)性的一般步驟第一步：求函數(shù)f(x)的定義域(根據(jù)函數(shù)解析式確定).第二步：求函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)fx).第三步：根據(jù)f x)= 0的零點(diǎn)是否

4、存在或零點(diǎn)的大小對(duì)參數(shù)分類(lèi)討論.第四步：求解(令fx)0或令f x) 0或fx) 0或fx)&0在單調(diào)區(qū)間上 包成立問(wèn)題求解.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1 (2021鄭州模擬)函數(shù)f(x)=x2efax, aC R.當(dāng)a=1時(shí)，求函數(shù)v= f(x)的圖像在點(diǎn)(一1, f(1)處的切線方程；(2)討論f(x)的單調(diào)性.解(1)因?yàn)楫?dāng) a=1 時(shí)，f(x) = x2e x, fx) = 2xe x x2e x=(2x x2)e x,2分所以 f(1) = e, f Y 1)= - 3e.從而y=f(x)的圖像在點(diǎn)(一1, f(1)處的切線方程為ye= -3e(x+1),即y= 3ex 2e.4 分(2)f x)=

5、2xe ax ax2e ax= (2x-ax2)e ax.當(dāng)a=0時(shí)，假設(shè)x0,那么fxl0,那么 fx)0.所以當(dāng)a = 0時(shí)，函數(shù)f(x)在區(qū)間(一8, 0)上為減函數(shù)，在區(qū)間(0, +oo)上為增函數(shù).6分2當(dāng) a0 時(shí)，由 2x ax20,解得 x,由 2xax20,解得 0 ax2.所以f(x)在區(qū)間(一飆0)與2, +00上為減函數(shù)，在0, 2上為增函數(shù). TOC o 1-5 h z aaa8分當(dāng) a0 時(shí)，由 2x ax20,解得2Vx0,解得 x0.所以，當(dāng)a0時(shí)，f(x)在(8 0), 2, + 00上遞減，在0, 2上遞增； aa當(dāng)a 0 且 c32 0 時(shí)，存在 X1C(

6、 4, -2), X2 -2, -3 ,2 732-，一X3 3 , 0 ,使得 f(X1) = f(X2)= f(X3)= 0.由f(x)的單調(diào)性知，當(dāng)且僅當(dāng)cC 0,券 時(shí)，函數(shù)Kx) = x3+4x2+4x+c有三 個(gè)不同零點(diǎn).12分規(guī)律方法用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)，常用兩種方法：一是用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù) 的單調(diào)性，借助零點(diǎn)存在性定理判斷；二是將零點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖像的交點(diǎn)問(wèn) 題，利用數(shù)形結(jié)合來(lái)解決.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2設(shè)函數(shù)f(x)=ln x+mm，mCR.(1)當(dāng)m=e(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))時(shí)，求f(x)的極小值； 一X (2)討論函數(shù)g(x)=f x)鼻布點(diǎn)的個(gè)數(shù).3【導(dǎo)學(xué)號(hào):57962128】解(1

7、)由題設(shè)，當(dāng) m=e時(shí)，f(x)=ln x+e, Xx a .那么 f x)= x2 ,由 f x)=0,得 x= e.2 分當(dāng) xC (0, e), fx)0, f(x)在(e, +00)上遞增，.當(dāng)乂= e時(shí)，f(x)取得極小值 f(e) = ln e+e=2,e.f(x)的極小值為2.4分(2)由題設(shè) g(x) = f，x) 3=： m23(x0),1 Q令 g(x) = 0,得 m= 3x +x(x0).5分設(shè)(Kx) = ；x3+x(x0), 3那么(|)x)= x2+1 = (x1)(x+1),當(dāng)xC (0,1)時(shí)，Jx)0,3)在(0,1)上遞增;當(dāng) xC (1, +oo)時(shí)，x

8、)a時(shí)，函數(shù)g(x)無(wú)布點(diǎn)； 3當(dāng)m=2時(shí)，函數(shù)g(x)有且只有一個(gè)零點(diǎn)；32-當(dāng)0Vm|時(shí)，函數(shù)g(x)無(wú)零點(diǎn)； TOC o 1-5 h z ,2 ,、當(dāng)m=,或m00時(shí)，函數(shù)g(x)有且只有一個(gè)布點(diǎn)；3-2一當(dāng)0m0 時(shí)，f(x)2a+aln|. aa解(1)f(x)的定義域?yàn)?0, +oo), f/x)=2e2x-(x0).當(dāng)a00時(shí)，fx)0, fx)沒(méi)有零點(diǎn)；當(dāng) a0 時(shí)，設(shè) u(x)=e2x, v(x)= a, 3分 x因?yàn)閡(x) = e2x在(0, +8)上遞增，v(x)= a在(0, +oo)上遞增, x所以f x)在(0, +8)上遞增.a 一 1 一又 f a)0,當(dāng) b

9、 滿(mǎn)足 0ba且 b1 時(shí)，f b)0時(shí)，f x)存在唯一零點(diǎn).(2)證明：由(1),可設(shè)fx)在(0, +8)上的唯一零點(diǎn)為xO,當(dāng)xC (0, x0)時(shí), fx)0.f(x)取得最小9分12分故f(x)在(0, x0)上遞減，在(x。，+)上遞增，所以當(dāng)x = x。時(shí), 值，最小值為f(x0).由于2e2x0一旦=0, x0，所以 f(x0)=魯+2ax0+aln2 2a + aln 2. 2x0aa故當(dāng) a0 時(shí),f(x)2a+ aln 2. a?角度2不等式包成立問(wèn)題例睦(2021 全國(guó)卷 H)函數(shù) f(x)=(x+ 1)ln x-a(x-1).(1)當(dāng)a = 4時(shí)，求曲線y= f(x

10、)在(1, f(1)處的切線方程;假設(shè)當(dāng)x (1, +00)時(shí)，f(x)0,求a的取值范圍.解(1)f(x)的定義域?yàn)?0, + 00).1分 當(dāng) a=4 時(shí)，f(x) = (x+ 1)ln x 4(x 1),f(1) = 0, fx)=ln x+ 13, f(寫(xiě)一2. x故曲線y=f(x)在(1, f(1)處的切線方程為2x+ y 2 = 0.a x 1(2)當(dāng) xC(1, +00)時(shí)，f(x)0 等價(jià)于 In x- 0. x I Ia X 1設(shè) g(x) = ln x- x+1 ,那么 g&T1ap=X+j：尸1， g(1)=0.9分x xx x當(dāng) a02, xC (1, +oo)時(shí)，x2

11、 + 2(1 -a)x+ 1 x2-2x+ 1 0,故 gx)0,g(x)在(1, +oo)遞增，因此 g(x)0；當(dāng) a2時(shí)，令gx) = 0得xi = a 11a 1 2 1 ,x2=a 1 +yj a 1 2 1.由 x21 和 x1x2= 1 得 x1 1 ,故當(dāng) x (1 , x2)時(shí)，gx)0, g(x)在(1 , x2)遞 減，因此g(x)例E (2021 全國(guó)卷 I)設(shè)函數(shù) f(x)=aln x+ 2-x2bx(aw 1),曲線 y= f(x)在點(diǎn)(1, f(1)處的切線斜率為0.求b;(2)假設(shè)存在xo1,使得f(x0)0, f(x)在(1, +oo) 遞增.所以，存在x2 1,使得f(x0)1力的充要條件為f(1)-ar,即1fa175, a a 2 a i解得啦1aV21.7分假設(shè)1a1,故當(dāng) xC 1,渣；時(shí)，fx)0, f(x)在1, ta上遞減，在匚， +00上遞增.9分所以存在xo1,使得f(X0)a7的充要條件為f ra7 a1 -a 2 1 a a 1 a 1所以不合題意.假設(shè)a1,那么f(1) = LU仁二愛(ài)1.22a 1綜上,a的取值范圍是(色1, 2-1)U(1, +oo).12分規(guī)律方法1.運(yùn)用導(dǎo)數(shù)證明不等式，常轉(zhuǎn)化