2021年高考北師版(理科)數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義：第7章第2節(jié)空間圖形的基本關(guān)系與公理

1、第二節(jié) 空間圖形的根本關(guān)系與公理考綱1.理解空間直線、平面位置關(guān)系的定義.2.了解可以作為推理依據(jù)的公理和定理.3.能運(yùn)用公理、定理和已獲得的結(jié)論證明一些空間圖形的位置關(guān)系 的簡單命題.抓基礎(chǔ)自主學(xué)習(xí)|知識植理1.空間圖形的公理(1)公理1:過不在一條直線上的三點(diǎn),有且只有一個平面(即可以確定一個平W).(2)公理2:如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi)(即直線在平面內(nèi)).(3)公理3:如果兩個不重合的平面有一個公共點(diǎn),那么它們有且只有一條過 該點(diǎn)的公共直線.(4)公理4:平行于同一條直線的兩條直線平行.2.空間中兩直線的位置關(guān)系(1)空間中兩直線的位置關(guān)系共面直線相交直線

2、平行直線異面直線：不同在任何一個平面內(nèi)(2)異面直線所成的角定義:過空間任意一點(diǎn)P分別引兩條異面直線a, b的平行線11, l2(a/l1, b/12),這兩條相交直線所成的銳角(或直角)就是異面直線a, b所成的角.兀范圍：0,2.空間中直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系(1)直線與平面的位置關(guān)系有相交二平行、在平面內(nèi)三種情況.(2)平面與平面的位置關(guān)系有平丘相交四種情況.定理（等角定理）空間中，如果兩個角的兩條邊分別對應(yīng)平行，那么這兩個角相等或互補(bǔ).學(xué)情自測 TOC o 1-5 h z 1.（思考辨析）判斷以下結(jié)論的正誤.（正確的打“，錯誤的打“x）（1）兩個平面a, B有一個公共點(diǎn)A,就說

3、a, B相交于過A點(diǎn)的任意一條直 線.（）（2）兩兩相交的三條直線最多可以確定三個平面.（）（3）如果兩個平面有三個公共點(diǎn)，那么這兩個平面重合.（）（4）假設(shè)直線a不平行于平面&且a? &那么a內(nèi)的所有直線與a異面.（）答案（1）X ，（3）x （4）x2.（教材改編）如圖7-2-1所示，在正方體 ABCD-AiBiCiDi中，E, F分別是 AB, AD的中點(diǎn)，那么異面直線 BiC與EF所成的角白勺大小為（）圖 7-2-iA. 30B. 45C. 60D. 90C 連接 BiDi, DiC（圖略）,那么 BiDiCEF,故/DiBiC為所求的角，又 BiDi = BiC=DiC, . DiB

4、iC = 60.3.在以下命題中，不是公理的是（）A.平行于同一個平面的兩個平面相互平行B.過不在同一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個平面C .如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個平面內(nèi)，那么這條直線上所有的點(diǎn)都在此 平面內(nèi)D.如果兩個不重合的平面有一個公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的 公共直線A A不是公理，是個常用的結(jié)論，需經(jīng)過推理論證；B, C, D是公理.4. （2021山東高考）直線a, b分別在兩個不同的平面 % B內(nèi)，那么“直線 a和直線b相交是“平面a和平面B相交的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件A 由題意知a a, b&假設(shè)a, b相交，那么

5、a, b有公共點(diǎn)，從而B有公共點(diǎn)，可得出 & B相交；反之,假設(shè) & B相交，那么a, b的位置關(guān)系 可能為平行、相交或異面.因此 “直線a和直線b相交是“平面a和平面B 相交的充分不必要條件.5.假設(shè)直線ab,且直線a/平面%那么直線b與平面a的位置關(guān)系是b與a相交或b a或b/ a明考向題型突破|空間圖形的公理及其應(yīng)用例U 如圖7-2-2,正方體ABCD-A1B1C1D1中,E, F分別是AB和AAi的中點(diǎn).求證:圖 7-2-2. E, F分別是AB, AA1的中點(diǎn),(1)E, C, D1, F四點(diǎn)共面；(2)CE, D1F, DA 三線共點(diǎn).證明(1)如圖，連接EF, CD1, A1B.

6、 TOC o 1-5 h z .EF/BA1.2 分又. AiB/DiC, .EF/CD1,.E, C, Di, F四點(diǎn)共面.5分(2) /EF/ CDi, EFvCDi,CE與DiF必相交，設(shè)交點(diǎn)為P,那么由PC直線CE, CE 平面ABCD,得PC平面ABCD.8分同理PC平面ADDiAi.又平面ABCDA平面ADDiAi = DA, .PC直線DA, .CE, DiF, DA三線共點(diǎn).i2分規(guī)律方法i .證明線共面或點(diǎn)共面的常用方法：(i)直接法：證明直線平行或相交，從而證明線共面.(2)納入平面法：先確定一個平面，再證明有關(guān)點(diǎn)、線在此平面內(nèi).(3)輔助平面法：先證明有關(guān)的點(diǎn)、線確定平面

7、 %再證明其余元素確定平面 就最后證明平面& B重合.2.證明點(diǎn)共線問題的常用方法：(i)根本性質(zhì)法：一般轉(zhuǎn)化為證明這些點(diǎn)是某兩個平面的公共點(diǎn)，再根據(jù)根 本性質(zhì)3證明這些點(diǎn)都在這兩個平面的交線上.(2)納入直線法：選擇其中兩點(diǎn)確定一條直線，然后證明其余點(diǎn)也在該直線 ，一 一?，、，/ i變式訓(xùn)練i如圖7-2-3所小，四邊形ABEF和ABCD都是梯形，BCAD,BE12FA, G, H分別為FA, FD的中點(diǎn).圖 7-2-3(i)證明：四邊形BCHG是平行四邊形;(2)C, D, F, E四點(diǎn)是否共面？為什么?【導(dǎo)學(xué)號：57962329】 TOC o 1-5 h z 解(1)證明：由 FG=GA

8、, FH = HD,得 GH L |aD.2 分一一 / 1又 bcJL2ad,Gh!BC, 四邊形BCHG是平行四邊形.5分(2)C, D, F, E四點(diǎn)共面，理由如下：由BE!%F, G為FA的中點(diǎn)知BeGF,四邊形BEFG為平行四邊形，EF/BG.8分由(1)知 BG / CH, a EF/ CH,EF與CH共面.又DC FH,，C, D, F, E四點(diǎn)共面.12分|考向2 |空間直線的位置關(guān)系一a 內(nèi)，12例圖(1)(2021廣東高考)假設(shè)直線11和12是異面直線，11在平面在平面B內(nèi)，1是平面a與平面B的交線，那么以下命題正確的選項是()1與11, 12都不相交1與11, 12都相交

9、1至多與11, 12中的一條相交1至少與11, 12中的一條相交(2)(2021鄭州,g擬)在圖7-2-4中，G, H, M, N分別是正三棱柱的頂點(diǎn)或所 在棱的中點(diǎn)，那么表示直線 GH, MN是異面直線的圖形有 (填上所有正 確答案的序號).D(2)(1)由直線11和12是異面直線可知11與12不平行，故11, 12中至少有一條與l相交.(2)圖中，直線GH/MN;圖中，G, H, N三點(diǎn)共面，但 M?平面GHN , 因此直線GH與MN異面；圖中，連接MG, GM / HN,因此GH與MN共面; 圖中，G, M, N共面，但H?平面GMN,因此GH與MN異面，所以在圖 中，GH與MN異面.規(guī)

10、律方法1.異面直線的判定方法：(1)反證法：先假設(shè)兩條直線不是異面直線，即兩條直線平行或相交，由假 設(shè)出發(fā)，經(jīng)過嚴(yán)格的推理，導(dǎo)出矛盾，從而否認(rèn)假設(shè)，肯定兩條直線異面.(2)定理：平面外一點(diǎn)A與平面內(nèi)一點(diǎn)B的連線和平面內(nèi)不經(jīng)過點(diǎn) B的直線 是異面直線.2.點(diǎn)、線、面位置關(guān)系的判定，要注意幾何模型的選取，常借助正方體為 模型，以正方體為主線直觀感知并認(rèn)識空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系.變式訓(xùn)練2 (2021煙臺質(zhì)檢)a, b, c表示不同的直線，M表示平面，給 出四個命題：假設(shè)a / M , b / M,那么a / b或a, b相交或a, b異面；假 設(shè)b M , a / b,那么a / M;假設(shè)ac,

11、 bc,那么a / b;假設(shè)aM , TOC o 1-5 h z bM,那么a/ b.其中正確的為()A .B.C .D.A 對于，當(dāng)a/M, b/ M時，那么a與b平行、相交或異面，為真 命題.中，b M, a/ b,那么a/ M或a M,為假命題.命題中，a 與b相交、平行或異面，為假命題.由線面垂直的性質(zhì)，命題 為真命題，所 以為真命題.1W旦5:_二_異面直線所成的角例打 如圖7-2-5,在底面為工方形，側(cè)棱垂直于底面向四棱柱 ABCD-AiBiCiDi中，AAi = 2AB = 2,那么異面直線AiB與ADi所成角的余弦值為 ()1A.5B.53C.5D.(2)(2021全國卷I)平

12、面a過正方體ABCD-AiBiCiDi CBiDi, aA平面 ABCD=m, aA平面 ABBiAi = n,那么 m, ()A 3.2八 3JA. 2B. 2C. 3D.3(i)D (2)A (i)連接 BCi,易證 BCi /ADi,那么/AiBCi即為異面直線AiB與ADi所成的角.連接 AiCi,由 AB=i, AAi = 2,那么 AiCi = a/2, AiB= BCi =a/5,在AiBCi中，由余弦定理得5+ 5- 24cos/ AiBCi=2xV5x V5=5.設(shè)平面 CBiDin平面ABCD=mi.:平面 a/平面 CBiDi,mi / m.又平面ABCD /平面AiBi

13、CiDi,且平面 CBiDiA 平面 AiBiCiDi = BiDi,二 BiDi / mi,BiDi / m.平面 ABBiAi / 平面 DCCiDi,的頂點(diǎn)A, a/平面 n所成角的正弦值為且平面 CBiDin 平面 DCCiDi=CDi,同理可證CDi / n.因此直線m與n所成的角與直線BiDi與CDi所成的角相等，即/CDiBi為 m, n所成的角.在正方體ABCD-AiBiCiDi中，/XCBiDi是正三角形，故直線BiDi與CDi所成角為60,其正弦值為g3.規(guī)律方法i.求異面直線所成的角常用方法是平移法，平移方法一般有三種類型：利用圖中已有的平行線平移；利用特殊點(diǎn) (線段的端

14、點(diǎn)或中點(diǎn))作平行線 平移；補(bǔ)形平移.2.求異面直線所成角的三個步驟：(i)作：通過作平行線，得到相交直線的夾角.(2)證：證明相交直線夾角為異面直線所成的角.(3)求：解三角形，求出作出的角，如果求出的角是銳角或直角，那么它就 是要求的角，如果求出的角是鈍角，那么它的補(bǔ)角才是要求的角.變式訓(xùn)練3如圖7-2-6,圓柱的軸截面ABBiAi是正方形，C是圓柱下底 面弧AB的中點(diǎn)，Ci是圓柱上底面弧AiBi的中點(diǎn)，那么異面直線ACi與BC所成 角的正切值為.圖 7-2-62 取圓柱下底面弧AB的另一中點(diǎn)D,連接CiD, AD, 那么因?yàn)镃是圓柱下底面弧AB的中點(diǎn)，所以 AD / BC,所以直線ACi與

15、AD所成角等于異面直線 ACi與BC所成 角，因?yàn)镃i是圓柱上底面弧AiBi的中點(diǎn)，所以CiD，圓柱下底面，所以CiDXAD. 因?yàn)閳A柱的軸截面ABBiAi是正方形，所以 cd=42ad,所以直線AC1與AD所成角的正切值為正所以異面直線ACi與BC所成角的正切值為V2.名師微博思想與方法.主要題型的解題方法(1)要證明“線共面或“點(diǎn)共面可先由局部直線或點(diǎn)確定一個平面，再 證其余直線或點(diǎn)也在這個平面內(nèi)(即“納入法).(2)要證明“點(diǎn)共線可將線看作兩個平面的交線，只要證明這些點(diǎn)都是這兩個平面的公共點(diǎn)，根據(jù)公理 3可知這些點(diǎn)在交線上.判定空間兩條直線是異面直線的方法(1)判定定理：平面外一點(diǎn) A與平面內(nèi)一點(diǎn)B的連線和平面內(nèi)不經(jīng)過點(diǎn) B的