大學微積分上冊第四章單調區(qū)間與極值課件

1、1、函數(shù)的增減性的判斷與應用2、函數(shù)的極值4.3 函數(shù)的單調區(qū)間與極值1未定式求極限的方法:轉化轉化轉化使用羅必塔法則復習：上節(jié)課的主要內容2兩條經(jīng)驗2).羅比塔法則不是萬能的1).靈活使用羅比塔法則（如，等價無窮小替換，設 等3一、函數(shù)的單調性4增減1、函數(shù)單調性的判斷5定理1 (函數(shù)單調性的判定法)設函數(shù)y=f(x)在a,b上連續(xù),在 (a,b)內可導.(1).若在內(2).若在內單調減少., 則在上單調增加., 則在上說明在某區(qū)間內有限個點處為零,若則函數(shù)在該區(qū)間上仍是單增(或單減)的.在其余點處恒為正(或負),6證明應用拉格朗日中值定理(1).設即所以在上單增.（2）證明類似7解例1.

2、判定函數(shù)在上的單調性.在上單增. 一個函數(shù)并不一定在其整個定義域內都是單調增加或單調減少,而往往是在定義域內的某一部分區(qū)間上單增,在另一部分區(qū)間上單減,函數(shù)的單增區(qū)間,單減區(qū)間統(tǒng)稱為單調區(qū)間.8解(1).定義域例2.確定函數(shù)的單調區(qū)間.令,得(2).(3).以為分界點,將定義域分割,列表:增減增函數(shù)的單增區(qū)間為:單減區(qū)間為:9xyo不存在,確定函數(shù)單調區(qū)間的方法和步驟:(1).求(2)找使的點(駐點),及使不存在的點;(3).以(2)中所找點為分界點,將定義域分割成部分區(qū)間, 判斷在每一區(qū)間上導數(shù)的符號，由定理得出結論。觀察圖形可知：( 求導）( 找點）( 列表）10解(1)定義域例3確定函數(shù)

3、的單調區(qū)間.(2).令, 得當時,不存在,(3).列表:增減增函數(shù)的單增區(qū)間為:單減區(qū)間為:練習一下11時,例4. 證明 當方法：設所以，在 時，是增函數(shù)故有，即，2、函數(shù)單調性的應用12方法： 設對在上應用拉氏中值定理, 使即因 所以即13例5 證明：當 時， 恒有 練習一下14二、函數(shù)的極值15定義1設f(x)在區(qū)間(a,b)內有定義,都有極大值與極小值統(tǒng)稱為極值,使函數(shù)取得極值的點稱為極值點.若存在1)., 則稱為函數(shù)的極大值.2)., 則稱為函數(shù)的極小值.1、函數(shù)的極值的定義xyo16注意 1) 函數(shù)的極值概念是局部性的2) 函數(shù)的極值可能有多個3) 函數(shù)的極大值可能比極小值小4) 函

4、數(shù)的極值不在端點上取17由圖所示,函數(shù)的極大值為:極小值為:函數(shù)的極值在單調區(qū)間的分界點處取得.xy的最大值為:最小值為:18定理2（必要條件）是極大值.證 不妨設由定義知,設函數(shù)在處可導并取得極值,則的某一鄰域內,恒有在2、極值的求法19條件必要而不充分.即導數(shù)為零的點未必是極值點.注意例 y= x3 在x= 0點導數(shù)為零，但不是極值點。20說明1）導數(shù)不存在的點也可能是函數(shù)的極值點.若，稱點為函數(shù)的駐點.2）極值點只可能在駐點或導數(shù)不存在的點取到。21定理3(極值存在充分條件之一)當時,當時,1)若則在處取得極大值.當時,2)若當時,則在處取得極小值.3) 若在的鄰近兩側不變號,則在處沒有

5、極值.在點連續(xù)，在 的某一鄰域內可導（ 可除外）設函數(shù)xy22例6.求函數(shù)的單調區(qū)間與極值.解.得列表:極大值極小值增減增極大值為:極小值為:23確定函數(shù)單調區(qū)間與極值的步驟:(1).求（2）找使的點(駐點),及使不存在的點;(3).以(2)中所找點為分界點,將定義域分割成部分區(qū)間,判斷在每一區(qū)間上導數(shù)的符號，由定理判斷單調區(qū)間與極值。( 求導）( 找點）( 列表）24（千萬別忘記了定義域）例7.求函數(shù)的單調區(qū)間與極值.解 (1)定義域為(2)令,得(3).列表:增減極小值練習一下25定理4（極值存在充分條件之二）設函數(shù)處具有二階導數(shù) ,且在點則當時,為極大值;當時,為極小值.當時,待定26列表:極小值增減減增非極值非極值例8.求函數(shù)的極值.解:得方法27所以有極小值:定理4失效,用定理3判斷.當時,時,不是極值點當時,時,不是極值點方法