立體幾何復(fù)習(xí)

1、立體幾何復(fù)習(xí) 平行問(wèn)題平行直線相交直線異面直線線線位置關(guān)系在同一平面內(nèi)，沒(méi)有公共點(diǎn)有且只有一個(gè)公共點(diǎn)不同在任何一個(gè)平面內(nèi)1.利用平面幾何中的定理：三角形（或梯形）的中位線與底邊平行、平行四邊形的對(duì)邊平行、利用比例、2.利用公理4:3.利用線面平行的性質(zhì)定理：如果一條直線平行于一個(gè)平面，經(jīng)過(guò)這條直線的平面和這個(gè)平面相交，則這條直線和交線平行4.利用面面平行的性質(zhì)定理：5.利用線面垂直的性質(zhì)定理：如果兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三個(gè)平面相交，那么它們的交線平行，平行于同一條直線的兩條直線互相平行垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行一、線線平行的證明方法：直線在平面內(nèi)直線和平面相交直線和平面平行線面位置關(guān)系有無(wú)數(shù)

2、個(gè)公共點(diǎn)有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)沒(méi)有公共點(diǎn)二、線面平行的證明方法：1、定義法：直線與平面沒(méi)有公共點(diǎn)。2、如果平面外一條直線和這個(gè)平面內(nèi)的一條直線平行，那么這條直線和這個(gè)平面平行。（線面平行的判定定理）3、兩個(gè)平面平行，其中一個(gè)平面內(nèi)的任何一條直線必平行于另一個(gè)平面。兩個(gè)平面相交兩個(gè)平面平行面面位置關(guān)系有無(wú)數(shù)個(gè)公共點(diǎn)沒(méi)有公共點(diǎn)三、面面平行的證明方法：1、定義法：兩平面沒(méi)有公共點(diǎn)。2、如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行。（面面平行的判定定理）小結(jié)：線平行線 線平行 面 面平行 面線面平行判定線面平行性質(zhì)面面平行判定面面平行性質(zhì)三種平行關(guān)系的轉(zhuǎn)化垂直問(wèn)題四、線線垂直的證明方

3、法：1、勾股定理2、等腰三角形，三線合一3、菱形對(duì)角線相互垂直5、點(diǎn)在線上的射影。6、如果一條直線和一個(gè)平面垂直，那么這條直線就和這個(gè) 平面內(nèi)任意的直線都垂直。4、直徑所對(duì)的圓周角是直角。五、線面垂直的證明方法：1、定義法：直線與平面內(nèi)任意直線都垂直。3、如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，那么這條直線垂直于這個(gè)平面。（線面垂直的判定定理）4、如果兩個(gè)平面互相垂直，那么在一個(gè)平面內(nèi)垂直于它們交線的直線垂直于另一個(gè)平面。（面面垂直的性質(zhì)定理）2、點(diǎn)在面內(nèi)的射影。六、面面垂直的證明方法：1、定義法：兩個(gè)平面的二面角是直二面角。2、如果一個(gè)平面經(jīng)過(guò)另一個(gè)平面的一條垂線，那么這兩個(gè)平面互相垂直

4、。（面面垂直的判定定理）角度問(wèn)題一、概念名稱定義圖形兩條異面直線 所成的角直線與平面所成的角二面角及它的平面角直線a、b是異面直線，經(jīng)過(guò)空間任意一點(diǎn)o，作直線a、b，并使a/a，b/b，我們把直線a和b所成的銳角（或直角）叫做異面直線a和b所成的角。abo.aO是空間中的任意一點(diǎn) 點(diǎn)o常取在兩條異面直線中的一條上booooo定角一般方法有：平移法（常用方法）小結(jié)：1、求異面直線所成的角是把空間角轉(zhuǎn)化為平面角， 體現(xiàn)了化歸的數(shù)學(xué)思想。2、用余弦定理求異面直線所成角時(shí)，要注意角的范圍： （1）當(dāng)cos0 時(shí)，所成角為（2） 當(dāng)cos 0時(shí)，所成角為 （3）當(dāng)cos = 0 時(shí)，所成角為 3、當(dāng)異面

5、直線垂直時(shí)，還可應(yīng)用線面垂直的有關(guān)知識(shí)解決。90o化歸的一般步驟是：定角求角說(shuō)明：異面直線所成角的范圍是（0， ，在把異面直線所成的角平移轉(zhuǎn)化為平面三角形中的角，常用余弦定理求其大小，當(dāng)余弦值為負(fù)值時(shí)，其對(duì)應(yīng)角為鈍角，這不符合兩條異面直線所成角的定義，故其補(bǔ)角為所求的角，這一點(diǎn)要注意。 一、概念名稱定義圖形兩條異面直線 所成的角直線與平面所成的角二面角及它的平面角直線a、b是異面直線，經(jīng)過(guò)空間任意一點(diǎn)o，作直線a、b，并使a/a，b/b，我們把直線a和b所成的銳角（或直角）叫做異面直線a和b所成的角。平面的一條斜線和它在這個(gè)平面內(nèi)的射影所成的銳角，叫做這條直線和這個(gè)平面所成的角，特別地，若l則

6、l與所成的角是直角，若l/或 l在 內(nèi)，則l與所成的角是0的角。oLBA求直線與平面所成的角時(shí),應(yīng)注意的問(wèn)題:(1)先判斷直線與平面的位置關(guān)系(2)當(dāng)直線與平面斜交時(shí)，常采用以下步驟：作出或找出斜線上的點(diǎn)到平面的垂線作出或找出斜線在平面上的射影求出斜線段，射影，垂線段的長(zhǎng)度解此直角三角形,求出所成角的相應(yīng)函數(shù)值最小角原理AOBC斜線與平面所成的角，是這條斜線和這個(gè)平面內(nèi)的直線所成的一切角中最小的角。AOBC如圖,直線OA與平面所成的角為,平面內(nèi)一條直線OC與OA的射影OB所成的角為,設(shè)AOC為2求證:cos2= cos 1 cos 一、概念名稱定義圖形兩條異面直線 所成的角直線與平面所成的角二

7、面角及它的平面角直線a、b是異面直線，經(jīng)過(guò)空間任意一點(diǎn)o，作直線a、b，并使a/a，b/b，我們把直線a和b所成的銳角（或直角）叫做異面直線a和b所成的角。從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角。以二面角的棱上任意一點(diǎn)為端點(diǎn)，在兩個(gè)面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所成的角叫做二面角的平面角。LoBA平面的一條斜線和它在這個(gè)平面內(nèi)的射影所成的銳角，叫做這條直線和這個(gè)平面所成的角，特別地，若l則l與所成的角是直角，若l/或l在內(nèi)，則l與所成的角是0o的角。ALBO一、概念名稱定義圖形兩條異面直線 所成的角直線與平面所成的角二面角及它的平面角直線a、b是異面直線，經(jīng)過(guò)空間任意一點(diǎn)o

8、，作直線a、b，并使a/a，b/b，我們把直線a和b所成的銳角（或直角）叫做異面直線a和b所成的角。從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角。以二面角的棱上任意一點(diǎn)為端點(diǎn)，在兩個(gè)面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所成的角叫做二面角的平面角。LoBAALBO平面的一條斜線和它在這個(gè)平面內(nèi)的射影所成的銳角，叫做這條直線和這個(gè)平面所成的角，特別地，若l則l與所成的角是直角，若l/或l在內(nèi)，則l與所成的角是0o的角。二、數(shù)學(xué)思想、方法、步驟： 解決空間角的問(wèn)題涉及的數(shù)學(xué)思想主要是化歸與轉(zhuǎn)化，即把空間的角轉(zhuǎn)化為平面的角，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為三角形的內(nèi)角，然后通過(guò)解三角形求得。2.方法：b.求直線與平

9、面所成的角：a.求異面直線所成的角：c.求二面角的大?。?.數(shù)學(xué)思想：平移 構(gòu)造可解三角形找（或作）射影 構(gòu)造可解三角形找（或作）其平面角 構(gòu)造可解三角形距離問(wèn)題一、知識(shí)概念1.距離定義（1）點(diǎn)到直線距離 從直線外一點(diǎn)引一條直線的垂線，這點(diǎn)和垂足之間的距離叫這點(diǎn)到這條直線的距離。（2）點(diǎn)到平面的距離從平面外一點(diǎn)引一個(gè)平面的垂線，這點(diǎn)和垂足之間的距離叫這點(diǎn)到這個(gè)平面的距離。（3）兩平行直線間的距離兩條平行線間的公垂線段的長(zhǎng)，叫做兩條平行線間的距離。（4）直線與平面的距離 如果一條直線和一個(gè)平面平行，那么直線上各點(diǎn)到這個(gè)平面的距離相等，且這條直線上任意一點(diǎn)到平面的距離叫做這條直線和平面的距離。（5

10、）兩平行平面間的距離 和兩個(gè)平行平面同時(shí)垂直的直線，叫這兩個(gè)平行平面的公垂線，它夾在兩個(gè)平行平面間的公垂線段的長(zhǎng)叫做這兩個(gè)平行平面間的距離。2.求距離的步驟 （1）找出或作出有關(guān)距離的圖形 （2）證明它們符合定義 （3）在平面圖形內(nèi)進(jìn)行計(jì)算點(diǎn)面AH從平面外一點(diǎn)引這個(gè)平面的垂線垂足叫做點(diǎn)在這個(gè)平面內(nèi)的射影這個(gè)點(diǎn)和垂足間的距離叫做點(diǎn)到平面的距離線面垂直點(diǎn)的射影點(diǎn)面距離已知三棱錐P-ABC的三條側(cè)棱PA=PB=PC試判斷點(diǎn)P在底面ABC的射影的位置？PABCOOA=OB=OCO為三角形ABC的外心已知三棱錐P-ABC的三條側(cè)棱PA,PB,PC兩兩垂直,試判斷點(diǎn)P在底面ABC的射影的位置？PABCO為

11、三角形ABC的垂心DO已知三棱錐P-ABC的頂點(diǎn)P到底面三角形ABC的三條邊的距離相等,試判斷點(diǎn)P在底面ABC的射影的位置？(P在三角形內(nèi)部）PABCO為三角形ABC的內(nèi)心OEF線面lAA一條直線和一個(gè)平面平行時(shí)，直線上任意一點(diǎn)到這個(gè)平面的距離叫做直線到平面的距離lAAlAAB點(diǎn)面線面如果一條直線上有兩個(gè)點(diǎn)到平面的距離相等，則這條直線和平面平行嗎？判斷題：空間四面體ABCD，問(wèn)和點(diǎn)A,B,C,D距離相等的平面有幾個(gè)？ABCD4ABCD3兩個(gè)平行平面的距離ABAB 和兩個(gè)平行平面同時(shí)垂直的直線，叫做這兩個(gè)平面的公垂線。 公垂線夾在平行平面間的部分，叫做這兩個(gè)平面的公垂線段。直線AA、BB都是它們

12、的公垂線段 兩個(gè)平行平面的公垂線段的長(zhǎng)度，叫做兩個(gè)平行平面的距離。(1)求距離的一般步驟是：一作，二證，三計(jì)算.即先作出表示距離的線段，再證明它就是要求的距離，然后再計(jì)算，其中第二步的證明易被忽視，應(yīng)引起重視.(2)求距離問(wèn)題體現(xiàn)了化歸與轉(zhuǎn)化的思想，一般情況下需要轉(zhuǎn)化為解三角形.能力思維方法棱柱問(wèn)題棱錐問(wèn)題復(fù)習(xí)：知識(shí)網(wǎng)絡(luò)底面對(duì)角線高側(cè)面?zhèn)壤忭旤c(diǎn)棱柱(概念)有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都互相平行的幾何體。體積VSh復(fù)習(xí)：知識(shí)網(wǎng)絡(luò)棱柱(分類)棱柱斜棱柱直棱柱正棱柱復(fù)習(xí)：知識(shí)網(wǎng)絡(luò)四棱柱四棱柱直四棱柱側(cè)棱垂直底面平行六面體底面是平行四邊形長(zhǎng)方體正四棱柱正方體側(cè)面垂

13、直底面要點(diǎn)疑點(diǎn)考點(diǎn)一、棱柱1.(1)有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都互相平行，由這些面圍成的幾何體叫棱柱 (2)側(cè)棱不垂直于底面的棱柱叫斜棱柱，側(cè)棱垂直于底面的棱柱叫直棱柱，底面是正多邊形的直棱柱叫正棱柱 (2)兩個(gè)底面與平行于底面的截面是全等的多邊形；2.性質(zhì)(3)過(guò)不相鄰的兩條側(cè)棱的截面是平行四邊形.(1)側(cè)棱都相等，側(cè)面是平行四邊形；要點(diǎn)疑點(diǎn)考點(diǎn)3.長(zhǎng)方體及其相關(guān)概念、性質(zhì)(1)概念：底面是平行四邊形的四棱柱叫平行六面體.側(cè)棱與底面垂直的平行六面體叫直平行六面體.底面是矩形的直平行六面體叫長(zhǎng)方體.棱長(zhǎng)都相等的長(zhǎng)方體叫正方體.(2)性質(zhì)：設(shè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬

14、、高分別為a、b、c， 對(duì)角線長(zhǎng)為l ，則l2=a2+b2+c2復(fù)習(xí)：知識(shí)網(wǎng)絡(luò)棱錐棱錐正四棱錐正三棱錐正四面體體積VSh/3頂點(diǎn)在底面正多邊形的射影是底面的中心HPCBDAO棱錐基本性質(zhì)如果棱錐被平行于底面的平面所截，那么截面和底面相似，并且它們面積的比等于截得的棱錐的高與已知棱錐的高的平方比CBDA棱錐基本性質(zhì)棱錐的高、斜高和斜高在底面的射影組成一個(gè)直角三角形。棱錐的高、側(cè)棱和側(cè)棱在底面的射影組成一個(gè)直角三角形PCBDAHERt PEHRt PHBRt PEBRt BEH正棱錐如果一個(gè)棱錐 的底面是正多邊形，并且頂點(diǎn)在底面的射影是底面中心這樣的棱錐叫做正棱錐面積問(wèn)題體積問(wèn)題常用體積公式常用體

15、積公式abcV長(zhǎng)方體= a b cs常用體積公式常用體積公式hV棱柱= hs底V棱柱= ls直常用體積公式常用體積公式V棱錐= hs底求多面體的體積時(shí)常用的方法直接法割補(bǔ)法變換法根據(jù)條件直接用柱體或錐體的體積公式如果一個(gè)多面體的體積直接用體積公式計(jì)算用困難，可將其分割成易求體積的幾何體，逐塊求積，然后求和。如果一個(gè)三棱錐的體積直接用體積公式計(jì)算用困難，可轉(zhuǎn)換為等積的另一三棱錐，而這一三棱錐的底面面積和高都是容易求得求棱長(zhǎng)為a的正四面體的體積.已知正三棱錐的側(cè)面積是18 ，高為3，求它的體積？若正四棱錐的底面積是S，側(cè)面積是Q，則它的體積為？PABC三棱錐P-ABC的三條側(cè)棱兩兩垂直，PA=a, PB=b, PC=c , ABC的面積為S求點(diǎn)P到底面ABC的距離PBCDEA例：已知四棱錐PABCD ，PBAD，側(cè)面PAD為邊長(zhǎng)等于2的正三角形，