南大復(fù)變函數(shù)與積分變換教學(xué)課件(版)51孤立奇點(diǎn)

1、第五章 留數(shù)及其應(yīng)用5.2 留數(shù)5.1 孤立奇點(diǎn)5.3 留數(shù)在定積分計(jì)算中的應(yīng)用 第1頁，共34頁。5.1 孤立奇點(diǎn)一、引言 二、零點(diǎn) 三、孤立奇點(diǎn) 四、孤立奇點(diǎn)的分類 五、如何進(jìn)行孤立奇點(diǎn)的分類 六、如何判斷極點(diǎn)的階數(shù) 第2頁，共34頁。一、引言 本章重點(diǎn)解決閉路積分問題。 D r C 如圖，考慮積分 (1) 若 在 G 上連續(xù)，在 D 上解析， 則 (2) 若 在 D 上有唯一的奇點(diǎn) 則 此時(shí)，將函數(shù) 在 點(diǎn)的鄰域內(nèi)進(jìn)行洛朗展開， 由 則積分 “不難? ” 得到。 G 第3頁，共34頁。則稱 為 的零點(diǎn)； (1) 若 所謂函數(shù) 的零點(diǎn)就是方程 的根。 定義 設(shè)函數(shù) 在 處解析， (2) 若

2、 在 處解析且 則稱 為 的 m 階零點(diǎn)。 對于不恒為零的解析函數(shù)，其零點(diǎn)是孤立的。 結(jié)論 即在零點(diǎn)的一個(gè)小鄰域內(nèi)，函數(shù)無其它零點(diǎn)。 二、零點(diǎn) P106定義 5.2 P107 (進(jìn)入證明?)第4頁，共34頁。二、零點(diǎn) 定理 設(shè)函數(shù) 在 處解析，則下列條件是等價(jià)的： (1) 為 的 m 階零點(diǎn)。 (2) 其中， (3) 在 內(nèi)的泰勒展開式為 充要條件 (如何判斷零點(diǎn)的階數(shù)? ) P107定理 5.4 (進(jìn)入證明?)第5頁，共34頁。其中， 二、零點(diǎn) 充要條件 (如何判斷零點(diǎn)的階數(shù)? ) 定理 設(shè)函數(shù) 在 處解析，則下列條件是等價(jià)的： (1) 為 的 m 階零點(diǎn)。 (2) (3) 在 內(nèi)的泰勒展開

3、式為 收斂且解析 第6頁，共34頁。例 故 為 的一階零點(diǎn)。 例 故 為 的三階零點(diǎn)。 第7頁，共34頁。是 的三階零點(diǎn)。 是 的三階零點(diǎn)。 方法一 方法二 第8頁，共34頁。是 的二階零點(diǎn)。 是 的二階零點(diǎn)。 第9頁，共34頁。三、孤立奇點(diǎn) 鄰域 內(nèi)解析， 則稱 為 孤立奇點(diǎn)。 使得 在去心 且存在 定義 設(shè) 為 的奇點(diǎn)， 例 為孤立奇點(diǎn)。 例 原點(diǎn)及負(fù)實(shí)軸上的點(diǎn)均為奇點(diǎn)， 但不是孤立奇點(diǎn)。 P102定義 5.1 第10頁，共34頁。例 (1) 令 為孤立奇點(diǎn)； (2) 也是奇點(diǎn)， 但不是孤立奇點(diǎn)。 鄰域 內(nèi)解析， 則稱 為 孤立奇點(diǎn)。 使得 在去心 定義 設(shè) 為 的奇點(diǎn)， 且存在 三、孤立

4、奇點(diǎn) P102 例5.3 第11頁，共34頁。四、孤立奇點(diǎn)的分類 根據(jù)函數(shù)在其孤立奇點(diǎn)的去心鄰域的洛朗級數(shù)對奇點(diǎn)分類 將 在 內(nèi) 定義 設(shè) 為 的孤立奇點(diǎn)，展開為洛朗級數(shù)： (1) 若 有 則稱 為 的可去奇點(diǎn)。 ( 即不含負(fù)冪次項(xiàng) ) P103 第12頁，共34頁。四、孤立奇點(diǎn)的分類 根據(jù)函數(shù)在其孤立奇點(diǎn)的去心鄰域的洛朗級數(shù)對奇點(diǎn)分類 定義 將 在 內(nèi) 設(shè) 為 的孤立奇點(diǎn)， 展開為洛朗級數(shù)： 則稱 為 的 N 階極點(diǎn)； ( 即含有限個(gè)負(fù)冪次項(xiàng) ) (2) 若 有且 有 特別地，當(dāng) 時(shí)，稱 為 的簡單極點(diǎn)。 第13頁，共34頁。四、孤立奇點(diǎn)的分類 根據(jù)函數(shù)在其孤立奇點(diǎn)的去心鄰域的洛朗級數(shù)對奇點(diǎn)

5、分類 定義 將 在 內(nèi) 設(shè) 為 的孤立奇點(diǎn)， 展開為洛朗級數(shù)： ( 即含無限個(gè)負(fù)冪次項(xiàng) ) (3) 若 有 則稱 為 的本性奇點(diǎn)。 第14頁，共34頁。四、孤立奇點(diǎn)的分類 根據(jù)函數(shù)在其孤立奇點(diǎn)的去心鄰域的洛朗級數(shù)對奇點(diǎn)分類 定義 將 在 內(nèi) 設(shè) 為 的孤立奇點(diǎn)， 展開為洛朗級數(shù)： 小結(jié) (1) 可去奇點(diǎn) 不含負(fù)冪次項(xiàng)； (2) N 階極點(diǎn) 含有限多的負(fù)冪次項(xiàng), 且最高負(fù)冪次為 N； (3) 本性奇點(diǎn) 含有無窮多的負(fù)冪次項(xiàng)。 可去奇點(diǎn) 本性奇點(diǎn) N 階極點(diǎn) 第15頁，共34頁?？扇テ纥c(diǎn) 本性奇點(diǎn) N 階極點(diǎn) (2) N 階極點(diǎn) (3) 本性奇點(diǎn) 不存在且不為 (常數(shù))； (1) 可去奇點(diǎn) 方法

6、注 在求 時(shí)，可使用羅比達(dá)法則。 (該條件只能判斷是極點(diǎn)) N 階極點(diǎn) 五、如何進(jìn)行孤立奇點(diǎn)的分類 P103105定理5.15.3 第16頁，共34頁。(不含負(fù)冪次項(xiàng)) 解 是 的奇點(diǎn)， 由 是 的可去奇點(diǎn)。 可知， 將 在 的去心鄰域內(nèi)的洛朗級數(shù)，有 注 如果約定 在 點(diǎn)的值為 1， 則 在 點(diǎn) 就解析了， 因此稱 為 的可去奇點(diǎn)。 P105 例5.4 第17頁，共34頁。解 是 的奇點(diǎn)， 考察極限 是 的本性奇點(diǎn)。 因此， 將 在 的去心鄰域內(nèi)的洛朗級數(shù)，有 注 (含無窮多個(gè)負(fù)冪次項(xiàng)) 由 不存在且不為 可知， 第18頁，共34頁。(含有限個(gè)負(fù)冪次項(xiàng)，且最高負(fù)冪次為 2 ) 解 是 的奇點(diǎn)

7、， 由 是 的極點(diǎn)。 可知， 將 在 的去心鄰域內(nèi)的洛朗級數(shù)，有 注 可見， 為 的二階極點(diǎn)。 第19頁，共34頁。解 是 的奇點(diǎn)， 由 是 的極點(diǎn)。 可知， 將 在 的去心鄰域內(nèi)的洛朗級數(shù)，有 注 可見， 為 的三階極點(diǎn)。 含有限個(gè)負(fù)冪次項(xiàng) 且最高負(fù)冪次為 3 是否還有其它辦法來判斷極點(diǎn)的階數(shù)呢？ 問題 第20頁，共34頁。六、如何判斷極點(diǎn)的階數(shù) 則 為 的 N 階極點(diǎn)。 1. 若 其中 在 點(diǎn)的鄰域內(nèi)解析， 且 為 的 N 階極點(diǎn)的充要條件(即定義)為： 事實(shí)上， 其中， 在 點(diǎn)的鄰域內(nèi)解析， 且 P105 式(5.1) 第21頁，共34頁。六、如何判斷極點(diǎn)的階數(shù) 2. 若 零點(diǎn)， 且 為

8、 的 n 階零點(diǎn)，為 的 m 階 則 (1) 當(dāng) 時(shí)， (2) 當(dāng) 時(shí)，即 為 的可去奇點(diǎn)。 為 的 (n - m) 階極點(diǎn)。 P107定理 5.5 第22頁，共34頁。是 的一階極點(diǎn)。 判斷函數(shù) 的奇點(diǎn)的類型。 例 是 的二階極點(diǎn)。 解 由于 是 的可去奇點(diǎn)， 故 解 由于 是 的一階極點(diǎn)， 故 第23頁，共34頁。解 令 故 是 的一階極點(diǎn)。 由于 是 的一階零點(diǎn)， 判斷函數(shù) 的奇點(diǎn)的類型。 例 但不是 的零點(diǎn)， 解 令 由于 是 的二階零點(diǎn)， 故 是 的二階極點(diǎn)。 第24頁，共34頁。由于 是 的四階零點(diǎn)， 解 故 是 的二階極點(diǎn)。 將 在 的去心鄰域內(nèi)的洛朗級數(shù)，有 因此， 為 的二階

9、極點(diǎn)。 注 直接利用洛朗級數(shù)來判斷奇點(diǎn)類型的方法最好也能夠掌握 且是 的二階零點(diǎn)， 第25頁，共34頁。由于 是 的三階零點(diǎn)， 解 故 是 的二階極點(diǎn)。 判斷函數(shù) 的奇點(diǎn)的類型。 例 由于 是 的三階零點(diǎn)， 解 故 是 的二階極點(diǎn)。 什么情況下會(huì)出現(xiàn)本性奇點(diǎn)呢 ? 且是 的一階零點(diǎn)， 且是 的一階零點(diǎn)， 第26頁，共34頁。為可去奇點(diǎn)。 為可去奇點(diǎn)。 判斷下列函數(shù)的奇點(diǎn)的類型。 例 上述函數(shù)都有一個(gè)共同點(diǎn)： 為本性奇點(diǎn)。 為本性奇點(diǎn)。 為本性奇點(diǎn)。 第27頁，共34頁。考慮下面兩類函數(shù)： 小結(jié) (2) (1) 比較分子分母 的零點(diǎn)的階數(shù) 可去奇點(diǎn) , N 階極點(diǎn)。 函數(shù) 連續(xù) 可去奇點(diǎn) , 本

10、性奇點(diǎn)? 第28頁，共34頁。 休息一下第29頁，共34頁。附：不恒為零的解析函數(shù)的零點(diǎn)是孤立的 即得不恒為零的解析函數(shù)的零點(diǎn)是孤立的。 設(shè) 在 處解析且 由 在 處解析，有 在 處連續(xù)， 令 則必存在 有 故 在 的去心鄰域內(nèi)不為零， 當(dāng) 時(shí)， 又當(dāng) 時(shí)， (返回)第30頁，共34頁。(1) 為 的 m 階零點(diǎn)。 (3) 在 內(nèi)的泰勒展開式為 定理 設(shè)函數(shù) 在 處解析，則下列條件是等價(jià)的： (2) 其中， 附：關(guān)于函數(shù)零點(diǎn)的充要條件的證明 P107 修改 第31頁，共34頁。若 為 的 m 階零點(diǎn)，由定義有 附：關(guān)于函數(shù)零點(diǎn)的充要條件的證明 (1) (2)：證明 (采用循環(huán)證明的方法完成其等價(jià)性的證明) 在 處解析且 而 第32頁，共34頁。附：關(guān)于函數(shù)零點(diǎn)的充要條件的證明 (2) (3)：證明 (采用循環(huán)