哈密頓系統(tǒng)的數(shù)學(xué)建模與動(dòng)力學(xué)分析

1、百度文庫-讓每個(gè)人平等地捉升口我- -百度文庫-讓每個(gè)人平等地捉升口我- # -1引言Hamilton動(dòng)力系統(tǒng)理論有著悠久而豐富的歷史，它本身是Lagrange力學(xué)的升華與推 廣，從數(shù)學(xué)角度看乂是一門內(nèi)容精深的相空間兒何學(xué)，如辛兒何、辛拓?fù)涞榷荚从诖?近兒 十年來，隨著純數(shù)學(xué)理論的不斷發(fā)展與計(jì)算機(jī)的普遍應(yīng)用，Hamilton動(dòng)力系統(tǒng)理論乂成為 當(dāng)今非線性科學(xué)中極其活躍而富有魅力的研究領(lǐng)域.山于這類系統(tǒng)廣泛存在于數(shù)理科學(xué)、生 命科學(xué)以及社會(huì)科學(xué)的各個(gè)領(lǐng)域，特別是天體力學(xué)、等離子物理、航天科學(xué)以及生物工程 中的很多模型都以Hamilton系統(tǒng)的形式出現(xiàn)，因此該領(lǐng)域的研究多年來長盛不衰.本文利 用H

2、amilton原理推導(dǎo)出了 Hamilton系統(tǒng)的正則方程.最后利用Hamilton正則方程給出一個(gè) 具體物理實(shí)例的數(shù)學(xué)模型并對(duì)其進(jìn)行動(dòng)態(tài)模擬仿真.百度文庫-讓每個(gè)人平絞地提升口我- -百度文庫-讓每個(gè)人平絞地提升口我- -百度文庫-讓每個(gè)人平等地捉升口我- -2 預(yù)備知識(shí)2. 1狀態(tài)空間的基本概念1）狀態(tài)任何一個(gè)系統(tǒng)在特定時(shí)刻都有一個(gè)特定的狀態(tài)，系統(tǒng)在*時(shí)刻的狀態(tài)是厶時(shí)刻的一種 信息量，它與此后的輸入一起惟一地確定系統(tǒng)在rng時(shí)的行為.2）狀態(tài)變量狀態(tài)變量是一個(gè)完全表征系統(tǒng)時(shí)間域行為的的最小內(nèi)部變量組.3）狀態(tài)向量設(shè)系統(tǒng)有兀個(gè)狀態(tài)變量，用舛（/）,七（/）,兀,“）表示，而且把這些狀態(tài)變量看

3、做向量 x（/）的分量，則向量M）稱為狀態(tài)向量，記為X 十*2（/）4）狀態(tài)空間以狀態(tài)變量西內(nèi),，兀為軸的“維實(shí)向量空間稱為狀態(tài)空間.5）狀態(tài)方程描述系統(tǒng)狀態(tài)變量與輸入變量之間關(guān)系的一階微分方程組（連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)）或一階差分方程組（離散時(shí)間系統(tǒng)）稱為系統(tǒng)的狀態(tài)方程，它表征了輸入對(duì)內(nèi)部狀態(tài)的變換過程，其一般形式為：W） = /x（/），匕其中，/是時(shí)間變量，“是輸入變量.6）輸出方程描述系統(tǒng)輸出量與系統(tǒng)狀態(tài)變量和輸入變量之間函數(shù)關(guān)系的代數(shù)方程稱為輸出方程，它表征了系統(tǒng)內(nèi)部狀態(tài)變化和輸入所引起的系統(tǒng)輸出變換，是一個(gè)變化過程輸出方程的一般形式為:y(/) = gW)，(/)，/_狀態(tài)空間表達(dá)式狀態(tài)方程

4、與輸出方程的組合稱為狀態(tài)空間表達(dá)式，也稱動(dòng)態(tài)方程，它表征一個(gè)系統(tǒng)完 整的動(dòng)態(tài)過程，其一般形式為：.y(/) = gx(/)，(/)，/通常，對(duì)于線性定常系統(tǒng)，狀態(tài)方程為x = Ax + Bii,),若存在一分段連續(xù)控制向量(/), 能在(),/內(nèi)，將系統(tǒng)從任意的初態(tài)x(/o)轉(zhuǎn)移至任意終態(tài))，則系統(tǒng)完全能控.定理2.1系統(tǒng)完全能控的充要條件：rankSc = n其中，Sc = 3,AB,占切，稱為能控矩陣.2- 3線性狀態(tài)反饋控制律線性狀態(tài)反饋控制律為W = V-心式中，V是參考輸入，K w RZ稱為狀態(tài)反饋增益矩百度文庫-讓每個(gè)人平等地捉升口我- # -百度文庫-讓每個(gè)人平等地捉升口我- -

5、百度文庫讓每個(gè)人平等地捉升自我- -陣.系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程變?yōu)椋簒 = Ax + B（V-Kx） = （ABK）x + BV = Ak+BVy = Cx + D（V-心）=（C - DK）x + DV = CK + DV式中，Ak=A-BK , Ck=C-DK,當(dāng)D = 0時(shí)，狀態(tài)反饋系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)必（$）為WK （s） = C.M -（A _B式中，A-BV為閉環(huán)系統(tǒng)的系統(tǒng)矩陣.以上我們簡要介紹了控制系統(tǒng)的有關(guān)問題，現(xiàn)在針對(duì)單輸入定常線性系統(tǒng)，設(shè)計(jì)其某種形式的線性定?？刂坡?，使得閉環(huán)系統(tǒng)具有指定的希望的一組極點(diǎn)，即極點(diǎn)配置.2-4極點(diǎn)配置考慮下述單輸入線性定常系統(tǒng)x = Ax+bitz 、（2.

6、4. 1） b = Cv其中A為nxn常陣，方和C分別為“xl和lx”常陣.選取線性定常反饋控制律u=-kx,使 得（2.4.1）在該控制律下的閉環(huán)系統(tǒng)具有指定的極點(diǎn)集.問題SPA狀態(tài)反饋極點(diǎn)配置問題給定矩陣AwRE, bwR禍 及一組共轆封閉復(fù)數(shù) s, i 二 1, 2,，n （不必互異），求取矩陣 K e Rrxn 使得 血（A-bK）=s, / = l,2,-,n 對(duì)問題SPA先考慮其解的存在性有：定義2.2如果對(duì)于任何給定的一組共輒封閉復(fù)數(shù)i = l,2,前述問題SPA均有解， 則稱線性定常系統(tǒng)（2.4.1）可用狀態(tài)反饋任意配置極點(diǎn).下述定理給出了線性定常系統(tǒng)（2.4.1）利用狀態(tài)反饋

7、任意配置極點(diǎn)的條件.定理2. 2定常線性系統(tǒng)（2.4.1）可用狀態(tài)反饋任意配置極點(diǎn)的充要條件是系統(tǒng)（2.4.1） 完全能控問題 對(duì)單輸入系統(tǒng)，給定能控矩陣對(duì)A b和一組期望的閉環(huán)特征值兀心乂,要 確定lx”的反饋增益矩陣使成立（A BK）= &, 21,2,，“.對(duì)于上述問題，我們有下述算法：算法2單輸入系統(tǒng)的極點(diǎn)配置設(shè)計(jì) 第一步：訃算A的特征多項(xiàng)式，即det(.y/ - A)= sn+- - + as + a()第二步：計(jì)算由祐,兄;,盂所決定的多項(xiàng)式，即/(巧=(一/1；)一兄：)=列 +a；_“ +； +0；第三步：計(jì)算R = k - 4 - a；第四步：計(jì)算變換陣1P = Alb Ab

8、 b1an- 1第五步：求Q = /*第六步：所求的增益陣K = KQ 2.5分析力學(xué)中相關(guān)的知識(shí)廣義坐標(biāo)能夠完全確定質(zhì)點(diǎn)系位形的獨(dú)立參變量，用符號(hào)如,的，表示.廣義坐標(biāo)是彼此獨(dú)立的.其選擇有一定的隨意性，只需根據(jù)質(zhì)點(diǎn)系的特點(diǎn)，選擇那些能 夠惟一地確定該系統(tǒng)位形的參變量即可.廣義速率在質(zhì)點(diǎn)系中引入廣義坐標(biāo)之后，質(zhì)點(diǎn)系的運(yùn)動(dòng)可以用廣義坐標(biāo)隨時(shí)間的變化規(guī)律來描 述，即廣義速率：qa=(a = 1,2, -)at廣義坐標(biāo)變分假設(shè)在給定的運(yùn)動(dòng)初始條件下，某質(zhì)點(diǎn)系的運(yùn)動(dòng)微分方程組的解已經(jīng)求得，它的廣義 坐標(biāo)運(yùn)動(dòng)方程為qa=qa(tY廣義速率血=學(xué)于是廣義坐標(biāo)的全微分為百度文庫-讓每個(gè)人平絞地提升口我-

9、-百度文庫-讓每個(gè)人平絞地提升口我- #-同樣，廣義坐標(biāo)也有它的可能運(yùn)動(dòng)方程0； =q：（J（a = 1,2,，燈比較統(tǒng)一瞬時(shí)廣義坐標(biāo)的真實(shí)運(yùn)動(dòng)和與其相鄰的可能運(yùn)動(dòng)，并限定二者的差值為無限小 量，即&la =q； -Qa（a = 1,2,，燈岡&就稱為廣義坐標(biāo)變分.4）質(zhì)點(diǎn)系的自曲度該系統(tǒng)獨(dú)立坐標(biāo)變分的數(shù)U .對(duì)完整系統(tǒng)它的自由度等于它的廣義坐標(biāo)的數(shù)U 5）廣義動(dòng)量質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能T對(duì)廣義速率血的偏導(dǎo)數(shù)，即dT其中動(dòng)能T是廣義坐標(biāo)么和廣義速率的函數(shù)6）勒讓德變換勒讓德變換是把以心心為變量的函數(shù)/（冊(cè)宀”）變換成以”宀，*”為新 變量的函數(shù)/（yry2, .yn）的一種特殊變換，f稱為/的勒讓德變換

10、.設(shè)有一個(gè)二次可微的函數(shù)/（，勺,）,且在雅可比行列式不為零，即的區(qū)域內(nèi)存在以下變量變換(s = 1,2,71)定義/的勒讓德變換為百度文庫-讓每個(gè)人平等地捉升口我- -百度文庫-讓每個(gè)人平等地捉升口我- -了（人？2,人）=兀兒一/于是有下面給出對(duì)部分變量進(jìn)行變換的情況對(duì)保留變量有定理23哈密頓原理從動(dòng)力學(xué)普遍方程出發(fā)可推導(dǎo)出哈密頓原理的一般形式，即（刃+昭 =0中，系統(tǒng)的主動(dòng)力的虛功刃丫可寫成如下形式：刃丫 = 一刃+ 0岡其中，-刃和0岡分別表示有勢(shì)力和非有勢(shì)力的虛功將上式代入式(3.2.1),得(刃一卯 + Q&/)dt =(風(fēng) + Q&dt將L = pq H代入上式，并進(jìn)行變分運(yùn)算，

11、得+ qSp _ 6f)_ & + Qf&)clt = 0 J/odp dq利用式(312)和式(3.1.3)有dHoq一 0)W = O采用與前面同樣的作法，即可得到存在非有勢(shì)力作用時(shí)的哈密頓正則方程dH/ = -cH6g(3.2.2)式中Qf為系統(tǒng)的非有勢(shì)力對(duì)應(yīng)于q的廣義力.4利用哈密頓正則方程建立具體物理系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型水平彈簧質(zhì)量振動(dòng)系統(tǒng)Q圖4.1彈簧質(zhì)量振動(dòng)系統(tǒng)4.1水平彈簧質(zhì)量系統(tǒng)的問題描述假設(shè)系統(tǒng)滿足條件：1）振動(dòng)無阻尼.2）系統(tǒng)只能在水平方向即x方向運(yùn)動(dòng).3）外力“（f）,以x的同方向?yàn)檎?要求：1）建立彈簧質(zhì)量系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程.2）求出反饋增益陣.3）彈簧質(zhì)量系統(tǒng)仿真模擬.4

12、）作任何有意義的討論.2水平彈簧質(zhì)量問題的分析解：令“（J為輸入量，y為輸出量，取彈簧等于原長人時(shí)，質(zhì)量位置。為x坐標(biāo)軸的原 點(diǎn)，取為廣義坐標(biāo).如勢(shì)能零點(diǎn)取在彈簧原長位置，則系統(tǒng)的勢(shì)能V=l,2,因此 系統(tǒng)的拉格朗日函數(shù)L T - V = Tn%/ -kx + uxx.2 2求得廣義動(dòng)量dL Px = =ox因此m計(jì)算哈密頓函數(shù)H,并把它寫成廣義動(dòng)量和廣義坐標(biāo)的函數(shù)H = Pxx. -L=pxx. -(1/nr,2 -l2 +切)=金 + *如-UXl求得H后，按式(322)寫出系統(tǒng)的正則方程dH .Px =- = -kx+uox由上二式消去幾，得到系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微分方程+kxy =4.3建立彈簧質(zhì)

13、量系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型令X2 = Px則有:+0u =0r+1-1000_1m0輸出方程為則彈簧質(zhì)量系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式其中A =x = Ax+bu y = CxC = l 0.5系統(tǒng)閉環(huán)狀態(tài)反饋控制器設(shè)計(jì)1系統(tǒng)狀態(tài)反饋控制根據(jù)線性系統(tǒng)狀態(tài)反饋控制律，設(shè)狀態(tài)反饋下受控系統(tǒng)的輸入為u = -K.x ( K e護(hù)為 反饋增益矩陣，K = k.心)，將上式代入彈簧質(zhì)量振動(dòng)系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式，得到彈 簧質(zhì)量狀態(tài)反饋閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式x = (A-hK)xy = Cx其中 A-bk= k k、 k百度文庫-讓每個(gè)人平絞地提升口我- -百度文庫-讓每個(gè)人平等地捉升口我- -6求解狀態(tài)反饋增益陣由定理21

14、Sc=b A= 顯然系統(tǒng)完全能控，故滿足閉環(huán)極點(diǎn)可任意配置條|_1 0件.取m = 1 ； k = 1給定一組期望的閉環(huán)特征值久=-1 + 八兄2 =_/1）現(xiàn)訃算系統(tǒng)的特征多項(xiàng)式det（5/ -/!）= det= s1 +15再山指定閉環(huán)極點(diǎn)可得希望的閉環(huán)特征多項(xiàng)式為心）=訊訃（S + 1 加 + 1 + j） = s2 +25 + 2于是可求得F=q；-q）4；_叩=1 2再來訃算變換陣并求出其逆e=p_, = 10從而所要確定的反饋增益陣&即為k = kQ = W 2 ： ： =1 2.2）調(diào)用Matlab函數(shù)算出的反饋增益陣見附錄17動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的simul ink仿真7. 1創(chuàng)建Simu

15、 I i nk系統(tǒng)模型首先根據(jù)彈簧質(zhì)量狀態(tài)反饋閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式，選擇合適的Simulink系統(tǒng) 模塊，然后建立此系統(tǒng)的Simulink模型.系統(tǒng)的Simulink模型圖見附錄3.7. 2動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的Simulink仿真在MATLAB中，系統(tǒng)狀態(tài)空間用（A,5C,D）矩陣組表示，當(dāng)輸入（A,B,C,L）矩陣組后, 用函數(shù)55（AB,C,D）直接可以得到狀態(tài)空間模型。在MATLAB中，繪制二維圖形最常用的函 數(shù)是Plot函數(shù)，對(duì)于不同形式的輸入，該函數(shù)可以實(shí)現(xiàn)不同的功能。其調(diào)用格式如下：plot（X, Y）當(dāng)X和Y為向量時(shí)，以第一個(gè)變量為橫坐標(biāo)，第二個(gè)變量為縱坐標(biāo)繪制圖 形。plot（X,Y

16、,s）想繪制不同的線型、顏色、標(biāo)識(shí)等的圖形時(shí)，可調(diào)用此形式，第3個(gè)輸 入變量為圖形顯示屬性的設(shè)置選項(xiàng)：線型、顏色、標(biāo)識(shí)。如圖7. 1,它反映了彈簧質(zhì)量控制系統(tǒng)在極點(diǎn)配置（P二-j）后階躍響應(yīng)情況， 其Mat lab程序見附錄2.圖7.1極點(diǎn)配置后系統(tǒng)的階躍響應(yīng)曲線在完成彈簧質(zhì)量振動(dòng)系統(tǒng)的Simulink模型基礎(chǔ)上，對(duì)系統(tǒng)模型中各模塊進(jìn)行正確而 合適的參數(shù)設(shè)置，便需要對(duì)系統(tǒng)仿真參數(shù)進(jìn)行必要的設(shè)置以開始Simulink仿真，即可了 解系統(tǒng)中有關(guān)位置的信號(hào)的情況，經(jīng)過多次調(diào)試，在狀態(tài)反饋控制器u=-Kx的作用下， 系統(tǒng)不斷地對(duì)位置誤差進(jìn)行控制修正，最終使系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)定的狀態(tài).例1根據(jù)線性系統(tǒng)狀態(tài)反饋控

17、制律，狀態(tài)反饋下受控系統(tǒng)的輸入為u=-Kx（ K e 為 反饋增益矩陣，K = kx k2）.令 x10 = 3 ;x20 = -1;m = 1; k = 1; = 1; k、= 2此情況下，彈簧質(zhì)量控制系統(tǒng)Simulink模型的動(dòng)態(tài)模擬仿真圖如下圖7. 2 Simulink仿真圖山圖知，彈簧質(zhì)量控制系統(tǒng)是穩(wěn)定的.8結(jié)束語彈簧質(zhì)量系統(tǒng)控制問題，使用Simulink對(duì)其進(jìn)行建模與仿真.結(jié)論表明：彈簧質(zhì)量系 統(tǒng)作為動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)，往往表現(xiàn)出強(qiáng)非線性、模型不精確或模型未知等復(fù)雜特征，其控制也 因此而變得非常困難，當(dāng)給定輸入函數(shù)（控制函數(shù)）時(shí)，彈簧活塞系統(tǒng)穩(wěn)定性變化隨著物 體的質(zhì)量、彈簧個(gè)數(shù)改變而改變.本

18、文中彈簧質(zhì)量系統(tǒng)控制問題是一個(gè)簡單的線性系統(tǒng)模 型，這避免不了與實(shí)際情況有一些差異.當(dāng)然原問題的基礎(chǔ)上，再加兩個(gè)彈簧，我們也可 以建立相關(guān)的彈簧質(zhì)量系統(tǒng)模型.要想得到更接近實(shí)際的結(jié)果，我們需要考慮多方面的因 素建立控制模型，當(dāng)然求解和仿真也是比較復(fù)雜.這需要我今后更加努力學(xué)習(xí)、不斷改進(jìn) 模型，并能夠進(jìn)行動(dòng)態(tài)模擬仿真.百度文庫-讓每個(gè)人平等地捉升口我- -百度文庫-讓每個(gè)人平等地捉升口我- -參考文獻(xiàn)1段廣仁編著，線性系統(tǒng)理論，哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社，1996.112葉敏、肖龍翔編著，分析力學(xué)，天津大學(xué)出版社，2001.4L3楊曉松編著,Hamilton系統(tǒng)的拓?fù)淅碚摚袊茖W(xué)技術(shù)大學(xué)出版社，2008. 84王正林、王勝開、陳國順編著，MATLAB/Simulink與控制系統(tǒng)仿真，電子工業(yè)出版社,2005. 7附錄附錄1反饋增益陣的MATLAB的