三歐幾里得與《原本》

1、歐幾里得與幾何原本合肥六中 王楷文思考：請回憶一下，我們當(dāng)初是 怎么學(xué)習(xí)幾何的？幾何命題的明晰性和可靠性愛因斯坦說：“一個人當(dāng)他最初接近幾何時，如果不曾為它的明晰性和可靠性所感動，那么他是不會成為一個科學(xué)家的。”幾何原本拉丁文版幾何原本的內(nèi)容框架定義公設(shè)公理命題中心內(nèi)容第一卷235548直線圖形第二卷20014面積的變換（圖形代數(shù)）第三卷110037圓論第四卷70016圓內(nèi)接、外切多邊形第五卷180025一般量的比例論第六卷40033比例論應(yīng)用于相似形第七卷220039數(shù)論（約數(shù)、倍數(shù)、整數(shù)的比例）第八卷00027數(shù)論（等比級數(shù)、連比例、平方數(shù)、立方數(shù)）定義公設(shè)公理命題中心內(nèi)容第九卷00036

2、數(shù)論（連比例、素數(shù)定理、偶數(shù)與奇數(shù)理論）第十卷第一組4第二組6第三組600115不可通約量理論（無符號代數(shù)）第十一卷290039立體圓形第十二卷00018求積論（窮竭論）第十三卷00018正多面體幾何原本的內(nèi)容框架幾何原本的內(nèi)容初中學(xué)的幾何知識全部出自這本書的前六卷：點、線、面、角的概念、三角形、兩條直線的位置關(guān)系、四邊形、圓、相似形、求圖形的面積。幾何原本的最大價值 這種范式要求一門學(xué)科中的每一個命題必須是在它之前已建立的一些命題基礎(chǔ)上的邏輯結(jié)論，而所有這樣的推理鏈的共同出發(fā)點，是一些基本定義和被認(rèn)為是不證自明的基本原理公設(shè)或公理，這就是所謂的“公理化思想”。幾何原本的最大價值 就像一個個零

3、散的部件在歐幾里得這里形成了一個完整的體系系統(tǒng)； 就像一顆顆散落的珍珠被串成了一條項鏈。 幾何原本完成了這一艱巨的任務(wù)。 自此，“數(shù)學(xué)從一門經(jīng)驗的科學(xué)變成了一門完全理智的科學(xué)”。幾何原本的第卷23個定義：1.點是沒有部分的東西。2.線只有長度而沒有寬度。3.一線的兩端是點。4.直線是它上面的點一樣地平放著的線。5.面只有長度和寬度。6.面的邊緣是線。7.平面是它上面的線一樣地平放著的面。8.平面角是在一平面內(nèi)但不在一條直線上的兩條相交線相互的傾斜度。幾何原本的第卷23個定義：9.當(dāng)包含角的兩條線都是直線時，這個角叫做直線角。10.當(dāng)一條直線和另一條直線交成鄰角彼此相等時，這些角每一個被叫做直角

4、，而且稱這一條直線垂直于另一條直線。11.大于直角的角稱為鈍角。12.小于直角的角稱為銳角。13.邊界是物體的邊緣。幾何原本的第卷23個定義：14.圖形是一個邊界或者幾個邊界所圍成的。15.圓：由一條線包圍著的平面圖形，其內(nèi)有一點與這條線上任何一個點所連成的線段都相等。16.這個點（指定義15中提到的那個點）叫做圓心。17.圓的直徑是任意一條經(jīng)過圓心的直線在兩個方向被圓截得的線段，且把圓二等分。幾何原本的第卷23個定義：18.半圓是直徑與被它切割的圓弧所圍成的圖形，半圓的圓心與原圓心相同。（暫無注釋）19.直線形是由直線圍成的.三邊形是由三條直線圍成的,四邊形是由四條直線圍成的,多邊形是由四條

5、以上直線圍成的。20.在三邊形中,三條邊相等的,叫做等邊三角形;只有兩條邊相等的,叫做等腰三角形;各邊不等的,叫做不等邊三角形。幾何原本的第卷23個定義：21.此外,在三邊形中,有一個角是直角的,叫做直角三角形;有一個角是鈍角的,叫做鈍角三角形;各邊不等的,叫做不等邊三角形。幾何原本的第卷23個定義：22.在四邊形中,四邊相等且四個角是直角的,叫做正方形;角是直角,但四邊不全相等的,叫做長方形;四邊相等,但角不是直角的,叫做菱形;對角相等且對邊相等,但邊不全相等且角不是直角的,叫做斜方形;其余的四邊形叫做不規(guī)則四邊形。23.平行直線是在同一個平面內(nèi)向兩端無限延長不能相交的直線。幾何原本的第卷5

6、條公設(shè)：1.過兩點能作且只能作一直線。2.線段(有限直線)可以無限地延長。3.以任一點為圓心,任意長為半徑,可作一圓。4.凡是直角都相等。5.同平面內(nèi)一條直線和另外兩條直線相交，若在直線同側(cè)的兩個內(nèi)角之和小于180，則這兩條直線經(jīng)無限延長后在這一側(cè)一定相交。幾何原本的第卷5條公理：1.等于同量的量彼此相等。2.等量加等量，其和相等。3.等量減等量，其差相等。4.彼此能重合的物體是全等的；5.整體大于部分。近代數(shù)學(xué)不區(qū)分公設(shè)，公理，統(tǒng)一稱為公理。幾何原本中的命題過程：設(shè)此線段為AB,以A為圓心，AB為半徑作圓BCD（公設(shè)3：以任一點為圓心,任意長為半徑,可作一圓），再以B為圓心，AB為半徑作圓A

7、CE(公設(shè)3：以任一點為圓心,任意長為半徑,可作一圓)，再由二圓的交點C到A、B作直線段AC、BC(公設(shè)1：過兩點能作且只能作一直線).由于A是圓BCD的圓心，所以AB=AC(定義15：圓：由一條線包圍著的平面圖形，其內(nèi)有一點與這條線上任何一個點所連成的線段都相等).同理AB=BC，所以BC=AC(公理1：等于同量的量彼此相等).這樣，ABC的三邊相等，因而是等邊三角形。（定義20：在三邊形中,三條邊相等的,叫做等邊三角形命題1：在一給定的有限長線段上作一等邊三角形.幾何原本中的命題過程：設(shè)A是已知點，BC是已知線段。由點A到點B連線段AB（公設(shè)1：過兩點能作且只能作一直線），而且在AB上作等

8、邊三角形DAB1.1:在一給定的有限長線段上作一等邊三角形，延長DA、DB成直線AE、BF(公設(shè)2：線段(有限直線)可以無限地延長).以B為心，以BC為距離畫圓CGH(公設(shè)3：以任一點為圓心,任意長為半徑,可作一圓).再以D為心，以DG為距離畫圓GKL（公設(shè)3）因為點B是圓CGH的心，故BC等于BG（定義15），點D是圓GKL的心，故DL等于DG（定義15），又DA等于DB,所以余量AL等于余量BG(公理3：等量減等量，其差相等）命題2：由一個已知點（作為端點）作一線段等于已知線段.幾何原本中的命題過程：但已證明了BC等于BG,所以線段AL、BC的每一個都等于BG.（公理1）一又因等于同量的量

9、彼此相等（公理1）所以AL也等于BC從而，由已知點A作出了線段AL等于已知線段BC.命題2：由一個已知點（作為端點）作一線段等于已知線段.幾何原本中的命題 歐幾里得驚人的天才首先在于他恰好選擇了他所必需的公理、公設(shè)和定義，既不太多，又足夠證明全書所含有的一切定理；其次在于，到那時為止所知道的幾何命題全部被合乎邏輯地編排起來，成為體系。這是十分偉大的業(yè)績。代表著人類理性思維的一個高峰。 牛頓的自然哲學(xué)數(shù)學(xué)原理就是按照幾何原本的標(biāo)準(zhǔn)樣式寫的?！皫缀沃浮睔W幾里得一件是他生活在公元前300年左右，居于柏拉圖的學(xué)生與阿基米德之間，另一件是他曾在亞歷山大港教過書?！皫缀沃浮睔W幾里得科學(xué)史家薩頓曾經(jīng)感慨

10、過:“對歐幾里得以及其他某些先賢生平的這種無知是尋常而非例外的，人們記住了暴君和獨裁者，成功的政治人物，富豪（起碼一部分富豪），卻忘記了自己最大的恩人?！彼_頓“幾何之父”歐幾里得故事一:希臘數(shù)學(xué)史記載：有個學(xué)生跟歐幾里得剛剛學(xué)了第一個幾何命題，便急不可耐地問學(xué)了幾何學(xué)將得到什么好處，歐幾里得對侍者說：拿三個錢來給這位先生，他想的是在學(xué)習(xí)中要得到實惠?！皫缀沃浮睔W幾里得故事二:另一位古代學(xué)者在幾何原本注釋中寫道: 托勒密國王很熱愛幾何，但是又不想深入研究，就問歐幾里得：學(xué)習(xí)幾何學(xué)有沒有捷徑可走？歐幾里得答道：幾何學(xué)沒有陛下的坦途。（幾何無王者之道/幾何無坦途）總結(jié)幾何原本對世界數(shù)學(xué)的貢獻(xiàn)： 建

11、立了歐氏幾何；建立了公理演繹體系，即用公理、公設(shè)和定義的推證方法，確立了數(shù)學(xué)的基本方法學(xué)；將邏輯證明系統(tǒng)地引入數(shù)學(xué)中，確立了邏輯學(xué)的基本方法?？偨Y(jié)幾何原本對世界的影響： 從此西方的科學(xué)里有了體系一說，西方的科學(xué)家們驚嘆于歐幾里得發(fā)明的這套方法，于是紛紛將這一套東西引入到自己的研究領(lǐng)域，從此這種方式成為了西方科學(xué)研究的基本范式。 任何人研究一個全新的領(lǐng)域，都先作幾個最基本的假設(shè)作為公理，然后從這些假設(shè)出發(fā)推導(dǎo)出一些定理，當(dāng)然，必須保證自己推導(dǎo)的這些定理前后不矛盾（這就需要很強的邏輯能力，幾何原本就是對邏輯能力最好的訓(xùn)練材料），然后以這些推導(dǎo)出來的定理為基礎(chǔ)，利用嚴(yán)密的邏輯一步步的擴(kuò)大領(lǐng)域，最終把這個領(lǐng)域內(nèi)的一切都包含進(jìn)來。如果公理可靠，那么推出來的結(jié)論也一定是可靠的。總結(jié)后世評價：徐光啟：“此書有四不必：不必疑，不必揣，不必試，不必改。”“此書無一人不當(dāng)學(xué)”“能精此書者，無一事不可精，好學(xué)此書者，無一事不可學(xué)?！笨偨Y(jié)后世評價：愛因斯坦：“世界第一次目睹了一個邏輯體系的奇跡。這個邏輯體系如此精密地一步一步地推進(jìn)，以致它的每一個命題都是絕對不容置