材料力學(xué)第十三章-能量方法(1)課件

1、王 培 榮 材料力學(xué)課堂教學(xué)課件Friday, August 5, 2022第1頁，共72頁。1掌握計算應(yīng)變能、熟練掌握功能原理及其應(yīng)用。2.熟練掌握功的互等定理和位移互等定理及其應(yīng)用。3.掌握余能計算、卡氏定理及其應(yīng)用。教學(xué)要求第2頁，共72頁。第十三章 能量方法 Energy method第3頁，共72頁。131 概述 General introduction第4頁，共72頁。能量法固體力學(xué)中，把一個功的概念和應(yīng)變能的概念有關(guān)的理論和方法統(tǒng)稱為能量法 根據(jù)能量守恒定律。貯存在物體中的應(yīng)變能U等于外力在物體變形過程中所做的功W。 U=W第5頁，共72頁。132 桿件應(yīng)變能的計算 第6頁，共7

2、2頁。1、外力功的計算(1)力（P）和位移（）是廣義的，即：集中力、集中力偶矩和相對作用力位移含線位移、角位移、相對位移External forces work第7頁，共72頁。(2) 力和位移的關(guān)系可以是線性的或非線性的（如圖）功 W=Pd余功 WC=dP功+余功=常力功第8頁，共72頁。外力功的計算PPP 廣義力； 廣義位移材料線彈性；幾何線性；小變形。注意：常力做功與變力做功區(qū)別。P第9頁，共72頁。靜載（由零逐漸增加到最終值）作用下，外力在彈性體上所作的功，等于力的最終值與相應(yīng)位移的最終值的乘積之半。 當(dāng)彈性體上作用有幾個外力P1、P2、Pn，這時所有外力作的總功等于這些力分別與其相應(yīng)

3、位移乘積之和的一半，即：第10頁，共72頁。 由零逐漸增加到最終值的力是變力；已經(jīng)加在桿件上不變的力是常力。當(dāng)外力為變力時， （線彈性）功的表達(dá)式中的系數(shù)為1/2；而當(dāng)外力為常力時，功的表達(dá)式中的系數(shù)為1。第11頁，共72頁。 力對由自身產(chǎn)生對應(yīng)位移所作的功 （線彈性） 力對其它因素引起對應(yīng)位移所作的功。 第12頁，共72頁。2.應(yīng)變能（用U或V表示）在彈性范圍內(nèi)，彈性體在外力作用下發(fā)生變形而在體內(nèi)積蓄的能量，稱為彈性變形能，簡稱變形能。在彈性范圍內(nèi)，當(dāng)卸載時，變形能全部釋放出來而使物體彈性恢復(fù)。因此，彈性變形能是可逆的。當(dāng)超過彈性范圍后，物體將發(fā)生塑性變形，并消耗一部分能量，這部分能量是不可

4、逆的。第13頁，共72頁。du=d應(yīng)變比能 u=du=d應(yīng)變能 U=vudv=v(d)dv第14頁，共72頁。功能原理：物體在外力作用下發(fā)生變形，根據(jù)能量守恒定律，當(dāng)忽略其它能量損耗時，物體的變形能在數(shù)值上等于外力在加載過程中在相應(yīng)位移上所的做功，即U=W第15頁，共72頁。(1) 軸向拉伸和壓縮第16頁，共72頁。(2) 扭轉(zhuǎn)第17頁，共72頁。(3) 彎曲純彎曲：第18頁，共72頁。 橫力彎曲的梁，其橫截面上既有彎矩，又有剪力，應(yīng)該分別計算彎曲變形能和剪切變形能，再求和。 但是對于細(xì)長梁，剪切變形能與彎曲變形能相比，一般很小，可以略去不計，所以只計算彎曲變形能。橫力彎曲：第19頁，共72頁

5、。矩形：圓形： 薄壁管：第20頁，共72頁。對右圖矩形截面 細(xì)長桿，剪力引起的變形能可忽略不計。第21頁，共72頁。133 應(yīng)變能的普遍表達(dá)式第22頁，共72頁。(4) 組合變形第23頁，共72頁。變形能的性質(zhì)第24頁，共72頁。(1)變形能只與荷載的最終值有關(guān)，而與加載的中間過程或加載的先后次序無關(guān)。(2)一般說來，變形能不能簡單疊加。但是如果桿件受到兩種荷載作用，其中任何一種荷載在另一種荷載引起的位移上不作功，則可以把這兩種荷載單獨作用時的變形能進(jìn)行疊加，從而得到它們共同作用時桿件的變形能。第25頁，共72頁。利用功能原理計算加力點的位移第26頁，共72頁。 利用U=W可以計算桿件或結(jié)構(gòu)的

6、位移。但是只限于單一荷載作用，而且所求位移只是荷載作用點（或作用面）沿著荷載的作用方向與荷載對應(yīng)的位移。第27頁，共72頁。例：等截面直桿AB和BC組成的構(gòu)架受力如圖所示。若兩桿的抗拉(壓)剛度均為EA設(shè)P 、l、EA都已知，試求B點的豎直位移B。第28頁，共72頁。解：由節(jié)點B的靜力平衡條件求得各桿內(nèi)力:構(gòu)架的變形能等于 AB和 BC兩桿變形能之和:第29頁，共72頁。第30頁，共72頁。例：懸臂梁受集中力偶矩M。的作用如圖所示。若EI、l 均已知，試求自由端B截面的轉(zhuǎn)角。第31頁，共72頁。解：M(x)=-M0第32頁，共72頁。 B為集中力偶作用處B截面的角位移。這里計算所得的B是正號，

7、表示 B的轉(zhuǎn)向與 Mo的轉(zhuǎn)向一致（為什么？）。按照本書的規(guī)定，這樣的轉(zhuǎn)角為負(fù)。值得指出的是，本例只能應(yīng)用變形能法來計算B截面的轉(zhuǎn)角，而不能計算B截面的撓度。（為什么？）第33頁，共72頁。 例：試求圖示懸臂梁的變形能，并利用功能原理求自由端B的撓度。第34頁，共72頁。解：第35頁，共72頁。 例：試求圖示梁的變形能，并利用功能原理求C截面的撓度。第36頁，共72頁。解：第37頁，共72頁。例：試求圖示四分之一圓曲桿的變形能，并利用功能原理求B截面的垂直位移。已知EI 為常量。第38頁，共72頁。解：第39頁，共72頁。 例：軸線為半圓形的平面曲桿，作用于A端的集中力P垂直于軸線所在的平面。試

8、求A點的垂直位移。已知GIp、EI為常量。第40頁，共72頁。解：第41頁，共72頁。134 互等定理 第42頁，共72頁。載荷作用點位移發(fā)生點第43頁，共72頁。第44頁，共72頁。功的互等定理:位移互等定理:數(shù)量關(guān)系數(shù)量關(guān)系第45頁，共72頁。 在推證上面兩個定理時,雖然我們以梁為例,卻沒有用彎曲變形的特點。所以對服從虎克定律且變形很小的其它結(jié)構(gòu),如剛架、拱、桁架、板、殼等，這兩個定理都是適用的。第46頁，共72頁。用功（位移）互等定理關(guān)鍵1. 找出狀態(tài)，使?fàn)顟B(tài)的外力在（狀態(tài)）所求的位移上做功；2. 狀態(tài)的外力作用下，（狀態(tài)）外力作用點、(狀態(tài)）外力相應(yīng)位移容易求出。第47頁，共72頁。

9、例：求圖示簡支梁C截面的撓度。第48頁，共72頁。第49頁，共72頁。 例：求圖示懸臂梁中點C處的鉛垂位移C。第50頁，共72頁。第51頁，共72頁。例：已知簡支梁在均布載荷 q 作用下，梁的中點撓度 。求梁在中點集中力P作用下 (見圖)，梁的撓曲線與梁變形前的軸線所圍成的面積 。第52頁，共72頁。第53頁，共72頁。例：長為 l、直徑為d的圓桿受一對橫向壓力 P作用，求此桿長度的伸長量。已知E和。第54頁，共72頁。第55頁，共72頁。135 卡氏定理第56頁，共72頁。余應(yīng)變比能 uc=d余應(yīng)變能 Uc=vvdv=v(d)dv注意：若為線性應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系時 u=uc U=Uc 第57頁，

10、共72頁。所示關(guān)系，卡斯提里阿諾（A Castigliano）推導(dǎo)出了計算彈性桿件的力和位移的兩個定理，通常稱之為卡氏第一定理和卡氏第二定理。利用公式:第58頁，共72頁。卡氏第二定理這個定理是一個適用于非線性彈性桿件的普遍定理在線彈性情況下的特例第59頁，共72頁。設(shè)梁上有n個集中荷載作用，這些集中力作用點的最后位移分別為1、2、n。為計算方便起見，假定這些荷載都是同時作用在梁上并按同一比例逐漸從零增加到其最后值P1、P2、Pn（通常稱之為簡單加載)。第60頁，共72頁。 外力所作總余功就等于每個集中力的余功總和?？蓪懗鯱C的表達(dá)式如下：表明梁內(nèi)的余能是作用在梁上一系列外力Pi的函數(shù).第61

11、頁，共72頁?，F(xiàn)假設(shè)第i個外力Pi有一微小增量dPi，則梁內(nèi)余能的變化dUC應(yīng)為外力總余功的變化為此式可用來計算非線性彈性桿件或桿系在外力Pi作用點處與Pi相應(yīng)的位移i第62頁，共72頁。在線彈性桿件或桿系U=UC線彈性桿件或桿系的應(yīng)變能U對于作用在該桿件或桿系上的某一外力之變化率就等于該力作用點沿作用線方向的位移。卡氏第二定理第63頁，共72頁。(1) 軸向拉伸和壓縮(2) 扭轉(zhuǎn)(3) 彎曲(4) 組合變形第64頁，共72頁。注意Pi應(yīng)理解為作用在桿上的廣義力而i則為與Pi相應(yīng)的廣義位移卡氏第二定理則僅適用于線彈性體對于非線性彈性體則只能按余能的變率來計算克羅第-恩格塞定理第65頁，共72頁。討論與思考題EIEIaaABCPP第66頁，共72頁。例題:用卡氏第二定理計算圖示等截面開口圓環(huán)的張開位移。此環(huán)的材料為線彈性的。第67頁，共72頁。 解：由于材料是線彈性的，故可按卡氏第二定理計算此開口圓環(huán)兩施力點間的相對位移。兩力P大小相等而指向相反，在這里可視為一個廣義力，與之