高中數(shù)學(xué)選修第一冊：第2章 2.2.1　直線的傾斜角與斜率-【新教材】人教B版（2019）高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊講義

1、2.2直線及其方程2.2.1直線的傾斜角與斜率學(xué) 習(xí) 目 標(biāo)核 心 素 養(yǎng)1理解直線的傾斜角和斜率的概念(重點)2理解直線斜率的幾何意義；掌握傾斜角與斜率的對應(yīng)關(guān)系(重點)3掌握過兩點的直線的斜率公式(重點)4直線傾斜角與斜率的對應(yīng)關(guān)系在解題中的應(yīng)用(難點)5掌握直線的方向向量和法向量(重點)1通過直線的傾斜角與斜率的概念學(xué)習(xí)，培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng)2借助傾斜角與斜率的關(guān)系，提升數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng)我們知道，經(jīng)過兩點有且只有(確定)一條直線，那么，經(jīng)過一點P的直線l的位置能確定嗎？如圖所示，過一點P可以作無數(shù)多條直線a，b，c，我們可以看出這些直線都過點P，但它們的“傾斜程度”不同，怎樣描述這種

2、“傾斜程度”的不同呢？1直線的傾斜角(1)傾斜角的定義一般地，給定平面直角坐標(biāo)系中的一條直線，如果這條直線與x軸相交，將x軸繞著它們的交點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)到與直線重合時所轉(zhuǎn)的最小正角記為，則稱為這條直線的傾斜角(2)當(dāng)直線與x軸平行或重合時，規(guī)定該直線的傾斜角為0(3)傾斜角的范圍為0，180)2直線的傾斜角與斜率一般地，如果A(x1，y1)，B(x2，y2)是直線上l兩個不同的點，直線l的傾斜角為，則：(1)當(dāng)y1y2時(此時必有x1x2)，0(2)當(dāng)x1x2時(此時必有y1y2)，90(3)當(dāng)x1x2且y1y2時，tan eq f(y2y1,x2x1)思考1：當(dāng)x1x2且y1y2時，(3)

3、式中的式子成立嗎？提示成立(4)一般地，如果直線l的傾斜角為，當(dāng)90時，稱ktan 為直線l的斜率，當(dāng)90時，稱直線l的斜率不存在(5)若A(x1，y1)，B(x2，y2)是直線l上兩個不同的點，當(dāng)x1x2時，直線l的斜率為keq f(y2y1,x2x1)思考2：運用(5)中公式計算直線AB的斜率時，需要考慮A、B的順序嗎？提示kABeq f(y2y1,x2x1)kBAeq f(y1y2,x1x2)，所以直線AB的斜率與A、B兩點的順序無關(guān)思考3：直線的斜率與傾斜角是一一對應(yīng)的嗎？提示不是，當(dāng)傾斜角為90時，直線的斜率不存在3直線的方向向量(1)一般地，如果表示非零向量a的有向線段所在的直線與

4、直線l平行或重合，則稱向量a為直線l的一個方向向量，記作al(2)如果a為直線l的一個方向向量，那么對于任意的實數(shù)0，向量a都是l的一個方向向量，而且直線l的任意兩個方向向量一定共線(3)如果A(x1，y1)，B(x2，y2)是直線l上兩個不同的點，則eq o(AB,sup7()(x2x1，y2y1)是直線l的一個方向向量思考4：設(shè)l是平面直角坐標(biāo)系中的一條直線，且傾斜角為45，你能寫出該直線的方向向量嗎？提示(1,1)(4)一般地，如果已知a(u，v)是直線l的一個方向向量，則：當(dāng)u0時，顯然直線的斜率不存在，傾斜角為90當(dāng)u0時，直線l的斜率存在，且(1，k)與a(u，v)都是直線l的方向

5、向量，由直線的任意兩個方向向量共線可知1vku，從而keq f(v,u)，tan eq f(v,u)4直線的法向量一般地，如果表示非零向量的有向線段所在的直線與直線l垂直，則稱向量為l的一個法向量，記作l思考5：如果a(1,2)是直線l的一個方向向量，你能寫出l的一個法向量嗎？提示(2,1)1思考辨析(正確的打“”，錯誤的打“”)(1)傾斜角是描述直線的傾斜程度的唯一方法()(2)任何一條直線有且只有一個斜率和它對應(yīng)()(3)一個傾斜角不能確定一條直線()(4)斜率公式與兩點的順序無關(guān)()(5)直線的方向向量與法向量不唯一()答案(1)(2)(3)(4)(5)提示(1)錯誤除了傾斜角，還可以用

6、斜率描述直線的傾斜程度(2)錯誤傾斜角不是90的直線有且只有一個斜率和它對應(yīng)(3)正確確定平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的一條直線位置的幾何要素：一個點P和一個傾斜角(4)正確斜率公式與兩點的順序無關(guān)，即兩縱坐標(biāo)和橫坐標(biāo)在公式中的次序可以同時調(diào)換(5)正確若a為直線的方向向量，則a(0)也是直線的方向向量2如圖所示，直線l的傾斜角為()A30B60C120 D以上都不對C根據(jù)傾斜角的定義知，直線l的傾斜角為30901203直線l過點M(1,2)，N(2,5)，則l的斜率為()A3B3Ceq f(1,3)Deq f(1,3)A根據(jù)題意，l的斜率為eq f(52,21)34直線l經(jīng)過點A(2,1)和B(5，2)

7、，則直線l的一個方向向量為 (7，3)eq o(AB,sup7()(52，21)(7，3)5已知三點A(a,2)，B(3,7)，C(2，9a)在同一條直線上，實數(shù)a的值為 2或eq f(2,9)A、B、C三點共線，kABkBC，即eq f(5,3a)eq f(9a7,5)，a2或aeq f(2,9)直線的傾斜角【例1】設(shè)直線l過坐標(biāo)原點，它的傾斜角為，如果將l繞坐標(biāo)原點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)45，得到直線l1，那么l1的傾斜角為()A45B135C135D當(dāng)0135時，傾斜角為45；當(dāng)135180時，傾斜角為135D根據(jù)題意，畫出圖形，如圖所示：因為0180，顯然A，B，C未分類討論，均不全面，不合

8、題意通過畫圖(如圖所示)可知：當(dāng)0135，l1的傾斜角為45；當(dāng)135180時，l1的傾斜角為45180135故選D求直線的傾斜角的方法及兩點注意(1)方法：結(jié)合圖形，利用特殊三角形(如直角三角形)求角(2)兩點注意：當(dāng)直線與x軸平行或重合時，傾斜角為0，當(dāng)直線與x軸垂直時，傾斜角為90注意直線傾斜角的取值范圍是0180eq o(跟進訓(xùn)練)1已知直線l1的傾斜角為115，直線l1與l2的交點為A，直線l1和l2向上的方向之間所成的角為120，如圖所示，求直線l2的傾斜角解l1與l2向上的方向之間所成的角為120，l2與x軸交于點B，傾斜角ABx12015135直線的斜率【例2】如圖所示，直線l

9、1，l2，l3都經(jīng)過點P(3,2)，又l1，l2，l3分別經(jīng)過點Q1(2，1)，Q2(4，2)，Q3(3,2)(1)試計算直線l1，l2，l3的斜率；(2)若還存點Q4(a,3)，試求直線PQ4的斜率思路探究根據(jù)題意，分清直線過哪兩個點，然后用斜率公式求解，要注意斜率不存在的情況解(1)由已知得，直線l1，l2，l3的斜率都存在設(shè)它們的斜率分別為k1，k2，k3則由斜率公式得：k1eq f(12,23)eq f(3,5)，k2eq f(22,43)4，k3eq f(22,33)0(2)當(dāng)a3時，直線PQ4與x軸垂直，此時其斜率不存在當(dāng)a3時，其斜率keq f(32,a3)eq f(1,a3)1

10、求斜率時要注意斜率公式的適用范圍，若給出直線上兩個點的坐標(biāo)，首先要觀察橫坐標(biāo)是否相同，若相同，則斜率不存在；若不相同，則可使用斜率公式若給出兩個點的橫坐標(biāo)中含有參數(shù)，則要對參數(shù)進行分類討論，分類的依據(jù)便是“兩個橫坐標(biāo)是否相等”2由例題中圖可以看出：(1)當(dāng)直線的斜率為正時(l1)，直線從左下方向右上方傾斜；(2)當(dāng)直線的斜率為負時(l2)，直線從左上方向右下方傾斜；(3)當(dāng)直線的斜率為0時(l3)，直線與x軸平行或重合eq o(跟進訓(xùn)練)2已知坐標(biāo)平面內(nèi)三點A(1,1)，B(1,1)，C(2，eq r(3)1)(1)求直線AB、BC、AC的斜率和傾斜角；(2)若D為ABC的邊AB上一動點，求直

11、線CD斜率k的變化范圍解(1)由斜率公式得kABeq f(11,11)0，kBCeq f(r(3)11,21)eq r(3)kACeq f(r(3)11,21)eq f(r(3),3)傾斜角的取值范圍是0180又tan 00，AB的傾斜角為0tan 60eq r(3)，BC的傾斜角為60tan 30eq f(r(3),3)，AC的傾斜角為30(2)如圖，當(dāng)斜率k變化時，直線CD繞C點旋轉(zhuǎn)，當(dāng)直線CD由CA逆時針方向旋轉(zhuǎn)到CB時，直線CD與AB恒有交點，即D在線段AB上，此時k由kCA增大到kCB，所以k的取值范圍為eq blcrc(avs4alco1(f(r(3),3)，r(3)斜率公式的應(yīng)用

12、探究問題1斜率公式keq f(y2y1,x2x1)中，分子與分母的順序是否可以互換？y1與y2，x1與x2的順序呢？提示斜率公式中分子與分母的順序不可互換，但y1與y2和x1與x2可以同時互換順序，即斜率公式也可寫為keq f(y1y2,x1x2)2你能證明A(3，5)，B(1,3)，C(5,11)三點在同一條直線上嗎？提示能因為A(3，5)，B(1,3)，C(5,11)，所以kABeq f(35,13)2，kBCeq f(113,51)2，所以kABkBC，且直線AB，BC有公共點B，所以A，B，C這三點在同一條直線上【例3】已知直線l過點M(m1，m1)，N(2m，1)(1)當(dāng)m為何值時，

13、直線l的斜率是1?(2)當(dāng)m為何值時，直線l的傾斜角為90？思路探究求直線的斜率直線的斜率公式解(1)kMNeq f(m11,m12m)1，解得meq f(3,2)(2)l的傾斜角為90，即l平行于y軸，所以m12m，得m11本例條件不變，試求直線l的傾斜角為銳角時實數(shù)m的取值范圍解由題意知eq blcrc (avs4alco1(f(m11,m12m)0，,m11，)解得1m22若將本例中的“N(2m,1)”改為“N(3m,2m)”，其他條件不變，結(jié)果如何？解(1)由題意知eq f(m12m,m13m)1，解得m2(2)由題意知m13m，得meq f(1,2)直線斜率的計算方法(1)判斷兩點的

14、橫坐標(biāo)是否相等，若相等，則直線的斜率不存在(2)若兩點的橫坐標(biāo)不相等，則可以用斜率公式keq f(y2y1,x2x1)(其中x1x2)進行計算求直線的方向向量或法向量【例4】已知直線l通過點A(1,2)，B(4,5)，求直線l的一個方向向量和法向量，并確定直線l的斜率與傾斜角解eq o(AB,sup7()(41,52)(3,3)是直線l的一個方向向量由法向量與方向向量垂直，法向量可以為(1,1)因此直線的斜率k1，直線的傾斜角滿足tan 1，從而可知45求方向向量和法向量的方法(1)若A(x1，y1)，B(x2，y2)是直線上的兩個不同的點，則直線l的方向向量為eq o(AB,sup7()(x

15、2x1，y2y1)，直線的法向量和方向向量垂直(2)直線的方向向量和法向量不唯一eq o(跟進訓(xùn)練)3已知直線l經(jīng)過點M(3,3)和N(2,3eq r(3)，求直線l的一個方向向量和法向量，并求直線l的斜率和傾斜角解eq o(MN,sup7()(23,3eq r(3)3)(1，eq r(3)，直線l的一個方向向量為(1，eq r(3)，由于法向量與方向向量垂直法向量v(eq r(3)，1)，斜率keq f(3r(3)3,23)eq r(3)，由tan eq r(3)知1201斜率公式keq f(y2y1,x2x1)eq blc(rc)(avs4alco1(或kf(y1y2,x1x2)(x1x2

16、)2直線的傾斜角定義及范圍：01803直線斜率的幾何意義：ktan (90)4斜率k與傾斜角之間的關(guān)系eq blcrc (avs4alco1(0ktan 00，,090ktan 0，,90tan 不存在k不存在，,90180ktan 0.)1若經(jīng)過P(2，m)和Q(m,4)的直線的斜率為1，則m等于()A1B4C1或3D1或4A由題意知kPQeq f(4m,m2)1，解得m12斜率不存在的直線一定是()A過原點的直線B垂直于x軸的直線C垂直于y軸的直線D垂直于坐標(biāo)軸的直線B只有直線垂直于x軸時，其傾斜角為90，斜率不存在3若過兩點M(3，y)，N(0，eq r(3)的直線的傾斜角為150，則y的值為()Aeq r(3) B0 Ceq r(3) D3B由斜率公式知eq f(r(3)y,03)tan 150，eq f(r(3)y,03)eq f(r(3),3)，y04已知直線l的傾斜角為，且0135，則直線l的斜率