高中數(shù)學(xué)選修第一冊：3.3.2 拋物線的簡單幾何性質(zhì)（分層練習(xí)）-2020-2021學(xué)年高二數(shù)學(xué)新教材配套練習(xí)（人教A版選擇性必修第一冊）

1、 3.3.2 拋物線的簡單幾何性質(zhì) 基 礎(chǔ) 練 鞏固新知 夯實基礎(chǔ)1過點(2,4)的直線與拋物線y28x只有一個公共點，這樣的直線有()A1條B2條C3條D4條2.設(shè)AB為過拋物線y22px (p0)的焦點的弦，則|AB|的最小值為()A.eq f(p,2) B.p C.2p D.無法確定3若拋物線y2x上一點P到準(zhǔn)線的距離等于它到頂點的距離，則點P的坐標(biāo)為()Aeq blc(rc)(avs4alco1(f(1,4)，f(r(2),4)Beq blc(rc)(avs4alco1(f(1,8)，f(r(2),4)Ceq blc(rc)(avs4alco1(f(1,4)，f(r(2),4)Deq

2、blc(rc)(avs4alco1(f(1,8)，f(r(2),4)4.過拋物線y24x的焦點作直線交拋物線于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點，如果x1x26，那么|AB|()A.6 B.8 C.9 D.105.拋物線y28x的焦點為F，點P在拋物線上，若|PF|5，則點P的坐標(biāo)為()A.(3，2eq r(6)B.(3，2eq r(6)C.(3，2eq r(6)或(3，2eq r(6)D.(3，2eq r(6)或(3，2eq r(6)6過點(1,0)作斜率為2的直線，與拋物線y28x交于A，B兩點，則弦AB的長為()A2eq r(13)B2eq r(15)C2eq r(17)D2eq r

3、(19)7.已知圓C：x2y26x8y210，拋物線y28x的準(zhǔn)線為l，設(shè)拋物線上任一點P到直線l的距離為m，則m|PC|的最小值為_.8已知拋物線C：y22px(p0)過點A(2，4)(1)求拋物線C的方程，并求其準(zhǔn)線方程；(2)若點B(0,2)，求過點B且與拋物線C有且僅有一個公共點的直線l的方程 能 力 練 綜合應(yīng)用 核心素養(yǎng)9(多選題)經(jīng)過拋物線y22px(p0)的焦點F的直線交拋物線于A，B兩點，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則下列說法中正確的是()A當(dāng)AB與x軸垂直時，|AB|最小 Beq f(1,|AF|)eq f(1,|BF|)eq f(2,p)C以弦AB為直徑的圓與直

4、線xeq f(p,2)相離 Dy1y2p210拋物線y22px過點A(2,4)，F(xiàn)是其焦點，又定點B(8，8)，那么|AF|BF|()A14 B12 C25 D3811拋物線有如下光學(xué)性質(zhì)：過焦點的光線經(jīng)拋物線反射后平行于拋物線的對稱軸；反之，平行于拋物線對稱軸的入射光線經(jīng)拋物線反射后必過拋物線的焦點已知拋物線y24x的焦點為F，一條平行于x軸的光線從點M(3,1)射出，經(jīng)過拋物線上的點A反射后，再經(jīng)拋物線上的另一點B射出，則直線AB的斜率為()Aeq f(4,3) Beq f(4,3) Ceq f(4,3)Deq f(16,9)12拋物線x22py(p0)的焦點為F，其準(zhǔn)線與雙曲線eq f(

5、x2,3)eq f(y2,3)1相交于A，B兩點，若ABF為等邊三角形，則p_.13直線yx1被拋物線y24x截得的線段的中點坐標(biāo)是_14拋物線y24x上的點到直線xy40的最小距離為_15已知拋物線C的頂點在原點，焦點在x軸上，且拋物線上有一點P(4，m)到焦點的距離為6.則拋物線C的方程為_；若拋物線C與直線ykx2相交于不同的兩點A，B，且AB中點橫坐標(biāo)為2，則k_.16.已知點A(2，3)在拋物線C：y22px的準(zhǔn)線上，記拋物線C的焦點為F，則直線AF的斜率為_.17.已知拋物線C的頂點在原點，焦點F在x軸的正半軸上，設(shè)A，B是拋物線C上的兩個動點(AB不垂直于x軸)，且|AF|BF|

6、8，線段AB的垂直平分線恒經(jīng)過點Q(6，0)，求拋物線的方程.18.如圖，過拋物線y2x上一點A(4，2)作傾斜角互補的兩條直線AB，AC交拋物線于B，C兩點，求證：直線BC的斜率是定值.【參考答案】1.B點(2,4)在拋物線y28x上，則過該點與拋物線相切的直線和過該點與x軸平行的直線都與拋物線只有一個公共點，故選B.2.C 解析當(dāng)AB垂直于對稱軸時，|AB|取最小值，此時AB為拋物線的通徑，長度等于2p.3.B設(shè)點P的坐標(biāo)為(a2，a)，依題意可知拋物線的準(zhǔn)線方程為xeq f(1,4)，則a2eq f(1,4)eq r(a4a2)，解得aeq f(r(2),4)，故點P的坐標(biāo)為eq blc

7、(rc)(avs4alco1(f(1,8)，f(r(2),4).4.B 解析因為直線AB過焦點F(1，0)，所以|AB|x1x2p628.5. C 解析設(shè)點P的坐標(biāo)為(x，y)，|PF|5，x(2)5，x3.把x3代入方程y28x得y224，y2eq r(6).點P的坐標(biāo)為(3，2eq r(6).故選C.6.B設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)由題意知AB的方程為y2(x1)，即y2x2.由eq blcrc (avs4alco1(y28x，,y2x2，)得x24x10，x1x24，x1x21.|AB|eq r(1k2x1x224x1x2)eq r(14164)eq r(512)2eq r(1

8、5).7.eq r(41)解析圓心C(3，4)，由拋物線的定義知m|PC|最小時為圓心與拋物線焦點(2，0)間的距離，即eq r(（32）2（4）2)eq r(41).8. 解(1)由拋物線C：y22px(p0)過點A(2，4)，可得164p，解得p4.所以拋物線C的方程為y28x，其準(zhǔn)線方程為x2.(2)當(dāng)直線l的斜率不存在時，x0符合題意當(dāng)直線l的斜率為0時，y2符合題意當(dāng)直線l的斜率存在且不為0時，設(shè)直線l的方程為ykx2.由eq blcrc (avs4alco1(ykx2，,y28x)得ky28y160.由6464k0，得k1，故直線l的方程為yx2，即xy20.綜上直線l的方程為x0

9、或y2或xy20.9.ABD過拋物線焦點的直線與拋物線相交，其主要結(jié)論有：當(dāng)AB與x軸垂直時，|AB|最小，A正確；eq f(1,|AF|)eq f(1,|BF|)eq f(2,p)，B正確；y1y2p2，D正確；以AB為直徑的圓與準(zhǔn)線xeq f(p,2)相切，C錯誤，故選ABD.10.C將點A(2,4)的坐標(biāo)代入y22px，得p4，拋物線方程為y28x, 焦點F(2,0)，已知，B(8，8) ，eq f(|AF|,|BF|)eq f(r(222402),r(822802)eq f(4,10)eq f(2,5).11.A將y1代入y24x，得xeq f(1,4)，即Aeq blc(rc)(av

10、s4alco1(f(1,4)，1)，由拋物線的光學(xué)性質(zhì)可知，直線AB經(jīng)過焦點F(1,0)，所以直線AB的斜率為eq f(10,f(1,4)1)eq f(4,3)，故選A.12.6因為拋物線x22py的準(zhǔn)線yeq f(p,2)和雙曲線eq f(x2,3)eq f(y2,3)1相交交點橫坐標(biāo)為xeq r(3f(p2,4)，由等邊三角形得2eq r(3f(p2,4)eq f(r(3),2)p，解得p6.13.(3,2)將yx1代入y24x，整理，得x26x10.由根與系數(shù)的關(guān)系，得x1x26，eq f(x1x2,2)3，eq f(y1y2,2)eq f(x1x22,2)eq f(62,2)2.所求點

11、的坐標(biāo)為(3,2)14.eq f(3r(2),2)設(shè)與直線xy40平行且與拋物線y24x相切的直線方程為xym0.由eq blcrc (avs4alco1(xym0，,y24x)得x2(2m4)xm20，則(2m4)24m20，解得m1，即直線方程為xy10，直線xy40與直線xy10的距離為deq f(41,r(1212)eq f(3r(2),2).即拋物線y24x上的點到直線xy40的最小距離為eq f(3r(2),2).15.y28x2由題意設(shè)拋物線方程為y22px，其準(zhǔn)線方程為xeq f(p,2)，根據(jù)定義可得4eq f(p,2)6.所以p4,所以拋物線C的方程為y28x.由eq bl

12、crc (avs4alco1(y28x，,ykx2，)消去y，得k2x2(4k8)x40.有k0，64(k1)0，解得k1且k0.又eq f(x1x2,2)eq f(2k4,k2)2，解得k2或k1(舍去)，所以k的值為2.16.eq f(3,4)解析點A(2，3)在拋物線C的準(zhǔn)線上，eq f(p,2)2，p4.拋物線的方程為y28x，則焦點F的坐標(biāo)為(2，0).又A(2，3)，根據(jù)斜率公式得kAFeq f(03,22)eq f(3,4).17.解設(shè)拋物線的方程為y22px(p0)，則其準(zhǔn)線為xeq f(p,2).設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，|AF|BF|8，x1eq f(p,2)x

13、2eq f(p,2)8，即x1x28p.Q(6，0)在線段AB的中垂線上，|QA|QB|，即eq r(（6x1）2（y1）2)eq r(（6x2）2（y2）2)，又yeq oal(2,1)2px1，yeq oal(2,2)2px2，(x1x2)(x1x2122p)0.AB與x軸不垂直，x1x2.故x1x2122p8p122p0，即p4.從而拋物線方程為y28x.18.證明設(shè)kABk(k0)，直線AB，AC的傾斜角互補，kACk(k0)，直線AB的方程是yk(x4)2.由方程組eq blc(avs4alco1(yk（x4）2，,y2x，)消去y后，整理得k2x2(8k24k1)x16k216k40.A(4，2)，B(xB，yB)是上