2021-2022學(xué)年黑龍江省哈爾濱市高一下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題【含答案】

1、2021-2022學(xué)年黑龍江省哈爾濱市高一下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題一、單選題1已知復(fù)數(shù)滿(mǎn)足，則（）A5BCD2A【分析】運(yùn)用復(fù)數(shù)的運(yùn)算及共軛復(fù)數(shù)的概念即可得到結(jié)果.【詳解】由得，則，所以，故選:A.2已知向量，若，則實(shí)數(shù)（）ABCDC根據(jù)平面向量垂直的坐標(biāo)表示可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的等式，進(jìn)而可求得實(shí)數(shù)的值.【詳解】，且，則，解得.故選：C.3某校高一年級(jí)25個(gè)班參加藝術(shù)節(jié)合唱比賽，通過(guò)簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，獲得了10個(gè)班的比賽得分如下：91，89，90，92，94，87，93，96，91，85，則這組數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)為（）A91B92C93D93.5D【分析】將數(shù)據(jù)從小到大排序，應(yīng)用百分位數(shù)的求法求第80

2、百分位數(shù).【詳解】數(shù)據(jù)從小到大為，而，所以第80百分位數(shù)為.故選：D4若水平放置的四邊形按“斜二測(cè)畫(huà)法”得到如圖所示的直觀(guān)圖，其中，則原四邊形中的長(zhǎng)度為（）ABC2DB【分析】過(guò)點(diǎn)作,垂足為，求出直觀(guān)圖中的長(zhǎng)度即得解.【詳解】解：過(guò)點(diǎn)作,垂足為. 因?yàn)?，；，所以原四邊形中的長(zhǎng)度為2.故選：B5氣象臺(tái)預(yù)報(bào)“本市未來(lái)三天降雨的概率都為30%”，現(xiàn)采用隨機(jī)模擬的方法估計(jì)未來(lái)三天降雨的情況：先由計(jì)算器產(chǎn)生0到9之間取整數(shù)值的隨機(jī)數(shù)，指定1，2，3表示降雨，4，5，6，7，8，9，0表示不降雨；再以每三個(gè)隨機(jī)數(shù)為一組，代表三天降雨的結(jié)果.經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生了20組隨機(jī)數(shù)：907966191925271932

3、815458569683431257393027556481730113537989據(jù)此估計(jì)，未來(lái)三天恰有一天降雨的概率為（）A0.2B0.3C0.4D0.5C【分析】由隨機(jī)數(shù)組確定表示降雨的隨機(jī)數(shù)組后可得概率【詳解】表示未來(lái)三天恰有一天降雨的有：925，815，683，257，027，481，730，537共8個(gè)，概率為，故選：C6甲乙兩名運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行射擊比賽，甲的中靶概率為0.8，乙的中靶概率為0.9，則至少有一人中靶的概率為（）A0.26B0.72C0.74D0.98D【分析】先求出甲乙兩名運(yùn)動(dòng)員都沒(méi)有中靶的概率，進(jìn)而可得至少有一人中靶的概率【詳解】甲乙兩名運(yùn)動(dòng)員都沒(méi)有中靶的概率為：，則至

4、少有一人中靶的概率為：，故選：D7直角梯形的一個(gè)內(nèi)角為，下底長(zhǎng)為上底長(zhǎng)的2倍，此梯形繞下底所在直線(xiàn)旋轉(zhuǎn)一周所成的旋轉(zhuǎn)體表面積為，則旋轉(zhuǎn)體的體積為（）ABCDD【分析】根據(jù)題設(shè)，由旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征：圓錐和圓柱的組合體，令，應(yīng)用表面積求法列方程求a，再根據(jù)圓錐、圓柱的體積公式求體積.【詳解】如下圖示：由題設(shè)，令，所以繞下底旋轉(zhuǎn)一周旋轉(zhuǎn)體表面積為，所以，故旋轉(zhuǎn)體的體積為.故選：D8已知，且，則所有滿(mǎn)足條件的數(shù)對(duì)的個(gè)數(shù)為（）A12B13C20D24B【分析】將題設(shè)條件變形為且、，結(jié)合判斷的可能數(shù)值，即可得答案.【詳解】由題設(shè)，即，又，且，則，所以且，可能為、，共13個(gè)，所以對(duì)應(yīng)也有13個(gè).綜上，所有滿(mǎn)

5、足條件的數(shù)對(duì)的個(gè)數(shù)為13個(gè).故選：B二、多選題92021年4月至2021年12月我國(guó)規(guī)模以上工業(yè)天然氣產(chǎn)量保持平穩(wěn)，日均產(chǎn)量（億立方米）與當(dāng)月增速（%）如圖所示，則（）備注：日均產(chǎn)品產(chǎn)量是以當(dāng)月公布的我國(guó)規(guī)模以上工業(yè)企業(yè)總產(chǎn)量除以該月日歷天數(shù)計(jì)算得到.當(dāng)月增速=.A2021年8月至12月我國(guó)規(guī)模以上工業(yè)天然氣日均產(chǎn)量持續(xù)上升B2021年當(dāng)月增速最大的是12月C2021年4月至12月我國(guó)規(guī)模以上工業(yè)天然氣日均產(chǎn)量的中位數(shù)為5.4億立方米D2020年4月我國(guó)規(guī)模以上工業(yè)天然氣產(chǎn)量約為157億立方米ACD【分析】根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖一一計(jì)算可得.【詳解】解：由統(tǒng)計(jì)圖可知，2021年8月至12月我國(guó)規(guī)模以上工業(yè)

6、天然氣日均產(chǎn)量持續(xù)上升，故A正確；2021年當(dāng)月增速最大的是6月，故B錯(cuò)誤；2021年4月至12月我國(guó)規(guī)模以上工業(yè)天然氣日均產(chǎn)量從小到大排列分別為（單位：億立方米）：、，故中位數(shù)為，故C正確；設(shè)2020年4月我國(guó)規(guī)模以上工業(yè)天然氣產(chǎn)量約為億立方米，則，解得，故D正確；故選：ACD10如圖所示，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，為的中點(diǎn)，直線(xiàn)交平面于點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A，三點(diǎn)共線(xiàn)B平面C直線(xiàn)與平面所成的角為D到平面的距離為ABC【分析】利用正方體的特征證得點(diǎn)在上可知項(xiàng)正確；利用線(xiàn)面垂直的判斷定理可得平面，故項(xiàng)正確；首先找到線(xiàn)面角，然后利用三角函數(shù)值確定線(xiàn)面角的大小即可；由三棱錐的等體積法可得點(diǎn)面距離

7、【詳解】由于為正方體的體對(duì)角線(xiàn)，在平面內(nèi)，據(jù)此可得平面平面于，又交平面于點(diǎn)，故點(diǎn)在上，故項(xiàng)正確；很明顯平面，平面，故，同理，于點(diǎn)，故平面，故項(xiàng)正確；設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，直線(xiàn)與平面的夾角為，則，點(diǎn)到平面的距離為，故，故項(xiàng)正確；設(shè)到平面的距離為，解得，故D項(xiàng)錯(cuò)誤；故選：ABC11先后兩次擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，表示事件“兩次擲出的點(diǎn)數(shù)之和是4”，表示事件“第二次擲出的點(diǎn)數(shù)是偶數(shù)”，表示事件“兩次擲出的點(diǎn)數(shù)相同”，表示事件“至少出現(xiàn)一個(gè)奇數(shù)點(diǎn)”，則（）A與互斥BC與對(duì)立D與相互獨(dú)立BD【分析】AC選項(xiàng)可以根據(jù)互斥和對(duì)立的定義判斷，D選項(xiàng)可以通過(guò)判斷是否成立，B選項(xiàng)依據(jù)“正難則反” 的思路計(jì)算.【詳解】

8、A選項(xiàng)，兩次投擲的點(diǎn)數(shù)不同，仍有可能點(diǎn)數(shù)之和為4，于是與可以同時(shí)發(fā)生，并不互斥，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；兩次都不出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)的事件記為，依題意，于是，B選項(xiàng)正確；C選項(xiàng)，當(dāng)?shù)谝淮瓮冻銎鏀?shù)點(diǎn)，第二次投出偶數(shù)點(diǎn)，那么事件同時(shí)發(fā)生了，并不互斥，根據(jù)互斥和對(duì)立的關(guān)系，與也不對(duì)立，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，兩次投擲的點(diǎn)數(shù)相同，顯然是6種情況，于是，意為兩次投出的點(diǎn)數(shù)均為偶數(shù)，顯然只有3種情況，于是，符合獨(dú)立事件的定義，故D選項(xiàng)正確.故選：BD12如圖，正方形的邊長(zhǎng)為2，為的中點(diǎn)，將沿向上翻折到，連接，為的中點(diǎn)，在翻折過(guò)程中（）A四棱錐的體積最大值為B平面C三棱錐的外接球半徑的最大值是D直線(xiàn)，與平面所成角的正弦值之比為ABD

9、【詳解】若，如下圖示，所以翻折過(guò)程中，當(dāng)面時(shí)四棱錐的體積最大，為，A正確；若為中點(diǎn)，連接，又為的中點(diǎn)，則且，又且，即且，所以為平行四邊形，則，面，面，故平面，B正確；由題意為直角三角形，若為中點(diǎn)，則其外接圓圓心為且半徑為，而中，故，則其外接圓半徑為，若圓心為，則，所以，令外接球球心為，則外接球半徑為，又，故外接球半徑最小值為，無(wú)最大值，C錯(cuò)誤.由，面，面，故平面，所以到面的距離相等，令距離為，所以，與平面所成角正弦值分別為，而，則，D正確.故選：ABD關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：C選項(xiàng)，根據(jù)已知求出、外接圓的半徑，則為公共弦，再由外接球半徑與側(cè)面外接圓半徑的幾何關(guān)系列式求范圍.三、填空題13用分層抽樣的方法從

10、某校學(xué)生中抽取一個(gè)容量為45的樣本，其中高一年級(jí)抽20人，高三年級(jí)抽10人，已知該校高二年級(jí)共有學(xué)生300人，則該校學(xué)生總數(shù)是_人.900【分析】計(jì)算可得樣本中高二年級(jí)人數(shù)，從而可計(jì)算得到抽樣比，從而可求得學(xué)生總數(shù).【詳解】由題意可知，高二年級(jí)抽?。喝顺闃颖葹椋涸撔W(xué)生總數(shù)為：人本題正確結(jié)果：本題考查分層抽樣的應(yīng)用，關(guān)鍵是能夠明確每層在樣本中占比與該層在總體中的占比相同.14在中，已知，則_.6【分析】用表示出后，由平面向量數(shù)量積運(yùn)算律與定義計(jì)算，【詳解】由已知故615已知，是方程在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)的兩個(gè)根，則_.【分析】利用根與系數(shù)關(guān)系可得，進(jìn)而求，即可求模長(zhǎng).【詳解】由題設(shè)，故，所以.故16二面

11、角的大小為，其內(nèi)部有兩個(gè)半徑為1，一個(gè)半徑為2的小球兩兩外切且與，均相切，則_.【分析】找出平面與平面的分角面，求得三個(gè)球心組成三角形面積，再求得其在平面投影的面積，即可求得，最后通過(guò)同角平方關(guān)系及二倍角公式即可得到答案.【詳解】根據(jù)對(duì)稱(chēng)性可知，由三個(gè)球心、所確定的平面一定的平面與平面的分角面下面求的面積及在平面上的射影的面積（如圖），不妨設(shè)球、的半徑分別為1、1、3則，故為等腰三角形因此，在矩形中，由，得，在直角梯形中，,同理可得，所以為等腰三角形，即且平面與平面所成的角為，則，則即，所以，且故平面與平面所成二面角正切值為.故答案為:.四、解答題17已知不透明的袋中裝有大小和質(zhì)地相同的5個(gè)球

12、，其中有3個(gè)黑球（記為，和），2個(gè)紅球（記為和）.(1)求隨機(jī)抽取一個(gè)球是紅球的概率；(2)如果不放回地依次抽取兩個(gè)球，求兩個(gè)球都是黑球的概率.(1)；(2).【分析】（1）由古典概型的概率求法，即可得隨機(jī)抽取一個(gè)球是紅球的概率；（2）列舉出所有抽取兩個(gè)球的事件，判斷兩個(gè)球都是黑球的事件數(shù)，即可得概率.【詳解】(1)由題設(shè)，5個(gè)球有2個(gè)紅球，故隨機(jī)抽取一個(gè)球是紅球的概率為.(2)抽取兩個(gè)球的事件有：、，共10種，其中兩個(gè)球都是黑球的有、，共3種，所以?xún)蓚€(gè)球都是黑球的概率.18已知的內(nèi)角，的對(duì)邊分別為，分別以，為邊長(zhǎng)的三個(gè)正三角形的面積依次為，已知.(1)求；(2)若的面積為，且_，求.（請(qǐng)?jiān)冢?/p>

13、這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)完成解答.）(1)(2)選擇條件見(jiàn)解析，【分析】（1）根據(jù)面積公式及余弦定理計(jì)算可得；（2）若選，利用輔助角公式求出，即可求出，再根據(jù)銳角三角函數(shù)及面積公式計(jì)算可得；若選，利用正弦定理將邊化角，再利用三角恒等變換公式求出，再根據(jù)銳角三角函數(shù)及面積公式計(jì)算可得；【詳解】(1)解：依題意，即，由余弦定理，.(2)解：若選，則，即，因?yàn)椋?，所以，即，此時(shí)，即為直角三角形，且，所以，所以，解得，所以；若選，由正弦定理可得，所以，即，即，因?yàn)?，所以，所以，即，此時(shí)，即為直角三角形，且，所以，所以，解得，所以；194月23日是世界讀書(shū)日，首屆全民閱讀大會(huì)在北京開(kāi)幕.他提出希望孩子們

14、養(yǎng)成閱讀習(xí)慣，快速閱讀，健康成長(zhǎng)，希望全社會(huì)都參與到閱讀中來(lái)，形成愛(ài)讀書(shū)、讀好書(shū)、善讀書(shū)的濃厚氛圍.某研究機(jī)構(gòu)為了解當(dāng)?shù)匦W(xué)生的閱讀情況，通過(guò)隨機(jī)抽樣調(diào)查了100位小學(xué)生，對(duì)這些小學(xué)生每天的閱讀時(shí)間（單位：分鐘）進(jìn)行統(tǒng)計(jì)（都在50到100分鐘之間），得到樣本的頻率分布直方圖，如圖所示：(1)求樣本中閱讀時(shí)間在一小時(shí)以上的小學(xué)生人數(shù)；(2)已知樣本中和兩組人數(shù)相同，求圖中的值；(3)根據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)：該地小學(xué)生閱讀時(shí)間的90分位數(shù)（單位：分鐘）；該地小學(xué)生每天閱讀時(shí)間的平均數(shù)（單位：分鐘）.(1)90(2)0.020(3)87.5；74【分析】（1）由頻率分布直方圖求出閱讀時(shí)間小于一小時(shí)的

15、人數(shù)，然后可得閱讀時(shí)間在一小時(shí)以上的人數(shù)；（2）由頻率分布直方圖中所有頻率和（小矩形面積和）為1求得值；（3）根據(jù)頻率分布直方圖計(jì)算90分位數(shù)；頻率分布直方圖每組數(shù)據(jù)中點(diǎn)值乘以相應(yīng)頻率后相加可得平均值【詳解】(1)由頻率分布直方圖，閱讀時(shí)間小于一小時(shí)的人數(shù)為，所以閱讀時(shí)間在一小時(shí)以上的人數(shù)為；(2)由頻率分布直方圖，解得；(3)由頻率分布直方圖，知閱讀時(shí)間在80分鐘以下的頻率為，在90分鐘以上的有，因此分位數(shù)在80分鐘到90分鐘之間，設(shè)為分鐘，則，解得；平均值為20在四棱錐中，平面，分別為，的中點(diǎn).(1)求證：平面面；(2)若，求二面角的大小.(1)證明見(jiàn)解析；(2).【分析】（1）由題設(shè)可得

16、，正弦定理可得，即，再由線(xiàn)面垂直的性質(zhì)有，根據(jù)線(xiàn)面垂直的判定可得面，中位線(xiàn)性質(zhì)有，則面，最后由面面垂直的判定證結(jié)論.（2）根據(jù)線(xiàn)面垂直的性質(zhì)及二面角的定義找到銳二面角的平面角，根據(jù)其與所求二面角的關(guān)系，即可求角的大小.【詳解】(1)由題設(shè)，在中，所以，在中，則，可得，又，故，所以，由平面，平面，則，又，面，故面，由，分別為，的中點(diǎn)，故，則面，面，所以平面面；(2)若為中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，則，由平面，則面，若為中點(diǎn)，則，由（1）知：，所以，又面，故，面，故面，而面，則，綜上，故為銳二面角的平面角，由知：，由（1），則，故，由圖知：鈍二面角為.212022年北京冬奧會(huì)的成功舉辦，帶動(dòng)中國(guó)3億多人參與冰

17、雪運(yùn)動(dòng)，這是對(duì)國(guó)際奧林匹克運(yùn)動(dòng)發(fā)展的巨大貢獻(xiàn).2020中國(guó)滑雪產(chǎn)業(yè)白皮書(shū)顯示，2020-2021排名前十的省份的滑雪人次（單位：萬(wàn)人次）數(shù)據(jù)如下表：排名省份2020-20212019-20202018-20191河北2211362352吉林2021232073北京1881121864黑龍江1491011955133761166四川9952697河南9858958浙江94621089陜西79477610山西7839100(1)由表中數(shù)據(jù)可知，2018-2019年這十個(gè)省份滑雪總?cè)舜螢?387萬(wàn)，而受疫情影響，2019-2020年下降至806萬(wàn)，計(jì)算2018-2019年和2019-2020年這10

18、個(gè)省份滑雪人次的平均數(shù)，并據(jù)此計(jì)算這兩年的平均數(shù)；(2)已知2018-2019年滑雪人次的方差，2019-2020年滑雪人次的方差，據(jù)此計(jì)算這兩年滑雪人次的方差；（結(jié)果保留整數(shù)）(3)據(jù)統(tǒng)計(jì)近年滑雪人均每次消費(fèi)為6000元，若以2020-2021年數(shù)據(jù)為基礎(chǔ)，每個(gè)省份滑雪人次都按（2）中標(biāo)準(zhǔn)差的人數(shù)增長(zhǎng)（過(guò)程中數(shù)據(jù)均保留整數(shù)），估計(jì)2021-2022年滑雪消費(fèi)超過(guò)100億元的省份有幾個(gè)？(1)；(2)3035；(3)4.【分析】（1）利用平均數(shù)的求法求，；（2）根據(jù)方差公式有，結(jié)合已知方差求值即可；（3）根據(jù)已知，人數(shù)為至少萬(wàn)人時(shí)消費(fèi)才能超過(guò)100億元，求出各省增長(zhǎng)人數(shù)，加上2020-2021年數(shù)據(jù)判斷與的大小，即可確定答案.【詳解】(1)由題意，.(2)由，.(3)由題設(shè)，消費(fèi)超過(guò)100億元，則人數(shù)為