中考數(shù)學(xué)專題-解直角三角形及其應(yīng)用知識(shí)點(diǎn)及典型例題(含詳細(xì)答案)

1、 解直角三角形及其應(yīng)用【學(xué)習(xí)目標(biāo)】了解解直角三角形的含義，會(huì)綜合運(yùn)用平面幾何中有關(guān)直角三角形的知識(shí)和銳角三角函數(shù)的定義解直角三角形；會(huì)運(yùn)用有關(guān)解直角三角形的知識(shí)解決實(shí)際生活中存在的解直角三角形問題.【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、解直角三角形在直角三角形中，由已知元素（直角除外）求未知元素的過程，叫做解直角三角形.在直角三角形中，除直角外，一共有5個(gè)元素，即三條邊和兩個(gè)銳角.設(shè)在RtAABC中，ZC=90,ZA、ZB、ZC所對的邊分別為a、b、c,則有：三邊之間的關(guān)系：a2+b2=c2（勾股定理）.銳角之間的關(guān)系：ZA+ZB=90.邊角之間的關(guān)系：b，cosj4二tan4=C1cb百b，=a，占tailB

2、=CcaJ二詁二”h為斜邊上的高.要點(diǎn)詮釋：（1）直角三角形中有一個(gè)元素為定值（直角為90），是已知值.（2）這里講的直角三角形的邊角關(guān)系指的是等式，沒有包括其他關(guān)系（如不等關(guān)系）.（3）對這些式子的理解和記憶要結(jié)合圖形，可以更加清楚、直觀地理解要點(diǎn)二、解直角三角形的常見類型及解法i一_已知和解法二:ffi形糞釘已知條件解法步驟RtAABCBAGb兩邊兩直角邊（a,b）tan4=由匕求ZA，ZB=90ZA,u=+1?斜邊，一直角邊（如c,a）sin=由匚求ZA,ZB=90ZA,h=/c2-a2邊一直角邊和一銳角銳角、鄰邊（如ZA，b）ZB=90ZA,bc=區(qū)=3tanHcosA角銳角、對邊(如

3、ZA，a)ZB=90ZA,a.ac=b=sinAtanA斜邊、銳角(如c，ZA)ZB=90ZA，詛二=c-cos要點(diǎn)詮釋：在遇到解直角三角形的實(shí)際問題時(shí)，最好是先畫出一個(gè)直角三角形的草圖，按題意標(biāo)明哪些元素是已知的，哪些元素是未知的，然后按先確定銳角、再確定它的對邊和鄰邊的順序進(jìn)行計(jì)算若題中無特殊說明，“解直角三角形”即要求出所有的未知元素，已知條件中至少有一個(gè)條件為邊.要點(diǎn)三、解直角三角形的應(yīng)用解直角三角形的知識(shí)應(yīng)用很廣泛，關(guān)鍵是把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，善于將某些實(shí)際問題中的數(shù)量關(guān)系化歸為直角三角形中的邊角關(guān)系是解決實(shí)際應(yīng)用問題的關(guān)鍵解這類問題的一般過程是：弄清題中名詞、術(shù)語的意義，如仰角

4、、俯角、坡度、坡角、方向角等概念，然后根據(jù)題意畫出幾何圖形，建立數(shù)學(xué)模型.將已知條件轉(zhuǎn)化為幾何圖形中的邊、角或它們之間的關(guān)系，把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題.(3)根據(jù)直角三角形(或通過作垂線構(gòu)造直角三角形)元素(邊、角)之間的關(guān)系解有關(guān)的直角三角形.得出數(shù)學(xué)問題的答案并檢驗(yàn)答案是否符合實(shí)際意義，得出實(shí)際問題的解拓展：在用直角三角形知識(shí)解決實(shí)際問題時(shí)，經(jīng)常會(huì)用到以下概念：坡角：坡面與水平面的夾角叫做坡角，用字母表示.坡度(坡比)：坡面的鉛直高度h和水平距離F的比叫做坡度，用字母M表示，貝yi二+二tanu,如圖，坡度通常寫成工玉:的形式.仰角、俯角：視線與水平線所成的角中，視線中水平線上方

5、的叫做仰角，在水平線下方的叫做俯角，如圖.視線水平線視線 4 方位角：從某點(diǎn)的指北方向線按順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向的水平角叫做方位角，如圖中，目標(biāo)方向PA,PB，PC的方位角分別為是40,135,245.方向角：指北或指南方向線與目標(biāo)方向線所成的小于90的水平角，叫做方向角，如圖中的目標(biāo)方向線0A,OB，OC，0D的方向角分別表示北偏東30,南偏東45，南偏西80，北偏西60.特別如：東南方向指的是南偏東45，東北方向指的是北偏東45，西南方向指的是南偏西45，西北方向指的是北偏西45.要點(diǎn)詮釋：解直角三角形實(shí)際是用三角知識(shí)，通過數(shù)值計(jì)算，去求出圖形中的某些邊的長或角的大小，最好畫出它的示意圖.非直

6、接解直角三角形的問題，要觀察圖形特點(diǎn)，恰當(dāng)引輔助線，使其轉(zhuǎn)化為直角三角形或矩形來解.解直角三角形的應(yīng)用題時(shí)，首先弄清題意(關(guān)鍵弄清其中名詞術(shù)語的意義)，然后正確畫出示意圖，進(jìn)而根據(jù)條件選擇合適的方法求解.【典型例題】類型一、解直角三角形1.在RtAABC中，ZC=90,a、b、c分別是ZA、ZB、ZC的對邊，根據(jù)下列條件，解這個(gè)直角三角形.ZB=60,a=4；a=1,b3.【答案】ZA=90-ZB=90-60=30.由tanB=知，b=agtanB=4xtan60=4/3.aa=8.cosBcos60a由cosB=一知，c=c由tanB=-=3得ZB=60,：ZA=9060=30.a/a2+b

7、2=c2c=a2+b2=*4=2.2如圖所示，在RtAABC中，ZC=90,ZB=30,b=20，解這個(gè)直角三角形.【答案】由ZC=90。知，ZA+ZB=90。，而ZB=30,ZA=9030=60b又sin30=,c20c=40.由勾股定理知a2=c2-b2.a2=402-202,a=20羽.舉一反三:(1)已知a=2i：32b=2，求ZA、ZB和c；(2)已知sinA=,c=6J求a和b；【答案】(1)c=4；ZA=60、ZB=30；(2)a=4；b=2j5類型二、解直角三角形在解決幾何圖形計(jì)算問題中的應(yīng)用3如圖所示，BC是半圓00的直徑，D是Ac的中點(diǎn)，四邊形ABCD的對角線AC、BD交于

8、點(diǎn)E,(1)求證：ABEsDBC；575已知BC=-,CD=，求sinZAEB的值;在的條件下，求弦AB的長.【答案】(i)vAd=Cdzi=Z2,ZBAC=ZBDC=90又BC是00的直徑，ABEsDBC.(2)由厶abesdbc,.:ZAEB=ZDCB.5在RtABDC中，BC=2，CD=BD*BC2-CD2仝,BD運(yùn)25sinZAEB=sinZDCB=BC552在RtABDC中，BD=，又Z1=Z2=Z3,ZADE=ZBDA,AAEDBAD.AD_DEDBADAD2_DEgDB.CD_AD壬CD2=(BDBE)BD,在RtAABE中，AB=BE.sinZAEB=3x-;5x25_45舉一

9、反三:1如圖，在ABC中，AC=12cm,AB=16cm,sinA=3.J(1)求AB邊上的高CD；(2)求厶ABC的面積S；(3)求tanB.2+J24【答案】(1)CD=4cm；(2)S=32cm2；(3)tanB=類型三、解直角三角形在解決實(shí)際生活、生產(chǎn)問題中的應(yīng)用4某過街天橋的截面圖為梯形，如圖所示，其中天橋斜面CD的坡度為i_1：再(i=1：3是指鉛直高度DE與水平寬度CE的比），CD的長為10m,天橋另一斜面AB的坡角ZABC=45（1）寫出過街天橋斜面AB的坡度；（2）求DE的長；（3）若決定對該過街天橋進(jìn)行改建，使AB斜面的坡度變緩，將其45。坡角改為30,方便過路群眾，改建后

10、斜面為AF,試計(jì)算此改建需占路面的寬度FB的長（結(jié)果精確到.0.01m）.【答案】FBGE(1)作AG丄BC于G,DE丄BC于E,在RtAAGB中，ZABG=45,AG=BG.AGAB的坡度ir=1.BG“DEAD,AD=2,AB=4,點(diǎn)E在AB上，將CBE沿CE翻折，使B點(diǎn)與D點(diǎn)重合，則ZBCE的正切值是.如圖所示.線段AB、DC分別表示甲、乙兩座建筑物的高.AB丄BC,DC丄BC,兩建筑物間距離BC=30米，若甲建筑物高AB=28米，在A點(diǎn)測得D點(diǎn)的仰角a=45，則乙建筑物高DC=米.第12題第13題第14題在一次夏令營活動(dòng)中，小明同學(xué)從營地A出發(fā)，要到A地的北偏東60方向的C處，他先沿正

11、東方向走了200m到達(dá)B地，再沿北偏東30方向走，恰能到達(dá)目的地C（如圖所示），那么，由此可知，B、C兩地相距m.三、解答題如圖所示，某校綜合實(shí)踐活動(dòng)小組的同學(xué)欲測量公園內(nèi)一棵樹DE的高度，他們在這棵樹正前方一座樓亭前的臺(tái)階上A點(diǎn)處測得樹頂端D的仰角為30,朝著這棵樹的方向走到臺(tái)階下的點(diǎn)C處，測得樹頂端D的仰角為60已知A點(diǎn)的高度AB為2米，臺(tái)階AC的坡度為1:P3（即AB:BC=1:），且B、C、E三點(diǎn)在同一條直線上.請根據(jù)以上條件求出樹DE的高度（測傾器的高度忽略不計(jì)）.3CE如圖所示，某校數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)欲測量一座垂直于地面的古塔BD的高度，他們先在A處測得古塔頂端點(diǎn)D的仰角為45，再

12、沿著BA的方向后退20m至C處,測得古塔頂端點(diǎn)D的仰角為30.求該古塔BD的高度（31.732,結(jié)果保留一位小數(shù)）.如圖所示是某品牌太陽能熱水器的實(shí)物圖和橫斷面示意圖，已知真空集熱管AB與支架CD所在直線相交于水箱橫斷面00的圓心，支架CD與水平面AE垂直，AB=150厘米，ZBAC=30。，另一根輔助支架DE=76厘米，ZCED=60.（1）求垂直支架CD的長度.（結(jié)果保留根號(hào)）（2）求水箱半徑0D的長度.（結(jié)果保留三個(gè)有效數(shù)字，參考數(shù)據(jù)：21.41,31.73）AC【答案與解析】一、選擇題1.【答案】B;=5，設(shè)BC=4x.則AB=5x.根據(jù)勾股定理可得AC=AC=JAB2BC2=3x,n

13、AC3x3tanB=BC4x42.【答案】C；BC廠【解析】在RtAABC中，=cosBBC=ABcosB=7cos35.AB3.【答案】A;【解析】由i=tanA=BCBC=1:3知，AC=、：3gBC=5弋3（米）.4.【答案】B;【解析】由題意知MNBC,Z0MN=Z0BC=45,coszomn=5.【答案】A；【解析】由定義sina=y,l亠sina6.【答案】D；DC3【解析】MN是AB的中垂線，BD=AD.又cosZBDC=,BD57.設(shè)DC=3k，則BD=5k,AD=5k,AC=8k.8k=16,k=2,BD=5X2=10.【答案】B;【解析】連接AC,VAB=BC=40海里，Z

14、ABC=40+20=60,ABC為等邊三角形，AC=AB=40海里.【答案】A【解析】依題意PM丄MN,ZMPN=ZN=30,tan30=,PM=200、廳.PM二、填空題29.【答案】3；3【解析】在RtAACM中，sinZCAM=5，設(shè)CM=3k，則AM=5k,AC=4k.AC4k2又TAM是BC邊上的中線，BM=3k,：tanZB=一=.BC6k310.【答案】【解析】由已知條件可證厶ACE9ACBD.從而得出ZCAE=ZBCD.ZAFG=ZCAE+ZACD=ZBCD+ZACD=60，在RtAAFG中,AGAF【答案】40+40朽；【解析】在RtAAPC中，PC=AC=APsinZAPC

15、=在RtABPC中，ZBPC=90-30=60,BC=PCtanZBPC=40J3，所以AB=AC+BC=40+40J3.1【答案】2；【解析】如圖，連接BD,作DF丄BC于點(diǎn)F,則CE丄BD,ZBCE=ZBDF,BF=AD=2,TOC o 1-5 h zBF21 HYPERLINK l bookmark125 o Current Document DF=AB=4,所以tanZBCE=tanZBDF=.DF42FC【答案】58；【解析】a=45,.DE=AE=BC=30,EC=AB=28,DE=DE+EC=58【答案】200；【解析】由已知ZBAC=ZC=30,ABC=AB=200.三、解答題

16、【答案與解析】過點(diǎn)A作AF丄DE于F,則四邊形ABEF為矩形，AF=BE,EF=AB=2.設(shè)DE=x,在RtACDE中,CE=DEtanZDCEDEtan60在RtAABC中，JAB1=,AB=2,:BC、洛在RtAAFD中，DF=DE-EF=x-2.AF=DFtanZDAFtan303(x-2)AF=BE=BC+CE.3(x2)二2、込+解得x二6.答：樹DE的高度為6米.【答案與解析】根據(jù)題意可知：ZBAD=45,ZBCD=30,AC=20m.在RtAABD中，由ZBAD=ZBDA=45，得AB=BD.bdbd_在RtABDC中，由tanZBCD=，得BC=j3BD.BCtan30-20又BC-AB=AC.Q3BDBD二20BD=