高中數(shù)學選修第一冊：選擇性必修第一冊第一章 1.4.1 第3課時 空間中直線、平面的垂直

1、第3課時空間中直線、平面的垂直學習目標熟練掌握用方向向量、法向量證明線線、線面、面面間的垂直關系知識點一線線垂直的向量表示設 u1，u2 分別是直線 l1 , l2 的方向向量，則l1l2u1u2u1u20.知識點二線面垂直的向量表示設u是直線 l 的方向向量，n是平面的法向量， l，則lunR，使得un.知識點三面面垂直的向量表示設n1，n2 分別是平面，的法向量，則n1n2n1n20.1若直線l的方向向量a(1,0,2)，平面的法向量為n(2,0，4)，則()Al BlCl Dl與斜交答案B解析n2a，an，即l.2已知兩不重合直線l1和l2的方向向量分別為a(31,0,2)，b(1，1，

2、)，若l1l2，則的值為()A1或eq f(1,2) B1或eq f(1,2)C1或eq f(1,2) D1或eq f(1,2)答案D解析由題意知，ab，31220，1或eq f(1,2).3(多選)下列命題中，正確的命題為()A若n1，n2分別是平面，的法向量，則n1n2B若n1，n2分別是平面，的法向量，則n1n20C若n是平面的法向量，a是直線l的方向向量，若l與平面垂直，則naD若兩個平面的法向量不垂直，則這兩個平面不垂直答案BCD解析A中平面，可能平行，也可能重合，結合平面法向量的概念，可知BCD正確4平面與平面垂直，平面與平面的法向量分別為u(1,0,5)，v(t，5,1)，則t的

3、值為_答案5解析平面與平面垂直，平面的法向量u與平面的法向量v垂直，uv0，即1t05510，解得t5.一、證明線線垂直問題例1如圖，ABC和BCD所在平面互相垂直，且ABBCBD2，ABCDBC120，E，F(xiàn)分別為AC，DC的中點求證：EFBC.證明由題意，以點B為坐標原點，在平面DBC內過點B作垂直于BC的直線為x軸，BC所在直線為y軸，在平面ABC內過點B作垂直BC的直線為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，易得B(0,0,0)，A(0，1，eq r(3)，D(eq r(3)，1,0)，C(0,2,0)，因而Eeq blc(rc)(avs4alco1(0，f(1,2)，f(r(3),2)

4、，F(xiàn)eq blc(rc)(avs4alco1(f(r(3),2)，f(1,2)，0)，所以eq o(EF,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(f(r(3),2)，0，f(r(3),2)，eq o(BC,sup6()(0,2,0)，因此eq o(EF,sup6()eq o(BC,sup6()0.從而eq o(EF,sup6()eq o(BC,sup6()，所以EFBC.反思感悟證明兩直線垂直的基本步驟：建立空間直角坐標系寫出點的坐標求直線的方向向量證明向量垂直得到兩直線垂直跟蹤訓練1已知正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱長都為1，M是底面上BC邊的中點，N是側棱CC1上的點，且

5、CNeq f(1,4)CC1.求證：AB1MN.證明設AB的中點為O，作OO1AA1.以O為坐標原點，OB所在直線為x軸，OC所在直線為y軸，OO1所在直線為z軸建立如圖所示的空間直角坐標系Oxyz.由已知得Aeq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)，0，0)，Beq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)，0，0)，Ceq blc(rc)(avs4alco1(0，f(r(3),2)，0)，Neq blc(rc)(avs4alco1(0，f(r(3),2)，f(1,4)，B1eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)，0，1)，M為BC的中點，Meq blc

6、(rc)(avs4alco1(f(1,4)，f(r(3),4)，0).eq o(MN,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,4)，f(r(3),4)，f(1,4)，eq o(AB1,sup6()(1,0,1)，eq o(MN,sup6()eq o(AB1,sup6()eq f(1,4)0eq f(1,4)0.eq o(MN,sup6()eq o(AB1,sup6()，AB1MN.二、證明線面垂直問題例2如圖，在四棱錐PABCD中，底面ABCD是正方形，側棱PD底面ABCD，PDDC， E為PC的中點，EFBP于點F.求證：PB平面EFD.證明由題意得，DA，DC，DP兩

7、兩垂直，所以以D為坐標原點，DA，DC，DP所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系Dxyz，如圖，設DCPD1，則P(0,0,1)，A(1,0,0)，D(0,0,0)，B(1,1,0)，Eeq blc(rc)(avs4alco1(0，f(1,2)，f(1,2).所以eq o(PB,sup6()(1,1，1)，eq o(DE,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(0，f(1,2)，f(1,2)，eq o(EB,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(1，f(1,2)，f(1,2)，設F(x，y，z)，則eq o(PF,sup6()(x，y，z1)，eq o

8、(EF,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(x，yf(1,2)，zf(1,2).因為eq o(EF,sup6()eq o(PB,sup6()，所以xeq blc(rc)(avs4alco1(yf(1,2)eq blc(rc)(avs4alco1(zf(1,2)0，即xy z0.又因為eq o(PF,sup6()eq o(PB,sup6()，可設eq o(PF,sup6()eq o(PB,sup6()(01)，所以x，y，z1.由可知，xeq f(1,3)，yeq f(1,3)，zeq f(2,3)，所以eq o(EF,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(f(

9、1,3)，f(1,6)，f(1,6).方法一因為eq o(PB,sup6()eq o(DE,sup6()(1,1，1) eq blc(rc)(avs4alco1(0，f(1,2)，f(1,2)0eq f(1,2)eq f(1,2)0，所以eq o(PB,sup6()eq o(DE,sup6() ，所以PBDE，因為PBEF，又EFDEE，EF，DE平面EFD.所以PB平面EFD.方法二設n2(x2，y2，z2)為平面EFD的法向量，則有eq blcrc (avs4alco1(n2o(EF,sup6()0，,n2o(DE,sup6()0，)即eq blcrc (avs4alco1(f(1,3)x

10、2f(1,6)y2f(1,6)z20，,f(1,2)y2f(1,2)z20，)所以eq blcrc (avs4alco1(x2z2，,y2z2.)取z21，則n2(1，1,1)所以eq o(PB,sup6()n2，所以PB平面EFD.反思感悟用坐標法證明線面垂直的方法及步驟(1)利用線線垂直將直線的方向向量用坐標表示找出平面內兩條相交直線，并用坐標表示它們的方向向量 判斷直線的方向向量與平面內兩條直線的方向向量垂直(2)利用平面的法向量將直線的方向向量用坐標表示求出平面的法向量判斷直線的方向向量與平面的法向量平行跟蹤訓練2如圖所示，在正方體ABCDA1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是BB1，D1B

11、1的中點求證：EF平面B1AC.證明設正方體的棱長為2，建立如圖所示的空間直角坐標系，則A(2,0,0)，C(0,2,0)，B1(2,2,2)，E(2,2,1)，F(xiàn)(1,1,2)eq o(EF,sup6()(1,1,2)(2,2,1)(1，1,1)eq o(AB1,sup6()(2,2,2)(2,0,0)(0,2,2)，eq o(AC,sup6()(0,2,0)(2,0,0)(2,2,0)設平面B1AC的法向量為n(x，y，z)，則eq blcrc (avs4alco1(no(AB1,sup6()2y2z0，,no(AC,sup6()2x2y0，)令x1得n(1,1，1)，又eq o(EF,s

12、up6()n，EFn，EF平面B1AC.三、證明面面垂直問題例3在四棱錐SABCD中，底面ABCD是正方形，AS底面ABCD，且ASAB，E是SC的中點求證：平面BDE平面ABCD.證明設ASAB1，建立如圖所示的空間直角坐標系，則B(1,0,0)，D(0,1,0)，A(0,0,0)，C(1,1,0)，S(0,0,1)，Eeq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)，f(1,2)，f(1,2).方法一連接AC，交BD于點O，連接OE，則點O的坐標為eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)，f(1,2)，0).易知eq o(AS,sup6()(0,0,1)，eq o(OE

13、,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(0，0，f(1,2)，所以eq o(OE,sup6()eq f(1,2)eq o(AS,sup6()，所以OEAS.又AS平面ABCD，所以OE平面ABCD.又OE平面BDE，所以平面BDE平面ABCD.方法二設平面BDE的法向量為n1(x，y，z)易知eq o(BD,sup6()(1,1,0)，eq o(BE,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)，f(1,2)，f(1,2)，所以eq blcrc (avs4alco1(n1o(BD,sup6()，,n1o(BE,sup6()，)即eq blcrc (avs4

14、alco1(n1o(BD,sup6()xy0，,n1o(BE,sup6()f(1,2)xf(1,2)yf(1,2)z0.)令x1，可得平面BDE的一個法向量為n1(1,1,0)因為AS底面ABCD，所以平面ABCD的一個法向量為n2eq o(AS,sup6()(0,0,1)因為n1n20，所以平面BDE平面ABCD.反思感悟證明面面垂直的兩種方法(1)常規(guī)法：利用面面垂直的判定定理轉化為線面垂直、線線垂直去證明(2)法向量法：證明兩個平面的法向量互相垂直跟蹤訓練3在正方體ABCDA1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是BB1，CD的中點求證：平面AED平面A1FD1；證明以D為坐標原點，分別以DA，D

15、C，DD1所在直線為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標系Dxyz.設正方體的棱長為2，則D(0,0,0)，A(2,0,0)，E(2,2,1)，F(xiàn)(0,1,0)，A1(2，0,2)，D1(0,0,2)，eq o(DA,sup6()eq o(D1A1,sup6()(2,0,0)，eq o(DE,sup6()(2,2,1)，eq o(D1F,sup6()(0,1，2)設平面AED的一個法向量為n1(x1，y1，z1)由eq blcrc (avs4alco1(n1o(DA,sup6()x1，y1，z12，0，00，,n1o(DE,sup6()x1，y1，z12，2，10，)得eq blcrc

16、(avs4alco1(2x10，,2x12y1z10.)令y11，得n1(0,1，2)同理，平面A1FD1的一個法向量為n2(0,2,1)n1n2(0,1，2)(0,2,1)0，n1n2，平面AED平面A1FD1.1若平面，的法向量分別為a(2，1,0)，b(1，2，0)，則與的位置關系是()A平行 B垂直C相交但不垂直 D無法確定答案B解析ab2200，ab，.2已知平面的法向量為a(1,2，2)，平面的法向量為b(2，4，k)，若，則k等于()A4 B4 C5 D5答案D解析，ab，ab282k0.k5.3如圖，在空間直角坐標系中，正方體棱長為2，點E是棱AB的中點，點F(0，y，z)是正

17、方體的面AA1D1D上一點，且CFB1E，則點F(0，y，z)滿足方程()Ayz0B2yz10C2yz20Dz10答案D解析E(1,0,0)，B1(2,0,2)，C(2,2,0)，所以eq o(B1E,sup6()(1,0，2)，eq o(CF,sup6()(2，y2，z)，因為CFB1E，所以eq o(B1E,sup6()eq o(CF,sup6()0，即22z0，即z1.4.如圖，在長方體ABCDA1B1C1D1中，AB2，AA1eq r(3)，AD2eq r(2)，P為C1D1的中點，M為BC的中點，則AM與PM的位置關系是_答案PMAM解析以D為原點，分別以DA，DC，DD1所在直線為

18、x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系Dxyz，依題意可得，D(0,0,0)，P(0,1，eq r(3)，A(2eq r(2)，0,0)，M(eq r(2)，2,0)，所以eq o(PM,sup6()(eq r(2)，2,0)(0,1，eq r(3)(eq r(2)，1，eq r(3)，eq o(AM,sup6()(eq r(2)，2,0)(2eq r(2)，0,0)(eq r(2)，2,0)，所以eq o(PM,sup6()eq o(AM,sup6()(eq r(2)，1，eq r(3)(eq r(2)，2,0)0，所以PMAM.5在三棱錐SABC中，SABSACACB90，AC2，

19、BCeq r(13)，SBeq r(29)，則直線SC與BC是否垂直_(填“是”“否”)答案是解析如圖，以A為坐標原點，平行于BC的直線為x軸，AC，AS所在直線分別為y軸，z軸建立空間直角坐標系Axyz，則由AC2，BCeq r(13)，SBeq r(29)，得B(eq r(13)，2,0)，S(0,0，2eq r(3)，C(0,2,0)，eq o(SC,sup6()(0,2，2eq r(3)，eq o(CB,sup6()(eq r(13)，0,0)因為eq o(SC,sup6()eq o(CB,sup6()0，所以SCBC.1知識清單：(1)線線垂直(2)線面垂直(3)面面垂直2方法歸納：

20、轉化法、法向量法3常見誤區(qū)：直線的方向向量、平面的法向量的關系與線面間的垂直關系的對應易混1設直線l1，l2的方向向量分別為a(2,2,1)，b(3，2，m)，若l1l2，則m等于()A2 B2C10 D6答案C解析因為ab，所以ab0，即232(2)m0，解得m10.2若平面，的法向量分別為a(1,2,4)，b(x，1，2)，且，則x的值為()A10 B10C.eq f(1,2) Deq f(1,2)答案B解析因為，所以它們的法向量也互相垂直，所以ab(1,2,4)(x，1，2)0，解得x10.3已知點A(0,1,0)，B(1,0，1)，C(2,1,1)，P(x，0，z)，若PA平面ABC，

21、則點P的坐標為()A(1,0，2) B(1,0,2) C(1,0,2) D(2,0，1)答案C解析由題意知eq o(AB,sup6()(1，1，1)，eq o(AC,sup6()(2,0,1)，eq o(AP,sup6()(x，1，z)，又PA平面ABC，所以有eq o(AB,sup6()eq o(AP,sup6()(1，1，1)(x，1，z)0，得x1z0.eq o(AC,sup6()eq o(AP,sup6()(2,0,1)(x，1，z)0，得2xz0，聯(lián)立得x1，z2，故點P的坐標為(1,0,2)4在正方體ABCD-A1B1C1D1中，若E為A1C1的中點，則直線CE垂直于()ABD B

22、ACCA1D DA1A答案A解析以D為坐標原點，DA，DC，DD1所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系Dxyz.設正方體的棱長為1.則C(0,1,0)，B(1,1,0)，A(1,0,0)，D(0,0,0)，C1(0,1，1)，A1(1,0,1)，Eeq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)，f(1,2)，1)，eq o(CE,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)，f(1,2)，1)，eq o(AC,sup6()(1,1,0)，eq o(BD,sup6()(1，1,0)，eq o(A1D,sup6()(1,0，1)，eq o(A1A,sup

23、6()(0,0，1)，eq o(CE,sup6()eq o(BD,sup6()(1)eq f(1,2)(1)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)010，CEBD.5(多選)在正方體ABCDA1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，M，N分別是棱DD1，D1C1的中點，則直線OM()A和AC垂直B和AA1垂直C和MN垂直D與AC，MN都不垂直答案AC解析以D為原點，DA，DC，DD1所在的直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系設正方體的棱長為2a，則D(0,0，0)，D1(0,0,2a)，M(0,0，a)，A(2a，0,0)，C(0,2a，0)，O(a，a，0)，N(0，a

24、，2a)eq o(OM,sup6()(a，a，a)，eq o(MN,sup6()(0，a，a)，eq o(AC,sup6()(2a，2a，0)eq o(OM,sup6()eq o(MN,sup6()0，eq o(OM,sup6()eq o(AC,sup6()0，OMAC，OMMN.OM和AA1顯然不垂直，故選AC.6已知直線l與平面垂直，直線l的一個方向向量u(1，3，z)，向量v(3，2,1)與平面平行，則z_.答案9解析由題意得uv，uv36z0，z9.7在空間直角坐標系中，已知直角三角形ABC的三個頂點為A(3，2,1)，B(1，1，1)，C(5，x，0)，則x的值為_答案0或9解析A(

25、3，2,1)，B(1，1，1)，C(5，x，0)，eq o(AB,sup6()(2,1，2)，eq o(BC,sup6()(4，x1,1)，eq o(AC,sup6()(2，x2，1)分三種情況：A為直角，eq o(AB,sup6()eq o(AC,sup6()0，4x220，x0；B為直角，eq o(AB,sup6()eq o(BC,sup6()0，8x120，x9；C為直角，eq o(AC,sup6()eq o(BC,sup6()0，8(x1)(x2)10，x23x90，方程無解綜上，x的值為0或9.8在ABC中，A(1，2，1)，B(0，3,1)，C(2，2,1)若向量n與平面ABC垂直

26、，且|n|eq r(21)，則n的坐標為_答案(2,4,1)或(2，4，1)解析據(jù)題意，得eq o(AB,sup6()(1，1,2)，eq o(AC,sup6()(1,0,2)設n(x，y，z)，n與平面ABC垂直，eq blcrc (avs4alco1(no(AB,sup6()0，,no(AC,sup6()0，)即eq blcrc (avs4alco1(xy2z0，,x2z0，)可得eq blcrc (avs4alco1(xf(y,2)，,zf(y,4).)|n|eq r(21)，eq r(x2y2z2)eq r(21)，解得y4或y4.當y4時，x2，z1；當y4時，x2，z1.n的坐標為

27、(2,4,1)或(2，4，1)9.如圖，在四面體ABOC中，OCOA，OCOB，AOB120，且OAOBOC1，設P為AC的中點，Q在AB上且AB3AQ，證明：PQOA.證明如圖，連接OP，OQ，PQ，取O為坐標原點，以OA，OC所在直線為x軸、z軸，建立空間直角坐標系Oxyz(如圖所示)則A(1,0,0)，C(0,0,1)，Beq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)，f(r(3),2)，0).P為AC的中點，Peq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)，0，f(1,2).eq o(AB,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(f(3,2)，f(r(3)

28、,2)，0)，又由已知，可得eq o(AQ,sup6()eq f(1,3)eq o(AB,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)，f(r(3),6)，0).又eq o(OQ,sup6()eq o(OA,sup6()eq o(AQ,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)，f(r(3),6)，0)，eq o(PQ,sup6()eq o(OQ,sup6()eq o(OP,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(0，f(r(3),6)，f(1,2).eq o(PQ,sup6()eq o(OA,sup6()0，eq o(PQ,sup6

29、()eq o(OA,sup6()，即PQOA.10.如圖，在四棱錐EABCD中，AB平面BCE，CD平面BCE，ABBCCE2CD2，BCE120，求證：平面ADE平面ABE.證明取BE的中點O，連接OC，又AB平面BCE，所以以O為原點建立空間直角坐標系Oxyz(如圖所示)則有C(1,0,0)，B(0，eq r(3)，0)，E(0，eq r(3)，0)，D(1,0,1)，A(0，eq r(3)，2)于是eq o(AE,sup6()(0，2eq r(3)，2)，eq o(DA,sup6()(1，eq r(3)，1)設平面ADE的法向量為n(a，b，c)，則neq o(AE,sup6()(a，b

30、，c)(0，2eq r(3)，2)2eq r(3)b2c0，neq o(DA,sup6()(a，b，c)(1，eq r(3)，1)aeq r(3)bc0.令b1，則a0，ceq r(3)，所以n(0,1，eq r(3)又AB平面BCE，OC平面BCE，所以ABOC.因為BEOC，ABBEB，AB，BE平面ABE，所以OC平面ABE.所以平面ABE的法向量可取為m(1,0,0)因為nm(0,1，eq r(3)(1,0,0)0，所以nm，所以平面ADE平面ABE.11在正方體ABCDA1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別在A1D，AC上，且A1Eeq f(2,3)A1D，AFeq f(1,3)AC，則()

31、AEF至多與A1D，AC中的一個垂直BEFA1D，EFACCEF與BD1相交DEF與BD1異面答案B解析以D為坐標原點，分別以DA，DC，DD1所在直線為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標系Dxyz，設正方體的棱長為1，則A1(1,0,1)，D(0,0,0)，A(1,0,0)，C(0,1,0)，Eeq blc(rc)(avs4alco1(f(1,3)，0，f(1,3)，F(xiàn)eq blc(rc)(avs4alco1(f(2,3)，f(1,3)，0)，B(1,1,0)，D1(0,0,1)，eq o(A1D,sup6()(1,0，1)，eq o(AC,sup6()(1,1,0)，eq o(EF,sup

32、6()eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,3)，f(1,3)，f(1,3)，eq o(BD1,sup6()(1，1,1)，eq o(EF,sup6()eq f(1,3)eq o(BD1,sup6()，eq o(A1D,sup6()eq o(EF,sup6()0，eq o(AC,sup6()eq o(EF,sup6()0，從而EFBD1，EFA1D，EFAC，故選B.12如圖，PA平面ABCD，四邊形ABCD為正方形，E是CD的中點，F(xiàn)是AD上一點，當BFPE時，AFFD的比值為()A.eq f(1,2) B1 C3 D2答案B解析以A為坐標原點，AB，AD，AP所在直線分別為x軸

33、，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系Axyz，設正方形邊長為1，PAa，則B(1,0,0)，Eeq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)，1，0)，P(0,0，a)設點F的坐標為(0，y，0)，則eq o(BF,sup6()(1，y，0)，eq o(PE,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)，1，a).因為BFPE，所以eq o(BF,sup6()eq o(PE,sup6()0，解得yeq f(1,2)，即點F的坐標為eq blc(rc)(avs4alco1(0，f(1,2)，0)，所以F為AD的中點，所以AFFD11.13.如圖，四棱錐PABC

34、D的底面ABCD是邊長為1的正方形，PD底面ABCD，且PD1，若E，F(xiàn)分別為PB，AD的中點，則直線EF與平面PBC的位置關系是_答案垂直解析以D為原點，DA，DC，DP所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系(圖略)，則P(0,0,1)，B(1,1,0)，C(0,1,0)，Eeq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)，f(1,2)，f(1,2)，F(xiàn)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)，0，0)，eq o(EF,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(0，f(1,2)，f(1,2)，設平面PBC的一個法向量n(x，y，z)，則eq blcrc

35、(avs4alco1(no(PB,sup6()xyz0，,no(BC,sup6()x0，)取y1，則z1，平面PBC的法向量n(0,1,1)，eq o(EF,sup6()eq f(1,2)n，eq o(EF,sup6()n，EF平面PBC.14.如圖，已知點E，F(xiàn)分別是正方體ABCDA1B1C1D1的棱AB，AA1的中點，點M，N分別是線段D1E，C1F上的點，則與平面ABCD垂直的直線MN有_條答案1解析假設存在滿足條件的直線MN，建立空間直角坐標系如圖所示，不妨設正方體的棱長為2，則D1(2,0,2)，E(1,2,0)，設M(x，y，z)，eq o(D1M,sup6()meq o(D1E,

36、sup6()(0m1)，所以(x2，y，z2)m(1,2，2)，x2m，y2m，z22m，所以M(2m，2m，22m)，同理，若設eq o(C1N,sup6()neq o(C1F,sup6()(0n1)，可得N(2n，2n，2n)，eq o(MN,sup6()(m2n2,2n2m，2mn)，又因為MN平面ABCD，eq o(CD,sup6()(2,0,0)，eq o(CB,sup6()(0,2,0)，所以eq blcrc (avs4alco1(m2n20，,2n2m0，)解得eq blcrc (avs4alco1(mf(2,3)，,nf(2,3)，)即存在滿足條件的直線MN，有且只有一條15如圖，在三棱柱ABCA1B1C1中，側棱AA1底面A1B1C1，BAC90，ABACAA11，D是棱CC1的中點，P是AD的延長線與A1C1的延長線的交點，若點Q在線段B1P上，則下列結論正確的是()A當點Q為線段B1P的中點時，DQ平面A1BDB當點Q為線段B1P的三等分點時，DQ平面A1BDC在線段B1P的延長線上，存在一點Q，使得DQ平面A1BDD不存在DQ與平面A1BD垂直答案D解析以A1為坐標原點，A1B1，A1C1，A1A所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系(圖略)，則由已知得A1(0,0,0)，B