高中數(shù)學選修第一冊：拋物線方程及性質(zhì)的應(yīng)用第二課時

1、PAGE 拋物線方程及性質(zhì)的應(yīng)用（45分鐘 100分）一、選擇題(每小題6分,共30分)1.(2013安陽高二檢測)過點(-1,0)且與拋物線y2=x有且僅有一個公共點的直線有()A.1條B.2條C.3條D.4條2.將兩個頂點在拋物線y2=2px(p0)上,另一個頂點是此拋物線焦點的正三角形的個數(shù)記為n,則()A.n=0B.n=1C.n=2D.n33.設(shè)拋物線y2=8x的焦點為F,準線為l,P為拋物線上一點,PAl,A為垂足,如果直線AF的斜率為-3,那么|PF|=()A.43B.8C.83D.164.(2013長春高二檢測)拋物線y=x2上一點到直線2x-y-4=0的距離最小的點的坐標是()

2、A.(12,14)B.(1,1)C.(32,94)D.(2,4)5.(2013新課標全國卷)設(shè)拋物線C:y2=4x的焦點為F,直線l過F且與C交于A,B兩點.若|AF|=3|BF|,則l的方程為()A.y=x-1或y=-x+1B.y=33(x-1)或y=-33(x-1)C.y=3(x-1)或y=-3(x-1)D.y=22(x-1)或y=-22(x-1)二、填空題(每小題8分,共24分)6.設(shè)已知拋物線C的頂點為坐標原點,焦點為F(1,0),直線l與拋物線C相交于A,B兩點.若AB的中點為(2,2),則直線l的方程為.7.(2012北京高考)在直角坐標系xOy中,直線l過拋物線y2=4x的焦點F

3、,且與該拋物線相交于A,B兩點.其中點A在x軸上方.若直線l的傾斜角為60,則OAF的面積為.8.(2013珠海高二檢測)過拋物線y2=2x的焦點F作直線交拋物線于A,B兩點,若|AB|=2512,|AF|0)相交于B,C兩點,當直線l的斜率是12時,AC=4AB.(1)求拋物線G的方程.(2)設(shè)線段BC的中垂線在y軸上的截距為b,求b的取值范圍.答案解析1.【解析】選C.點(-1,0)在拋物線y2=x的外部,故過(-1,0)且與其有且僅有一個公共點的直線有三條,其中兩條為切線,一條為x軸.【舉一反三】若把本題中的點(-1,0)改為(1,1),則此時與y2=x只有一個公共點的直線有()A.1條

4、B.2條C.3條D.4條【解析】選B.因為點(1,1)在拋物線y2=x上,所以作與y2=x只有一個公共點的直線有兩條,其中一條為切線,一條為平行于x軸的直線.2.【解題指南】數(shù)形結(jié)合.【解析】選C.根據(jù)拋物線的對稱性,正三角形的兩個頂點一定關(guān)于x軸對稱,且過焦點的兩條直線的傾斜角分別為30和150,如圖,所以正三角形的個數(shù)n=2,所以選C.3.【解析】選B.如圖所示:直線AF的斜率為-3,AFK=60,PAF=60.又|PA|=|PF|,APF為等邊三角形.在RtAKF中,|FK|=4,|AF|=8,|PF|=8.4.【解析】選B.設(shè)拋物線y=x2的切線l與2x-y-4=0平行.kl=2,設(shè)l

5、方程為y=2x+b.由y=2x+b,y=x2消去y得x2-2x-b=0.由=(-2)2-41(-b)=4+4b=0得b=-1,而b=-1時,切點橫坐標為1,這時切點為(1,1).5.【解題指南】設(shè)出A,B點的坐標,利用拋物線的定義表示出|AF|,|BF|,再利用|AF|=3|BF|,確立l的方程.【解析】選C.拋物線y2=4x的焦點坐標為(1,0),準線方程為x=-1.設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則|AF|=x1+1,|BF|=x2+1,因為|AF|=3|BF|,所以x1+1=3(x2+1),所以x1=3x2+2.因為|y1|=3|y2|,所以x1=9x2,所以x1=3,x2=13.

6、當x1=3時,y12=12,此時y1=12=23,若y1=23,則A(3,23),B13,-233,此時kAB=3,此時直線方程為y=3(x-1).若y1=-23,則A(3,-23),B13,233,此時kAB=-3,此時直線方程為y=-3(x-1).6.【解題指南】求出拋物線方程,利用點差法.【解析】由題意知拋物線的方程為y2=4x,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則有x1x2,y12=4x1,y22=4x2,兩式相減得,y12-y22=4(x1-x2),y1-y2x1-x2=4y1+y2=1,直線l的方程為y-2=x-2,即y=x.答案:y=x7.【解題指南】寫出直線l的方程,再與拋

7、物線方程聯(lián)立,解出A點坐標,再求面積.【解析】拋物線y2=4x的焦點F(1,0),直線l:y=3(x-1).由y=3(x-1),y2=4x,解得A(3,23),B(13,-233).所以SOAF=12123=3.答案:3【變式備選】已知拋物線C:y2=4x的焦點為F,直線y=2x-4與C交于A,B兩點,則cosAFB=.【解題指南】聯(lián)立方程求出A,B兩點后轉(zhuǎn)化為解三角形問題.【解析】聯(lián)立y2=4x,y=2x-4,消y得x2-5x+4=0,解得x=1或x=4.不妨設(shè)A在x軸上方,于是A,B的坐標分別為(4,4),(1,-2),又F(1,0),可求|AB|=35,|AF|=5,|BF|=2,利用余

8、弦定理得cosAFB=|AF|2+|BF|2-|AB|22|AF|BF|=-45.答案:-458.【解析】拋物線y2=2x的焦點坐標為(12,0),準線方程為x=-12,設(shè)A,B的坐標分別為(x1,y1),(x2,y2),則x1x2=p24=14.設(shè)|AF|=m,|BF|=n,則x1=m-12,x2=n-12,所以有(m-12)(n-12)=14,m+n=2512,解得m=56或n=54,所以|AF|=56.答案:569.【解析】設(shè)拋物線方程為y2=-2px(p0),把直線方程與拋物線方程聯(lián)立得y=x+32,y2=-2px,消元得x2+(3+2p)x+94=0,判別式=(3+2p)2-9=4p

9、2+12p0,解得p0或p0)中,得y2=-2x.綜上,所求拋物線方程為y2=-2x.10.【解題指南】(1)利用定義建立方程求得p值.(2)利用“設(shè)而不求”的思想求解.【解析】(1)由題意設(shè)拋物線方程為y2=2px(p0),其準線方程為x=-p2.A(4,m)到焦點的距離等于A到其準線的距離.4+p2=6,p=4,此拋物線的方程為y2=8x.(2)由y2=8x,y=kx-2,消去y得k2x2-(4k+8)x+4=0.直線y=kx-2與拋物線相交于不同兩點A,B,則有k0,0,解得k-1且k0,AB中點橫坐標為2,則有x1+x22=4k+82k2=2,解得k=2或k=-1(舍去).所求k的值為

10、2.【拓展提升】“中點弦”處理方法當涉及弦中點的坐標、弦所在直線斜率之間的關(guān)系時,可以“設(shè)而不求”,采用平方差法.(1)代端點.把弦的兩端點坐標(x1,y1),(x2,y2)代入圓錐曲線方程.(2)“平方差”.將兩方程作差,利用平方差公式.(3)得斜率.把x1+x2=2x0,y1+y2=2y0(中點坐標(x0,y0)代入可得y1-y2x1-x2,即直線的斜率.(4)求結(jié)論.由點斜式求直線方程或代入轉(zhuǎn)化求其他.11.【解析】(1)設(shè)B(x1,y1),C(x2,y2),當直線l的斜率是12時,l的方程為y=12(x+4),即x=2y-4,由x2=2py,x=2y-4,得2y2-(8+p)y+8=0,y1y2=4,y1+y2=8+p2,又AC=4AB,y2=4y1,由這三個表達式及p0得y1=1,y2=4,p=2,則拋物線的方程為x2=4y.(2)由題意可設(shè)l:y=k(x+4),BC的中點坐標為(x0,