《信號與系統(tǒng)》信號21課件

1、第二章 連續(xù)時間系統(tǒng)時域分析法線性連續(xù)時間系統(tǒng) 常系數(shù)線性微分方程 解齊次微分方程得零輸入響應(yīng)解非齊次微分方程得零狀態(tài)響應(yīng)，它與激勵信號有關(guān)討論任意波形激勵下的零狀態(tài)響應(yīng)回顧求解電路的全響應(yīng)第1頁，共44頁。2-1 沖激函數(shù)及其性質(zhì)2-1-1 沖激函數(shù)工程定義 出現(xiàn)時間極短和面積為1廣義函數(shù) 單位沖激函數(shù)作用于結(jié)果只要 在 時連續(xù) 單位沖激函數(shù)的篩選性質(zhì)或抽樣性質(zhì)第2頁，共44頁。不是普通函數(shù)，作為廣義函數(shù)的定義是：作用于任何在 時刻連續(xù)的函數(shù) 所產(chǎn)生的效果是對 賦予下面的值 即2-1-2 沖激函數(shù)的性質(zhì) 證明：令第3頁，共44頁。 如果 是一個在 時連續(xù)的普通函數(shù)，有證明：兩個廣義函數(shù)對測試

2、函數(shù) 有相同的賦值效果，故它們二者相等。 特別地當 有如1加權(quán)特性第4頁，共44頁。2 單位階躍函數(shù) 的導(dǎo)數(shù)是單位沖激函數(shù)證明：由于 在 時不連續(xù)，因此， 必須作為廣義函數(shù)來證明，因為第5頁，共44頁。此結(jié)論解決了不連續(xù)函數(shù)在間斷點處的求導(dǎo)問題波形如下圖第6頁，共44頁。3 單位沖激函數(shù) 為偶函數(shù)，即0t(2)10t222第7頁，共44頁。第8頁，共44頁。5 的導(dǎo)數(shù)及其性質(zhì)單位沖激函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù) 稱為單位二次沖激函數(shù)或沖激偶，圖形符號如下第9頁，共44頁。0t可以證明：第10頁，共44頁。第11頁，共44頁。此外，還可以定義 的 n 階導(dǎo)數(shù)被積函數(shù)不在積分區(qū)間時，積分值為零。第12頁，共44

3、頁。2-2 系統(tǒng)的沖激響應(yīng)系統(tǒng)的初始狀態(tài)為零，激勵為單位沖激信號 作用下的響應(yīng)，用 表示由于沖激函數(shù)及其各階導(dǎo)數(shù)僅在t=0處作用，而在t0的區(qū)間恒為零。也就是說，激勵信號 的作用是在t=0的瞬間給系統(tǒng)輸入了若干能量，貯存在系統(tǒng)的各貯能元件中，而在t0系統(tǒng)的激勵為零，只有沖激引入的那些貯能在起作用，第13頁，共44頁。+-列微分方程：1 簡單電路可直接計算因而，系統(tǒng)的沖激響應(yīng)由上述貯能唯一地確定，第14頁，共44頁。上式從 到 取積分，得電感電流在沖激信號作用下，從零躍變到由三要素公式得第15頁，共44頁。與RL電路相對偶，可得RC電路的沖激響應(yīng)Rc+_2先計算系統(tǒng)的階躍響應(yīng) ，然后利用沖激響應(yīng)

4、 與階躍響應(yīng) 的關(guān)系求沖激響應(yīng) 與 的關(guān)系（線性時不變系統(tǒng)）第16頁，共44頁。+-如第17頁，共44頁。例：如圖所示電路，R1=R2=1,c=1F,求階躍響應(yīng)和沖激響應(yīng)解：先用三要素法求階躍響應(yīng)+-第18頁，共44頁。3 從微分方程求解得沖激響應(yīng)設(shè)描述n階連續(xù)系統(tǒng)的微分方程為第19頁，共44頁。當 時，由因果性為保證等式兩邊平衡，只能是n階導(dǎo)數(shù)項包含沖激函數(shù)則n-1階導(dǎo)數(shù)項包含 ，而n-2階導(dǎo)數(shù)項包含 ,在t=0處， 是不連續(xù)的，而 是連續(xù)的，因而 的低于n-1階導(dǎo)數(shù)在t=0處是連續(xù)的當 時，由于 將是一個特殊的零輸入響應(yīng)，它取決于 時的n個初始條件第20頁，共44頁。對微分方程兩邊取積分上

5、式左邊只第一項不為零，其他項為零單位沖激信號引起的t=0+時的n個初始條件為第21頁，共44頁。解n階齊次微分方程，代入初始條件，可求得系統(tǒng)的沖激響應(yīng)例 已知系統(tǒng)的初始狀態(tài)為零，解微分方程解：第22頁，共44頁。代入初始條件得有一般地微分方程右邊還有x的各階導(dǎo)數(shù)項第23頁，共44頁。例 解微分方程解：先求 作用下的響應(yīng)由系統(tǒng)的線性時不變性有第24頁，共44頁。第25頁，共44頁。以上題為例，t0時等式右邊為零，h(t)與微分方程的齊次解有相同的形式，考慮到等式兩邊各奇異函數(shù)項平衡，有對上式求導(dǎo)以上解法為間接法求沖激響應(yīng)也可這樣解(直接法)第26頁，共44頁。代入原方程，整理得：直接法求解沖激響

6、應(yīng)的關(guān)鍵是找出h(t)的表達形式，已知微分方程第27頁，共44頁。第28頁，共44頁。若微分方程的特征根中有重根，則解的形式要作相應(yīng)改變。直接法與間接法比較第29頁，共44頁。例：描述系統(tǒng)的微分方程為求其沖激響應(yīng)代入初始條件第30頁，共44頁。第31頁，共44頁。第3次作業(yè)：2-1（奇）2-5(2,4,6) 2-7 2-23(4)第32頁，共44頁。2-3 信號的時域分解和卷積積分2-3-1信號的時域分解任意波形的信號可以縱向分割成許多相鄰的矩形脈沖，如圖所示0t0t第33頁，共44頁。第34頁，共44頁。任意波形也可用無窮多個橫向的加權(quán)階躍信號之和近似表示t第35頁，共44頁。任意信號可以分解為偶分量與奇分量之和第36頁，共44頁。2-3-2 零狀態(tài)響應(yīng)卷積