2020年級-量子力學(xué)試卷及答案B

1、2020級學(xué)年第1學(xué)期考試試題及答案（B）卷課程名稱 量子力學(xué)任課教師簽名 出題教師簽名 審題教師簽名 考試方式 （閉）卷適用專業(yè) 考試時間（120 ）分鐘7、（3分）設(shè)一個二能級體系的兩個能量本征值分別為 Ei和E2,相應(yīng)的 本征矢量為|ni）和n。則在能量表象中，體系哈密頓量的矩陣表示題號一二三四五六七總分得分評卷人二、簡答題（10分）1 、（5分）簡述力學(xué)量和算符之間關(guān)系的一般假定2 、（5分）簡述波函數(shù)的物理意義。定值。已知F12.22sin一、填空題（20分）1、（2分）微觀粒子的波粒二象性是指。2、（2分）電子被200V的電壓加速，則電子的德布羅意波長為 。（電子的質(zhì)量為9.1 1

2、0 31kg ,電子的電量為1.602 10 19庫侖）p0 x3、（4分）自由粒子平面波函數(shù)為x ce的動量不確定度p ,坐標(biāo)的不確定度 x 。4、（4分）設(shè)在球坐標(biāo)中，粒子波函數(shù)為nim r,，則在球殼（r,r+dr）中找到粒子的概率為 ;在 ， 方向的立體角d 中找到粒子的概率為。5、（2 分）設(shè)算符 A ieix ,算符 B eix,則 A,B =。dx6、（3分）波函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)條件為：、;三、證明題（15分）1、（7分）證明：若算符F和算符Gt一組共同的本征函數(shù)小，且小，組 成完全系，則算符F和G寸易。2、（8分）證明：r, , f r sin3 ei3為I?和2的共同的本征函數(shù)，并求

3、出相應(yīng)的征信，說明當(dāng)體系處于此狀態(tài)時，和？y沒有確1sin sin四、計算（55分）a ,1、（10分）一粒子在一維萬勢阱U x Uo,0 x 中運動，如圖所2a0, x a2示。把U（x）=-U0當(dāng)作對無限深勢阱中運動粒子的微擾，計算在一級近似下粒子的基態(tài)能量。*U（x）,|iIa x-U02、（15分）一維無限深方勢阱中的粒子，設(shè)初始時刻（t=0）處于x,01 x 2 x /2 , 1 x和2 x分別為基態(tài)和第一激發(fā)態(tài)，求（a） x,t , x,t x x ； （b）能量平均值E ; （c）能量平方平均值E2。3、（15分）設(shè)已知在I?和仁的共同表象中，算符？x的矩陣為4、（15分）粒子在

4、半壁無限深勢阱U x 0 0 x a 中運動，求U 00 x a粒子束縛態(tài)能量（0EU0）所滿足的方程。求它的本征值和歸一化的本征函數(shù)量子力學(xué)試卷B答案及評分標(biāo)準(zhǔn)函數(shù)為空間坐標(biāo)和時間的函數(shù)，即 x,y,z,t ,波函數(shù)模的平方表示了在某一、填空（共20分）1、粒子保持完整的顆粒結(jié)構(gòu)在空間以概率波的形式運動的性質(zhì)就是微觀粒子的波粒二象性。（2分）02、0.87 A （2 分）3、0,（4 分）2924、Rni r r dr ; %, d （4 分）5、e2ix （2 分）一時亥ij t粒子在空間某一點（x,y,z）處出現(xiàn)的概率。三、證明題（15分）1、（ 7分）證明：設(shè)入n和仙n分別為F?c?F

5、n nn,Gn n n將算符G和算符F分別作用在上述兩式上,熊郎n 0算符F和G的本征值，則并相減:6、有限性、連續(xù)性、單值性（3分）設(shè)為任意波函數(shù)，則7、Ei 00 E2（3分）F?（?郎an FG nannGF n為任意波函數(shù)，故FG? G?F?F和算符G對易。二、簡答題（共10分）1、（5分）答：力學(xué)量F由算符F表示，當(dāng)微觀體系處于算符F的本征函數(shù)un（x）所描述的 狀態(tài)時，力學(xué)量F有唯一確定值，該值為算符F的第n個本征值入n；當(dāng)體系處 于一般任意態(tài)也時，對力學(xué)量F進(jìn)行測量，只能得到一系列的可能值，這些 值位于算符F的本征值值譜中，力學(xué)量F的值為第n個本征值的概率恰好是展 開式anUn

6、x中第n個展開系數(shù)an模的平方。n2、L2（8分）證明:L22、 （5 分）答：量子力學(xué)中用一個復(fù)數(shù)函數(shù)即波函數(shù)來描述微觀粒子的運動狀態(tài)，波2 ,12f rsin 3sinsin12 2i3 cos e13i3sin 9 e sin12 2Lz 3223g,Ly,?Z三者之間相互不對易，因此三者沒有共同的本征函數(shù)，當(dāng)？有確定值時，？x,i2y沒有確定值。x,t四、計算題（55分）x,t x,t-E1t1eE2t2e-E1t1eE2t2e（5分）1、（10 分）12 cos-E1E2解：在無限深方勢阱中運動粒子的波函數(shù)和能量本征值分別為U（x）（b）EC12.2E1|C2 E2（5分）2 22n

7、2 . nEn -, n x ,，-Sinx, n 1,22maa a（2分）2（c）EG|2E；C22E2 : E11（5分）在微擾-Uo下，基態(tài)能量的一級修正值為E11 H11. 2 x ,sin dxaU02（4分）因此，在一級近似下,粒子的基態(tài)能量為E122maU02（4分）3、（15 分）解：設(shè)？x的本征值為,本征波函數(shù)為Lx于是，本征方程為2、（15 分）/ j 1解：（a）x，t2i一 Etx ei一E2t3分）久期方程行列式為零（3分）a（1,0,1）2a對應(yīng)的本征值0,有:.2 b.212 b 1121a ,2對應(yīng)的本征值（3分）1.2-212112有:（3分）b、2對應(yīng)的本征值為4、（15 分）解：x 0b（1, 2, 1）2bb2b21.2（3分）d2dx2令kiAsin k1xB coskiXCe k2xCek2X舍去d2dx22 V。E0令