數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)：平面與平面垂直的判定(上課用)

1、2.3.2 平面與平面垂直的判定定理1.在立體幾何中，“異面直線所成的角”是怎樣定義的？ 直線a、b是異面直線，經(jīng)過(guò)空間任意一點(diǎn)O，分別引直線a /a， b/ b，我們把相交直線a 和 b所成的銳角 （或直角）叫做異面直線所成的角. 2.在立體幾何中,直線和平面所成的角是怎樣定義的？ 平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角，叫做這條直線和這個(gè)平面所成的角. 范圍：( 0o, 90o 范圍： 0o, 90o 復(fù)習(xí)引入空間兩個(gè)平面有平行、相交兩種位置關(guān)系.對(duì)于兩個(gè)平面平行，我們已作了全面的研究，對(duì)于兩個(gè)平面相交，我們應(yīng)從理論上有進(jìn)一步的認(rèn)識(shí).在異面直線所成的角、直線與平面所成的角的學(xué)習(xí)過(guò)程中，

2、我們將三維空間的角轉(zhuǎn)化為二維空間的角，即平面角來(lái)刻畫(huà).接下來(lái)，我們同樣來(lái)研究平面與平面的角度問(wèn)題. 兩個(gè)相交平面的相對(duì)位置是由這兩個(gè)平面所成的“角”來(lái)確定的在生產(chǎn)實(shí)踐中，有許多問(wèn)題也涉及到兩個(gè)平面所成的角如：修筑水壩時(shí)，為了使水壩堅(jiān)固耐久，必須使水壩面和水平面成適當(dāng)?shù)慕嵌?；發(fā)射人造地球衛(wèi)星時(shí)，也要根據(jù)需要，使衛(wèi)星的軌道平面和地球的赤道平面成一定的角度.洪壩水平面我們常說(shuō)“把門(mén)開(kāi)大些”，是指哪個(gè)角開(kāi)大一些，我們應(yīng)該怎么刻畫(huà)二面角的大??？(1) 半平面的定義1.二面角的概念平面內(nèi)的一條直線把平面分為兩部分，其中的每一部分都叫做半平面半平面半平面(2) 二面角的定義從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的

3、圖形叫做二面角.這條直線叫做二面角的棱，每個(gè)半平面叫做二面角的面棱面面平臥式：直立式：llAB(3) 二面角的畫(huà)法和記法：1.二面角的概念面1棱面2點(diǎn)1棱點(diǎn)2二面角 l 二面角AB二面角CAB DABCDAOlB(4) 二面角的平面角ABO1.二面角的概念以二面角的棱上任意一點(diǎn)為端點(diǎn)，在兩個(gè)面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所成的角叫做二面角的平面角.如圖， ，則AOB成為二面角 的平面角. 它的大小與點(diǎn)O的選取無(wú)關(guān).二面角的平面角必須滿足：角的邊都要垂直于二面角的棱角的頂點(diǎn)在棱上角的兩邊分別在兩個(gè)面內(nèi)9質(zhì)疑:在二面角的平面角的定義中O點(diǎn)是在棱上任取的，那么AOB的大小與點(diǎn)O在棱上的位置

4、有關(guān)系嗎？= 等角定理：如果一個(gè)角的兩邊和另一個(gè)角的兩邊分別平行，并且方向相同，那么這兩個(gè)角相等。）ABAB二面角的平面角大小與點(diǎn)O在棱上的位置無(wú)關(guān)，只與二面角的張角大小有關(guān)。結(jié)論：二面角是用它的平面角來(lái)度量的，一個(gè)二面角的平面角多大，就說(shuō)這個(gè)二面角是多少度的二面角。.二面角的范圍： 0o, 180o 二面角的兩個(gè)面重合： 0o； 二面角的兩個(gè)面合成一個(gè)平面：180o； 平面角是直角的二面角叫直二面角OABlOAB0。，180。(4) 二面角的平面角1.二面角的概念二面角的范圍為：注1：當(dāng)二面角的兩個(gè)面合成一個(gè)平面時(shí)，規(guī)定二面角的大小為180；平面角是直角的二面角叫做直二面角，此時(shí)稱兩半平面所

5、在的兩個(gè)平面互相垂直.OAB定義法垂線法作棱的垂面法一個(gè)平面垂直于二面角 -l- 的棱 l，且與兩半平面的交線分別是射線 OA、OB，O 為垂足，則AOB 為二面角 -l- 的平面角(5) 二面角的平面角的作法：1.二面角的概念OABlOABoAB補(bǔ)充角BAO邊邊頂點(diǎn)從一點(diǎn)出發(fā)的兩條射線所組成的圖形叫做角。定義構(gòu)成邊點(diǎn)邊 （頂點(diǎn)）表示法AOB二面角AB面面棱a從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角。面直線面 （棱）二面角l或二面角AB圖形角與二面角的比較例 正方體ABCDA1B1C1D1中，二面角B1-AA1-C1的大小為_(kāi)，二面角B-AA1-D的大小為_(kāi)，二面角C1-BD-C的正切

6、值是_.4590練習(xí)尋找二面角的平面角在正方體ABCD-ABCD中，找出下列二面角的平面角：（1）二面角D-AB-D和A-AB-D；（2）二面角C-BD-C和C-BD-A.BACDABCDBACDABCD尋找二面角的平面角在正方體ABCD-ABCD中，找出下列二面角的平面角：（1）二面角D-AB-D和A-AB-D；（2）二面角C-BD-C和C-BD-A.尋找二面角的 平面角BACDABCDO尋找二面角的平面角在正方體ABCD-ABCD中，找出下列二面角的平面角：（1）二面角D-AB-D和A-AB-D；（2）二面角C-BD-C和C-BD-A.BACDABCDO尋找二面角的平面角在正方體ABCD-

7、ABCD中，找出下列二面角的平面角：（1）二面角D-AB-D和A-AB-D；（2）二面角C-BD-C和C-BD-A.練 如圖，在長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1中，AB = 2，BC = BB1 =1 ，E為D1C1的中點(diǎn)，求二面角EBDC的大小AA1BB1CC1DD1E思路分析：找基面平面BCD作基面的垂線過(guò)E作EFCD于FF作平面角作FGBD于G，連結(jié)EGG解：過(guò)E作EFCD于F，于是，EGF為二面角EBDC的平面角BC = 1，CD = 2，而EF = 1，在EFG中 ABCDA1B1C1D1是長(zhǎng)方體， EF平面BCD，且F為CD中點(diǎn)，過(guò)F作FGBD于G，連結(jié)EG，則EGBD（三垂線定理）

8、M練習(xí)ABCD求證:例 如圖，將等腰直角三角形紙片沿斜線BC上的高AD折成直二面角. CDHG600300例 如圖，山坡傾斜度是60度，山坡上一條路CD和坡底線AB成30度角.沿這條路向上走100米，升高了多少? AB練習(xí)小結(jié):二 面 角一、二面角的定義：二、二面角的表示方法：三、二面角的平面角：四、二面角的平面角的作法：五、二面角的計(jì)算：二 面 角 AB 二 面 角 CAB D二 面 角 l 1、根據(jù)定義作出來(lái)2、利用直線和平面垂 直作出來(lái)1、找到或作出二面角的平面角2、證明 1中的角就是所求的 角3、計(jì)算所求的角一“作”二“證”三“計(jì)算”從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角。這

9、條直線叫做二面角的棱。這兩個(gè)半平面叫做二面角的面。 1、二面角的平面角 必須滿足三個(gè)條件2、二面角的平面角 的大小與 其頂點(diǎn) 在棱上的位置無(wú)關(guān)3、二面角的大小用 它的平面角的大 小來(lái)度量 如何檢測(cè)所砌的墻面和地面是否垂直？思考2.平面與平面垂直的判定(1) 定義法：兩個(gè)平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角，就說(shuō)這兩個(gè)平面互相垂直.記作(2) 面面垂直的判定定理：若一個(gè)平面經(jīng)過(guò)另一個(gè)平面的一條垂線，則這兩個(gè)平面互相垂直 該定理作用：“線面垂直面面垂直”注2：應(yīng)用該定理，關(guān)鍵是找出兩個(gè)平面中的其中任一個(gè)的垂線.aa文字語(yǔ)言：如果一個(gè)平面經(jīng)過(guò)另一個(gè)平面的一條垂線，那么這兩個(gè)平面互相垂直兩個(gè)平面垂

10、直的判定定理符號(hào)語(yǔ)言：AB圖形語(yǔ)言：該定理作用：“線面垂直面面垂直”應(yīng)用該定理，關(guān)鍵是找出兩個(gè)平面中的其中任一個(gè)的垂線.文字語(yǔ)言：如果一個(gè)平面經(jīng)過(guò)另一個(gè)平面的一條垂線，那么這兩個(gè)平面互相垂直兩個(gè)平面垂直的判定定理 證明：在平面內(nèi)過(guò)B點(diǎn)作直線BECD，則ABE就是二面角-CD-的平面角，設(shè)=CD，AB在上，則BCD.AB，CD ，ABCD.AB，BE ， ABBE. 二面角-CD-是直二面角，.back練 在正方體ABCDA1B1C1D1中, (1)求證：平面A1C平面B1D ACDA1C1D1E FB1(2)E、F分別是AB、BC的中點(diǎn)， 求證：平面A1C1FE平面B1D(3)G是BB1的中點(diǎn)

11、， 求證：平面A1C1G平面B1D GGGG總結(jié):直線A1C1 平面B1D，則過(guò)直線A1C1 的平面都垂直于平面B1D練習(xí)例3:如圖，AB是O的直徑，PA垂直于O所在的平面，C是圓周上不同于A,B的任意一點(diǎn)，求證：CPABO證明：設(shè)O所在的平面為 ，由已知條件，PA，BC在內(nèi)，所以PA BC因?yàn)辄c(diǎn)C是圓周上不同于A，B的任意一點(diǎn)，AB是O的直徑所以，BCA是直角，即BC AC又因?yàn)镻A與AC是PAC所在平面內(nèi)的兩條相交直線，所以，BC 平面PAC。又因?yàn)锽C在平面PBC內(nèi)，所以，平面PAC 平面PBC。分析：找出在一個(gè)面內(nèi)與另一個(gè)面垂直的直線.BC平面PACABCPO證明：由AB是圓O的直徑，

12、可得ACBC平面PAC平面PBC例 3 如圖，AB是O的直徑，PA垂直于O所在的平面，C是圓周上不同于A,B的任意一點(diǎn)，求證：平面PAC平面PBC練習(xí)2.如果平面內(nèi)有一條直線垂直于平面內(nèi)的兩條直線，則.（ ）課堂練習(xí)：1.如果平面內(nèi)有一條直線垂直于平面內(nèi)的一條直線，則.（ ）3. 如果平面內(nèi)的一條直線垂直于平面內(nèi)的兩條相交直線, 則.（ ）一、判斷：4.若m，m ，則.( )1.過(guò)平面的一條垂線可作_個(gè)平面 與平面垂直.2.過(guò)一點(diǎn)可作_個(gè)平面與已知平面垂直.二、填空題：3.過(guò)平面的一條斜線，可作_個(gè)平 面與平面垂直.4.過(guò)平面的一條平行線可作_個(gè)平 面與垂直.一無(wú)數(shù)無(wú)數(shù)一BCDA探究：2.如圖

13、，正方形SG1G2G3中，E，F(xiàn)分別是G1G2，G2G3的中點(diǎn)，D是EF的中點(diǎn)，現(xiàn)在沿SE，SF及EF把這個(gè)正方形折成一個(gè)四面體，使G1，G2，G3三點(diǎn)重合，重合后記為G- SEF，則四面體SEFG中必有( ). (A)SGEFG所在平面 (B)SDEFG所在平面 (C)GFSEF所在平面 (D)GDSEF所在平面SG1G2G3EFDSG1G2G3EFDSEFGDSGEFG所在平面.故選A.PABC外垂中練習(xí)：P79 B組2(2)EF分析EF或者考慮二面角定義法GEGE練習(xí)二、平面與平面垂直(1)定義：兩平面所成二面角為直二面角(2)判定定理：(3)性質(zhì)定理：一、直線與平面垂直(1)定義：(2

14、)判定定理：(3)線線垂直的常用證明方法：a.平面內(nèi)的兩直線b.空間內(nèi)的兩直線(4)兩條平行線垂直于同一個(gè)平面，垂直于同一一個(gè)面的兩直線平行.三、角度問(wèn)題直線a、b是異面直線，經(jīng)過(guò)空間任意一點(diǎn)o，作直線a、b，并使a/a，b/b，我們把直線a和b所成的銳角（或直角）叫做異面直線a和b所成的角.從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角。以二面角的棱上任意一點(diǎn)為端點(diǎn)，在兩個(gè)面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所成的角叫做二面角的平面角。LoBAALBO平面的一條斜線和它在這個(gè)平面內(nèi)的射影所成的銳角，叫做這條直線和這個(gè)平面所成的角，特別地，若L則L與所成的角是直角，若L/或 L ，則L與

15、所成的角是的角。 解決空間角的問(wèn)題涉及的數(shù)學(xué)思想主要是化歸與轉(zhuǎn)化，即把空間的角轉(zhuǎn)化為平面的角，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為三角形的內(nèi)角，然后通過(guò)解三角形求得.2.方法：3.步驟：b.求直線與平面所成的角：a.求異面直線所成的角：c.求二面角的大?。鹤鳎ㄕ遥?證 點(diǎn) 算1.數(shù)學(xué)思想：平移 構(gòu)造可解三角形找（或作）射影 構(gòu)造可解三角形找（或作）其平面角 構(gòu)造可解三角形定義法或者垂線法即找面的垂線，找出垂足找平行線方法：中位線，平行四邊形，線段成比例，線面平行的性質(zhì)定理等歸納小結(jié)： (1)判定面面垂直的兩種方法： 定義法根據(jù)面面垂直的判定定理 (2)面面垂直的判定定理不僅是判定兩個(gè)平面互相垂直的依據(jù)，而且是找出垂直于

16、一個(gè)平面的另一個(gè)平面的依據(jù)； (3)從面面垂直的判定定理我們還可以看出面面垂直的問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為線面垂直的問(wèn)題來(lái)解決. OLLABOPABback練習(xí)：二面角 的平面角為 , PA 于A點(diǎn)，PB 于B點(diǎn)，PA=a，PB=b，求點(diǎn)P到棱 的距離.back練 如圖，在三棱錐P-ABC中，ACBC=2，PA=PB=AB，ACB90o，PCAC.(1)求證：PC AB；(2)求二面角BAPC的大小.練2 在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=2， BC=BB1=1， E為C1D1的中點(diǎn)，求二面角 E-BD-C的大小.AA1BB1CC1DD1EMFback在正方體AC1中，E，F(xiàn)分別是中點(diǎn)，求截面A

17、1ECF和底面ABCD所成的銳二面角的大小.EFGABDCA1B1D1C1FGBCDAFEA1CHHback練1 如圖，M是正方體ABCDA1B1C1D1的棱AB的中點(diǎn)，求二面角A1MCA的正切值A(chǔ)BCDMA1B1C1D1NH思路分析：找基面找基面的垂線AA1作平面角作AHCM交CM的延長(zhǎng)線于H，連結(jié)A1H平面ABCD解：作AHCM交CM的延長(zhǎng)線于H，連 結(jié)A1HA1A平面AC，AH是A1H 在平面AC內(nèi)的射影，A1HCM，A1HA為二面角A1CMA的平面角設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1M是AB的中點(diǎn)，且AMCD，則在直角AMN中，AN= 1，MN = back如圖，在底面是直角梯形的四棱錐S-ABCD中

18、，ABC=90，SA面ABCD，SA=AB=BC=2，AD=1.(1)求四棱錐S-ABCD的體積；(2)求面SCD與面SBA所成的二面角的正切值.(2)提示：因所求二面角無(wú)“棱”，故先延長(zhǎng)BA、CD以確定棱SE，然后證明BSC為平面角.backA .O解：則AD l .sinADO= ADO=60.即二面角 l 的大小為60 .在RtADO中，AOAD練 已知二面角 l ，A為面內(nèi)一點(diǎn)，A到 的距離為 ，到l的距離為 4. 求二面角 l 的大小.lD過(guò) A作 AO于O，過(guò) O作 OD l 于D，連AD， 就是二面角 l 的平面角.back練 在二面角-l-的一個(gè)平面內(nèi)有一條直線AB，它與棱 l 所成的角為45，與平面所成的角為30，則這個(gè)二面角的大小是_.45或135 證明：CDABE在平面內(nèi)過(guò)B點(diǎn)作直線B