6.1分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理1 課件-山東省滕州市第一中學高中數(shù)學人教A版（2019）選擇性必修第三冊

1、6.1分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理（一）新課引入 思考：用一個大寫有英文字母或一個阿拉伯數(shù)字給教室里的座位編號，總共能編出多少種不同的號碼？上述問題中,最重要的特征是“或”字的出現(xiàn):每個座位可以用一個英文字母或一個阿拉伯數(shù)字編號.由于英文字母、阿拉伯數(shù)字各不相同,因此用英文字母編出的號碼與用阿拉伯數(shù)字編出的號碼也是各不相同的.因為英文字母共有26個,阿拉伯數(shù)字09共有10個,所以總共可以編出26+10=36種不同的號碼.探究：你能說說這個問題的特征嗎?你能舉一些生活中類似的例子嗎?計數(shù)問題是我們從小就經(jīng)常遇到的，通過列舉一個一個地數(shù)是計數(shù)的基本方法.但當問題中的數(shù)量很大時，列舉的方法效率

2、不高.能否設(shè)計巧妙的“數(shù)法”，以提高效率呢？上述計數(shù)過程的基本環(huán)節(jié)是：(1)確定分類標準，根據(jù)問題條件分為字母號碼和數(shù)字號碼兩類； (2)分別計算各類號碼的個數(shù)；(3)各類號碼的個數(shù)相加，得出所有號碼的個數(shù).學習新知一般地，有如下分類加法計數(shù)原理： 完成一件事有兩類不同方案，在第1類方案中有m種不同的方法，在第2類方案中有n種不同的方法，那么完成這件事共有Nm+n種不同的方法.注意：兩類不同方案中方法互不相同例題講評例1.在填寫高考志愿表時,一名高中畢業(yè)生了解到,兩所大學各有自己感興趣的強項專業(yè),具體情況如右:那么,這名同學可能的專業(yè)選擇共有多少種?分析：要完成的事情是“選一個專業(yè)”，因為這名

3、同學在A,B兩所大學中只能選擇一所，而且只能選擇一個專業(yè)，又因為這兩所大學沒有共同的強項專業(yè)，所以符合分類加法計數(shù)原理的條件.解：這名同學可以選擇A,B兩所大學中的一所，在A大學中有5種專業(yè)選擇方法，在B大學中有4種專業(yè)選擇方法，因為沒有一個強項專業(yè)是兩所大學共有的，所以根據(jù)分類加法計數(shù)原理，這名同學可能的專業(yè)選擇種數(shù)為N=5+4=9.探究：如果完成一件事有三類不同方案，在第1類方案中有m1種不同的方法，在第2類方案中有m2種不同的方法，在第3類方案中有m3種不同的方法，那么完成這件事共有多少種不同的方法？問題2. 從甲地到乙地，可以乘火車，也可以乘汽車，還可以乘輪船。一天中，火車有4 班,

4、汽車有2班，輪船有3班。那么一天中乘坐這些交通工具從甲地到乙地共有多少種不同的走法?解析: 從甲地到乙地有3類方法, 第一類方法, 乘火車, 有4種方法;第二類方法, 乘汽車, 有2種方法;第三類方法, 乘輪船, 有3種方法; 所以 從甲地到乙地共有4+2+3= 9種方法。 完成一件事情，有n類不同方案，在第1類方案中有m1種不同的方法，在第2類方案中有m2種不同的方法在第n類方案中有mn種不同的方法.那么完成這件事共有N=m1+m2+m種不同的方法.分類加法計數(shù)原理 2）首先要根據(jù)具體的問題確定一個分類標準，在分類標準下進行分類，然后對每類方法計數(shù).1）各類方案之間相互獨立,都能獨立的完成這

5、件事，要計算方法種數(shù),只需將各類方案方法數(shù)相加,因此分類計數(shù)原理又稱加法原理學習新知其特點是各類中的每一個方法都可以完成要做的事情，它強調(diào)的是每一類中的一個方法就可以完成要做的事情練習：在所有的兩位數(shù)中，個位數(shù)字大于十位數(shù)字的兩位數(shù)共有多少個？【解】：按十位上的數(shù)字分別是1,2,3,4,5,6,7,8的情況分成8類，在每一類中滿足題目條件的兩位數(shù)分別是8個，7個，6個，5個，4個，3個，2個，1個由分類加法計數(shù)原理知，符合題意的兩位數(shù)共有8765432136(個)例題講評變式:在所有的兩位數(shù)中，個位數(shù)字小于十位數(shù)字的兩位數(shù)共有多少個？學習新知思考:用前6個大寫英文字母和19九個阿拉伯數(shù)字,以A

6、1, A2,B1,B2,的方式給教室里的座位編號,總共能編出多少個不同的號碼?分析：這里要完成的事情仍然是“給一個座位編號”，但與前一問題的要求不同，在前一問題中，用26個英文字母中的任意一個或10個阿拉伯數(shù)字中的任意一個，都可以給出一個座位號碼.而在這個問題中,號碼必須由一個英文字母和一個作為下標的阿拉伯數(shù)字組成,得到一個號碼必須經(jīng)過先確定一個英文字母,后確定一個阿拉伯數(shù)字這兩個步驟.用右圖的方法可以列出所有可能的號碼.右圖是解決計數(shù)間題常用的樹形圖.請你用樹形圖列出所有可能號碼.我們還可以這樣來思考:由于前6個英文字母的任意一個都能與9個數(shù)字中的任何一個組成一個號碼,而且它們各不相同,因此

7、共有69=54個不同的號碼.學習新知上述問題中,最重要的特征是“和”字的出現(xiàn): 一個座位編號由一個英文字母和一個阿拉伯數(shù)字構(gòu)成,因此得到一個號碼必須經(jīng)過先確定一個英文字母,后確定一個阿拉伯數(shù)字這兩個步驟.每個英文字母與不同的數(shù)字組成的號碼是互不相同的.一般地，有如下分步乘法計數(shù)原理：完成一件事需要兩個步驟，做第1步有m種不同的方法，做第2步有n種不同的方法，那么完成這件事共有N=mn種不同的方法.注意：無論第1步采用哪種方法，與之對應的第2步都有相同的方法數(shù)。例題講評例2.某班有男生30名、女生24名，從中任選男生和女生各1名代表班級參加比賽，共有多少種不同的選法？分析：要完成的一件事是“選男

8、生和女生各1名”， 可以分兩個步驟：第1步，選男??；第2步，選女生.解：第1步，從30名男生中選出1人，有30種不同選法；根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，共有不同選法的種數(shù)為N=3024=720第2步，從24名女生中選出1人，有24種不同選法，學習新知探究 如果完成一件事需要三個步驟，做第1步有m1種不同的方法，做第2步有m2種不同的方法，做第3步有m3種不同的方法，那么完成這件事共有多少種不同的方法？如果完成一件事情需要n個步驟，做每一步都有若干種不同的方法，那么應當如何計數(shù)呢？分步乘法計數(shù)原理完成一件事情，需要分成n個步驟:做第1步有m1種不同的方法，做第2步有m2種不同的方法做第n步有mn種不同的

9、方法.那么完成這件事共有N=m1 m2 mn種不同的方法.2）首先要根據(jù)具體問題的特點確定一個分步的標準，然后對每步方法計數(shù).1）各個步驟相互依存,只有各個步驟都完成了,這件事才算完成,將各個步驟的方法數(shù)相乘得到完成這件事的方法總數(shù),又稱乘法原理學習新知分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理,回答的都是有關(guān)做一件事的不同方法的種數(shù)問題.區(qū)別在于:分類加法計數(shù)原理: 針對的是分類問題,其中各種方法相互獨立,用其中任何一種方法都可以做完這件事;分步乘法計數(shù)原理: 針對的是分步問題,各個步驟中的方法互相依存,只有各個步驟都完成才算做完這件事.例題講評例3書架的第1層放有4本不同的計算機書，第2層放有3本

10、不同的文藝書，第3層放有2本不同的體育書.(1)從書架上任取1本書，有多少種不同取法？(2)從書架的第1層、第2層、第3層各取1本書，有多少種不同取法？分析：(1)要完成的一件事是“從書架上取1本書”，可以分從第1層、第2層和第3層中取三類方案；(2)要完成的一件事是“從書架的第1層、第2層、第3層各取1本書”，可以分三個步驟完成解：(1)從書架上任取1本書，有三類方案：第1類方案是從第1層取1本計算機書，有4種方法；第2類方案是從第2層取1本文藝書，有3種方法；第3類方案是從第3層取1本體育書，有2種方法，根據(jù)分類加法計數(shù)原理，不同取法的種數(shù)為N=4+3+2=9(2)從書架的第1層、第2層、

11、第3層各取1本書，可以分三個步驟完成：第1步，從第1層取1本計算機書，有4種方法；第2步，從第2層取1本文藝書，有3種方法；第3步，從第3層取1本體育書，有2種方法.根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，不同取法的種數(shù)為N=432=24.例題講評例4要從甲、乙、丙3幅不同的畫中選出2幅，分別掛在左、右兩邊墻上的指定位置，共有多少種不同的掛法？分析：要完成的一件事是“從3幅畫中選出2幅，并分別掛在左、右兩邊墻上”，可以分步完成。解：從3幅畫中選出2幅分別掛在左、右兩邊墻上，可以分兩個步驟完成： 第1步，從3幅畫中選1幅掛在左邊墻上，有3種選法； 第2步，從剩下的2幅畫中選1幅掛在右邊墻上，有2種選法， 根據(jù)分步

12、乘法計數(shù)原理，不同掛法的種數(shù)為N=32=6.例題講評例5給程序模塊命名，需要用3個字符，其中首字符要求用字母AG或UZ,后兩個字符要求用數(shù)字19,最多可以給多少個程序模塊命名？分析：要完成的一件事是“給一個程序模塊命名”，可以分三個步驟完成：第1步，選首字符；第2步，選中間字符；第3步，選最后一個字符，而首字符又可以分為兩類，解：由分類加法計數(shù)原理，首字符不同選法的種數(shù)為7+6=13.后兩個字符從19中選，因為數(shù)字可以重復，所以不同選法的種數(shù)都為9.由分步乘法計數(shù)原理，不同名稱的個數(shù)是1399=1053,即最多可以給1053個程序模塊命名.你還能給出不同的解法嗎？例6.電子元件很容易實現(xiàn)電路的

13、通與斷、電位的高與低等兩種狀態(tài)，而這也是最容易控制的兩種狀態(tài)，因此計算機內(nèi)部就采用了每一位只有0或1兩種數(shù)字的記數(shù)法，即二進制，為了使計算機能夠識別字符，需要對字符進行編碼，每個字符可以用1個或多個字節(jié)來表示，其中字節(jié)是計算機中數(shù)據(jù)存儲的最小計量單位，每個字節(jié)由8個二進制位構(gòu)成。(1)1個字節(jié)（8位）最多可以表示多少個不同的字符？(2)計算機漢字國標碼包含了6763個漢字，一個漢字為一個字符，要對這些漢字進行編碼，每個漢字至少要用多少個字節(jié)表示？例題講評分析：(1)要完成的一件事是“確定1個字節(jié)各二進制位上的數(shù)字”，由于每個字節(jié)有8個二進制位，每一位上的值都有0,1兩種選擇，而且不同的順序代表

14、不同的字符因此可以用分步乘法計數(shù)原理求解；(2)只要計算出多少個字節(jié)所能表示的不同字符不少于6763個即可解：(1)用右圖表示1個字節(jié). 1個字節(jié)共有8位，每位上有2種選擇，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，1個字節(jié)最多可以表示不同字符的個數(shù)是22222222=28=256.(2)由（1)知，1個字節(jié)所能表示的不同字符不夠6763個，我們考慮2個字節(jié)能夠表示多少個字符.前1個字節(jié)有256種不同的表示方法，后1個字節(jié)也有256種表示方法.根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，2個字節(jié)可以表示不同字符的個數(shù)是256256=65536這已經(jīng)大于漢字國標碼包含的漢字個數(shù)6763.因此要對這些漢字進行編碼，每個漢字至少要用2個字節(jié)

15、表示.7名學生中有3名會下象棋但不會下圍棋，有2名學生會下圍棋但不會下象棋，另2名既會下象棋又會下圍棋，現(xiàn)從中各選1人同時參加象棋比賽和圍棋比賽，共有多少種不同的選法？變式訓練解：第一類：從3名只會下象棋的學生中選1名參加象棋比賽，同時從2名只會下圍棋的學生中選1名參加圍棋比賽，由分步乘法計數(shù)原理N1326(種)第二類：從3名只會下象棋的學生中選1名參加象棋比賽，同時從2名既會下象棋又會下圍棋的學生中選1名參加圍棋比賽，由分步乘法計數(shù)原理N2326(種)第三類：從2名只會下圍棋的學生中選1名參加圍棋比賽，同時從2名既會下象棋又會下圍棋的學生中選1名參加象棋比賽，由分步乘法計數(shù)原理N3224(種

16、)第四類：從2名既會下象棋又會下圍棋的學生中各選1名參加圍棋比賽和象棋比賽，有N42(種)綜上，由分類加法計數(shù)原理可知，不同選法共有NN1N2N3N4664218(種)例7. 五名學生報名參加四項體育比賽，每人限報一項，報名方法的種數(shù)為多少？又他們爭奪這四項比賽的冠軍，獲得冠軍的可能性有多少種？ 解：（1）5名學生中任一名均可報其中的任一項，因此每個學生都有4種報名方法，5名學生都報了項目才能算完成這一事件故報名方法種數(shù)為44444= 種 .（2）每個項目只有一個冠軍，每一名學生都可能獲得其中的一項獲軍，因此每個項目獲冠軍的可能性有5種故有n=5555= 種 .例題講評1、某教學樓有四個不同的

17、樓梯，3名學生要下樓，共有多少種不同的下樓方法？2、有4名同學要爭奪3個比賽的冠軍，冠軍獲得者共有多少可能？3、四封信投入三個信箱，有多少種投法？4、某公共汽車上有10名乘客，沿途有5個車站，乘客下車的可能方式有多少種？鞏固提高4343345105、75600有多少個正約數(shù)? 有多少個奇約數(shù)?解:由于 75600=243352775600的每個約數(shù)都可以寫成的形式,其中, 于是,要確定75600的一個約數(shù),可分四步完成,即i,j,k,l分別在各自的范圍內(nèi)任取一個值,這樣i有5種取法,j有4種取法,k有3種取法,l有2種取法,根據(jù)分步計數(shù)原理得約數(shù)的個數(shù)為5432=120個.1如果完成一件事有兩類方案,這兩類方案彼此之間是相互獨立的,無論哪一類方案中的哪一種方法都能單獨完成這件事,求能完成這件事的方法種數(shù)就用分類加法計數(shù)原理2如果完成一件事需要分成多個步驟,各個步驟都是不可缺少的,需要依次完成所有步驟,才能完成這件事，而完成每一個步驟有若干種不同的方法,求能完成這件事的方法種數(shù)就用分步乘法計數(shù)原理方法總結(jié)用兩個計數(shù)原理解決具體問題時，首先要分清是“分類”還是“分步”，其次要清楚“分類”或“分步”的具體標準，在“分類”時