立體幾何的動態(tài)問題翻折問題

1、立體幾何的動態(tài)問題之二翻折問題立體幾何動態(tài)問題的基本類型:點動問題；線動問題；面動問題；體動問題；多動問題等一、面動問題（翻折問題）：（一）學(xué)生用草稿紙演示翻折過程：（二）翻折問題的一線五結(jié)論一線：垂直于折痕的線即DF 1AE.五結(jié)論：1）折線同側(cè)的幾何量和位置關(guān)系保持不變； 折線兩側(cè)的幾何量和位置關(guān)系發(fā)生改變;2）/D，HF是二面角D- H - F的平面角；3）D在底面上的投影一定射線DF上；4）點D，的軌跡是以H為圓心，DH為半徑的圓;5）面ADE繞AE翻折形成兩個同底的圓錐.二、翻折問題題目呈現(xiàn)：（一）翻折過程中的范圍與最值問題1、（2016年聯(lián)考試題）平面四邊形ABCD中，AD=AB=

2、.2，CD=CB= # ,且AD 1 AB， 現(xiàn)將 ABD沿對角線BD翻折成AABD，則在AABD折起至轉(zhuǎn)到平面BCD的過程中， 直線AC與平面BCD所成最大角的正切值為 .解：由題意知點A運動的軌跡是以E為圓心,EA為半徑的圓，當(dāng)點A運動到與圓相切的時候所稱的角最大，所以tan小CB =豆。3【設(shè)計意圖】加強對一線、五結(jié)論的應(yīng)用，重點對學(xué)生容易犯 的錯誤1進(jìn)行分析，找出錯誤的原因。22、2015年10月浙江省學(xué)業(yè)水平考試18）.如圖，在菱形ABCD中，ZBAD=60,線段AD, BD的中點分別為E, F。現(xiàn)將 ABD沿對角線BD翻折，則異面直線BE與CF所成角的取值范圍是B.C.氣專分析：這

3、是一道非常經(jīng)典的學(xué)考試題，本題的解法非常多，很好的考查 了空間立體幾何線線角的求法。方法一：特殊值法（可過F作FH平行BE,找兩個極端情形）方法二：定義法：利用余弦定理：cos ZFHC = FH 2 + FC2-質(zhì)2 = 5 _ 4 如有 3 , CH V 恒2 FHF 4 344 bccos e e -!,異面直線be與cf所成角的取值范圍是氣專方法三：向量基底法：BEFC = 1( BA + BD )心=-BAFC = 1( BF + FA)FT 222 Tcos = 1cos2方法四：建系3、（2015年浙江理8）如圖，已知AABC , D是AB的中點，ECD，所成二面角A CD -

4、B的平面角為a，則(BA. ZArDB a C. ZACB a)D. /A CB a方法一：特殊值方法二：定義法作出二面角，在進(jìn)行比較。方法三：抓住問題的本質(zhì)，借助圓錐利用幾何解題。4、（14年1月浙江省學(xué)業(yè)學(xué)考試題）如圖在RtAABC中，AC=1, BC=x, D是斜邊AB的中點，將ABCD沿直線CD翻折，若在翻折過程 中存在某個位置，使得CB1AD,則x的取值范圍是（A ）(0,艘B.修 2方法一：利用特殊確定極端值C. (、,；3 2 展D. (2, 4方法二：在ADAB中利用余弦定理轉(zhuǎn)化為ZBDA的函數(shù)求解。方法三：取BC的中點E,連接EA,ED在ADEA中利用兩邊之和大于第三邊求解。

5、（二）翻折之后的求值問題5、（2016屆麗水一模13）已知正方形ABCD ,E是邊AB的中點，將ADE沿DE折起至ADE，如圖所示，若ACD為正三角形，2、盡56、（2016屆溫州一模8）如圖，在矩形ABCD中,則ED與平面ADC所成角的余弦值是AB = 2 , AD = 4，點E在線段AD上且AE = 3，現(xiàn)分別沿BE,CE將險BE,MCE翻折，A.B.C.D.使得點D落在線段AE上，則此時二面角D - EC - B的余弦值為（D ）三、課后練習(xí)1、（2012年浙江10）已知矩形ABCD, AB=1, BC=十2。將 ABD沿矩形的對角線BD所在的直線進(jìn)行翻折，在翻折過程中（B ）存在某個位

6、置，使得直線AC與直線BD垂直.存在某個位置，使得直線AB與直線CD垂直.存在某個位置，使得直線AD與直線BC垂直.對任意位置，三對直線AC與BD”，“AB與CD”，“AD與BC”均不垂直A2 （2009年浙江17）如圖，在長方形ABCD中，AB=2,BC=1,E為DC的中點，F(xiàn)為線段 EC（端點除外）上一動點，現(xiàn)將 AFD沿AF折起，使平面ABD1平面ABC,在平面ABD內(nèi)過點D作DK1AB,K為垂足，設(shè)AK=t，則t的取值范圍是（2,1）E C3、(16年浙江六校聯(lián)考)如圖，在邊長為2的正方形ABCD中，E為正方形邊上的動點 現(xiàn)將 ADE所在平面沿AE折起，使點D在平面ABC上的射 影H在

7、直線AE上，當(dāng)E從點D運動到C，再從C運動到B， 則點H所形成軌跡的長度為 兀4、(2010年浙江19改編)如圖，在矩形abcd中，點E，F(xiàn)分別在2.線段 AB，AD 上，AE = EB = AF = 3 FD = 4 .沿直線 EF 將 AAEF 翻 折成AA EF ,使平面A EF 1平面BEF .點M, N分別在線段FD, BC 上，若沿直線MN將四邊形MNCD向上翻折，使C與A重合，則線 段FM的長為5、(16屆金華十校一模17)如圖，在矩形ABCD中，已知AB=2，AD=4，點E、F分別在AD、BC上，且AE=1，BF=3，將四邊形AEFB沿EF折起，使點B 在平面CDEF上的射影H

8、在直線DE上.(I )求證:CD1BE;求線段BH的長度；求直線AF與平面EFCD所成角的正弦值.17.解：(1)由于BH1 平面CDEF，二BH 1 CD，又由于CD 1 DE，BH DE = HCD 1 平面DBE，二 CD 1 BE.法一：(2)設(shè)BH = h，EH = k，過F作FG垂直ED于點G，因為線段BE，BF在 翻折過程中長度不變，根據(jù)勾股定理：BE 2 = BH 2 + EH 2f5 = h 2 + k 2=林,曰h = 2n (，可解得 0, z 0)8y由于F(2,2,0)，be = 0，BF = 34 + (y - 2)2 + z2 = 9 I z = 2,解得y二1,

9、于是B(0,1,2)，所以線段BH的長度為2.從而FB =(-2,-1,2)，故EA =1FB = (-2,- 1,2) FA = FE + EA = (-8,-7,2)33 3 33 3 3設(shè)平面EFCD的一個法向量為n =(0,0,1)，設(shè)直線AF與平面EFCD所成角的大小為則 s in。=2,1339立體幾何的動態(tài)問題之三 最值、范圍問題1、（2006年浙江理14）正四面體ABCD的棱長為1,棱AB/平面a,則正四面體上的所有點在平面a內(nèi)的射影構(gòu)成的圖形面積的取/一干值范圍是./2、（2008年浙江理10）如圖，AB是平面a的斜線段，A為斜足， 若點P在平面a內(nèi)運動使得ABP的面積為定值

10、，則動點P的軌跡是（）（A）圓（B）橢圓（C）一條直線（D）兩條平行直線A3、（15屆高考模擬卷文）如圖，已知球0是棱長為1的正方體ABCD A1 B1C1氣的內(nèi)切球，則平面ACD1截球0的截面面積為C4、（2014年金華高二十校聯(lián)考文10）圓柱的軸截面ABCD是邊長為2 的正方形，M為正方形ABCD對角線的交點，動點P在圓柱下底面內(nèi)（包 括圓周），若直線BM與直線MP所成角為45，則點P形成的軌跡為（）A.橢圓的一部分B.拋物線的一部分C-雙曲線的一部分D.圓的一部分5 （2014 浙江卷理科17）某人在垂直于水平地面ABC的墻面前的點A處進(jìn)行射擊訓(xùn)練.已知點A到墻面的距離為AB,某目標(biāo)點P

11、沿墻面上的射線CM移動，此人 為了準(zhǔn)確瞄準(zhǔn)目標(biāo)點P,需計算由點A觀察點P的仰角。的大小.若AB=15 m, AC = 25 m,zBCM=30,則tan。的最大值 .（仰角。為直線AP與平面ABC所成 角）6 （2015 浙江卷8）如圖1110，斜線段AB與平面。所成的角為 60, B為斜足，平面。上的動點P滿足ZPAB=30,則點P的 軌跡是（）A.直線B.拋物線C.橢圓。.雙曲線的一支 TOC o 1-5 h z 式題（1）如圖，平面。的斜線AB交。于B點，且與。所成的角為。，, /平面。內(nèi)有一動點C滿足ZBAC = 6若動點C的軌跡為橢圓，則。農(nóng) / 的取值范圍為（2）在正四面體ABCD

12、中，M是AB的中點，N是棱CD上的一個動點，若直線MN與BD 所成的角為。，則cos a的取值范圍是.7、（2014年7月浙江學(xué)考第25題）在棱長為1的正方體ABCD-A BCD中，E、F分別是棱AD、C D的中 11111111點，N為線段B1C的中點，若P、M分別為D、EF的動點，則PM+PN的最小值為18、（16屆嘉興一模文15）邊長為1的正方體ABCD - A B C D將其對角線AC與平面a垂直，則正方體ABCD - ABC D在平面 a上的投影面積為.9、（16屆高考模擬卷理）正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1,底面ABCD的對角線BD在平面a內(nèi)，則正方體在平面a內(nèi)的投影構(gòu)

13、成 的圖形面積的取值范圍是.10、（16屆高考模擬卷理）將一個棱長為a的正方體嵌入到四個半徑為1且兩兩相切的實心小球所形成的球間空隙內(nèi)，使得正方體能夠任意自由地轉(zhuǎn)動，則 a的最大值為（）A 2 -而 D 2* -插 c 2拓-2.應(yīng)3巨-2.再 TOC o 1-5 h z ABCD663311、（ 16 屆寧波一模理 14）在 AABC 中，/BAC = 10, AACB = 30。，將直線 BC 繞 AC旋轉(zhuǎn)得到Bf ,直線AC繞AB旋轉(zhuǎn)得到AC1，則在所有旋轉(zhuǎn)過程中，直線B1C與直線AC1 所成角的取值范圍為:.11112、（16屆金華十校一模理14）在四面體ABCD中，已知AD1BC,

14、AD=6, BC=2，且AB = AC =2，則V四體配的最大值為BD CD四面體BCDA. 6B. 2、.1TC. 2J5D.8AD = 6,BC = 2，13、（15年上海高考題改編）在四面體ABCD中，已知ADBC ,AB + BD = AC + CD = t(t =7,+3)，)c)A. 2夕,+3B.3,+8)則V最大值的取值范圍是四面體ABCDC. M,+8） D.2,+3）【答案】B.【解析】試題分析：設(shè)/ADC =。，設(shè)AB = 2，則由題意AD = BD =1，在空間圖形中，設(shè)A B =在AACB中，AD 2 + DB 2 AB 212 +12 - 122 - 12cos ZADB =2 AD x DB2 x 1x12在空間圖形中，過A作AN 1 DC，過B作BM1 DC，垂足分別為N，M過 N 作 NP,MB，連結(jié) AP，二 NP1 DC則ZAA NP就是二面角A - CD B的平面角，/A NP = a在 RtAAND 中，DN = AD cos ZADC = cos9，AN = AD sin ZADC = sin 9 同理，BM = PN = sin9，DM = cos9，故BP = MN = 2cos9，顯然BP 1面ANP，故BP 1 AP在 RtAABP 中，aP2 = AB2 - BP2