高考數(shù)學(xué)選填靜電題型匯編：題型39 圓的弦被內(nèi)（外）分成定比

1、題型39 圓的弦被內(nèi)（外）分成定比【方法點(diǎn)撥】1.利用垂徑定理通過二次解直角三角形求出弦長，進(jìn)而求出“弦心距”，最后利用“點(diǎn)線距”列方程；2.利用圓冪定理(相交弦定理、切割線定理、割線定理)求出弦長，然后同上.3. （1）相交弦定理：如下左圖，圓O的兩條弦AB、PC相交于圓內(nèi)一點(diǎn)P，則（2）如下右圖，PT為圓O的切線，PAB、PCD為割線，則：(1)（切割線定理）; (2) （割線定理).說明：上述三個(gè)定理可以統(tǒng)一為(其中是半徑)，統(tǒng)稱為圓冪定理.【典型題示例】例1 在平面直角坐標(biāo)系中，過點(diǎn)的直線與圓交于兩點(diǎn)，其中點(diǎn)在第一象限，且，則直線的方程為 【答案】yx1【分析】本題思路有下列幾種：利用

2、向量坐標(biāo)設(shè)點(diǎn)轉(zhuǎn)化，點(diǎn)參法；設(shè)直線方程的在x軸上的截距式，聯(lián)立方程組；垂徑定理后二次解三角形；相交弦定理；利用”爪”型結(jié)構(gòu),得,兩邊平方求得的余弦值.【解法一】：易知直線l的斜率必存在，設(shè)直線l的方程為yk(x1)由eq o(BM,sup14()2eq o(MA,sup14()，設(shè)BM2t，MAt.如圖，過原點(diǎn)O作OHl于點(diǎn)H，則BHeq f(3t,2).設(shè)OHd，在RtOBH中，d2eq blc(rc)(avs4alco1(f(3t,2)2r25.在RtOMH中，d2eq blc(rc)(avs4alco1(f(t,2)2OM21，解得d2eq f(1,2)，則d2eq f(k2,k21)eq

3、 f(1,2)，解得k1或k1.因?yàn)辄c(diǎn)A在第一象限， eq o(BM,sup14()2eq o(MA,sup14()，由圖知k1，所以所求的直線l的方程為yx1.【解法二】由，設(shè)BM2t，MAt 又過點(diǎn)M的直徑被M分成兩段長為、 由相交弦定理得，解之得 過原點(diǎn)O作OHl于點(diǎn)H，在RtOBH中，d2eq blc(rc)(avs4alco1(f(3t,2)2r25，解得d2eq f(1,2)，（下同解法一，略）.【解法三】設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則eq o(BM,sup14()(1x2，y2)，eq o(MA,sup14()(x11，y1)因?yàn)閑q o(BM,sup14()2eq o

4、(MA,sup14()，所以eq blcrc (avs4alco1(1x22x11，,y22y1.)當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí)，eq o(BM,sup14()eq o(MA,sup14()，不符合題意當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí)，設(shè)直線AB的方程為yk(x1)，聯(lián)立eq blcrc (avs4alco1(ykx1，,x2y25，)得(1k2)y22ky4k20，則eq blcrc (avs4alco1(y1y2f(2k,1k2)，,y1y2f(4k2,1k2)，,y22y1，)解得eq blcrc (avs4alco1(y1f(2k,1k2)，,y2f(4k,1k2)，)所以y1y2eq f(8k2,

5、1k22)eq f(4k2,1k2)，即k21.又點(diǎn)A在第一象限，所以k1，即直線AB的方程為yx1.【解法四】設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則eq o(BM,sup14()(1x2，y2)，eq o(MA,sup14()(x11，y1)因?yàn)閑q o(BM,sup14()2eq o(MA,sup14()，所以eq blcrc (avs4alco1(1x22x11，,y22y1，)即eq blcrc (avs4alco1(x22x13，,y22y1.) 又eq blcrc (avs4alco1(xoal(2,1)yoal(2,1)5，,xoal(2,2)yoal(2,2)5，)代入可得e

6、q blcrc (avs4alco1(xoal(2,1)yoal(2,1)5，,2x1324yoal(2,1)5，)解得x12，代入可得y11.又點(diǎn)A在第一象限，故A(2,1)，由點(diǎn)A和點(diǎn)M的坐標(biāo)可得直線AB的方程為yx1.點(diǎn)評(píng)：上述各種解法中，以解法一、解法二最簡、最優(yōu).例2 已知圓M：，過軸上的點(diǎn)存在一直線與圓M相交，交點(diǎn)為A、B，且滿足PA=BA，則點(diǎn)P的橫坐標(biāo)的取值范圍為 【答案】【解法一】取中點(diǎn)，連接、，設(shè)，則 ，相減得， ，即【解法二】由圓冪定理得：設(shè)，代人上式得：，即 【解法三】（利用圓中最長弦為直徑，得出PA范圍，而PA的兩個(gè)端點(diǎn)都在動(dòng)，以靜制動(dòng)，然后再將PA范圍轉(zhuǎn)化為PM范圍

7、問題）因?yàn)镻A=BA，所以PA的最大值為2，故PM的最大值為4（下略）.【鞏固訓(xùn)練】1. 在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)直線與圓交于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若圓上一點(diǎn)滿足，則 2.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)在圓C：內(nèi)，若存在過點(diǎn)P的直線交圓C于A、B兩點(diǎn)，且PBC的面積是PAC的面積的2倍，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為 3.在平面直角坐標(biāo)系中，圓若圓存在以為中點(diǎn)的弦，且，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 4.已知直線與圓相交于兩點(diǎn)，點(diǎn)在直線上且，則的取值范圍為 .【答案與提示】1.【答案】 【解法一】遇線性表示想求模，將向量問題實(shí)數(shù)化.，即，整理化簡得.過點(diǎn)作的垂線交于，則，得.又圓心到直線的距離，所以，.【解法二】注意到線性表示時(shí)的系數(shù)和為2，聯(lián)想“三點(diǎn)共線”.由，即得三點(diǎn)共線（其中是的中點(diǎn)），且，設(shè)，思路一：垂徑定理后二次解三角形，解之得.