關(guān)于教學(xué)設(shè)計(jì)的思考

1、關(guān)于教學(xué)設(shè)計(jì)的思考一、教學(xué)理念二、以問(wèn)題為中心三、定位與路徑四、問(wèn)題與問(wèn)題串五、課例分析一、教學(xué)理念數(shù)學(xué)觀、價(jià)值觀、學(xué)習(xí)觀、方法論數(shù)學(xué)觀：數(shù)學(xué)是數(shù)學(xué)文化背景下的思維活動(dòng)思維性，突出了數(shù)學(xué)的創(chuàng)造性本質(zhì)文化性，突出了數(shù)學(xué)活動(dòng)的繼承性多角度地（即從過(guò)程與結(jié)果、從歷史與現(xiàn)實(shí)、從微觀與宏觀等方面）、全面地認(rèn)識(shí)教學(xué)內(nèi)容，從而發(fā)現(xiàn)它的教學(xué)價(jià)值。價(jià)值觀：對(duì)數(shù)學(xué)教育價(jià)值的認(rèn)識(shí)知識(shí)的價(jià)值；思維的價(jià)值；文化的價(jià)值；應(yīng)用的價(jià)值；育人的價(jià)值。 學(xué)習(xí)觀：對(duì)學(xué)習(xí)的理解數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)：“意義賦予”和“文化繼承” 即文化意義上的再發(fā)現(xiàn)的過(guò)程。所謂意義賦予或意義建構(gòu)是指學(xué)生在學(xué)習(xí)知識(shí)時(shí)要通過(guò)自身的（思維）活動(dòng)，重新建構(gòu)知識(shí)的意義，這是

2、一個(gè)創(chuàng)造和發(fā)現(xiàn)的過(guò)程，這就突出了思維的作用；所謂文化繼承是指學(xué)生的建構(gòu)活動(dòng)并不是個(gè)體的獨(dú)立的活動(dòng)，而是在一定的文化背景下，即是在現(xiàn)代數(shù)學(xué)文化的觀念、思想、方法和思維模式（即數(shù)學(xué)傳統(tǒng)）的指導(dǎo)下進(jìn)行的“再發(fā)現(xiàn)”活動(dòng)，從而體現(xiàn)了文化的作用和學(xué)習(xí)的社會(huì)化性質(zhì)。行為規(guī)范：方法論1以問(wèn)題為中心有效地組織學(xué)生投入理性探索活動(dòng)；2以數(shù)學(xué)（家）的眼光看世界創(chuàng)造數(shù)學(xué)文化的氛圍。二、以問(wèn)題為中心的教學(xué)設(shè)計(jì)（目標(biāo)與過(guò)程）以問(wèn)題為中心的教學(xué)設(shè)計(jì)基本觀點(diǎn)：設(shè)計(jì)目標(biāo)：把教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)成以問(wèn)題為中心的教學(xué)過(guò)程。設(shè)計(jì)過(guò)程：把問(wèn)題設(shè)計(jì)看成是教學(xué)設(shè)計(jì)問(wèn)題的中心。以問(wèn)題為中心的含意：數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該圍繞著數(shù)學(xué)問(wèn)題進(jìn)行；數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程應(yīng)該組織

3、為提出問(wèn)題和解決問(wèn)題的過(guò)程； （方法論）應(yīng)該把有沒(méi)有問(wèn)題，有沒(méi)有激發(fā)出學(xué)生的思維活動(dòng)當(dāng)成評(píng)價(jià)教學(xué)活動(dòng)成功與否的一項(xiàng)標(biāo)準(zhǔn)。 （價(jià)值觀）教學(xué)過(guò)程案例：對(duì)數(shù)函數(shù)（1）1提出問(wèn)題問(wèn)題1 指數(shù)函數(shù)存在反函數(shù)嗎？特別地，函數(shù)y=2X 存在反函數(shù)嗎？ 問(wèn)題1-1 是不是任何一個(gè)函數(shù)都存在反函 數(shù)？具備什么樣的條件的函數(shù)才具有反函數(shù)？ 問(wèn)題1-2 如何通過(guò)函數(shù)的圖象來(lái)判斷一個(gè)函數(shù)是否具有反函數(shù)？ 回到問(wèn)題1：指數(shù)函數(shù)具有反函數(shù)嗎？2.解決問(wèn)題（意義建構(gòu)）問(wèn)題2 既然指數(shù)函數(shù)的反函數(shù)是存在的，你能說(shuō)出它的性質(zhì)嗎？（根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)逐一列出其反函數(shù)的性質(zhì)。如：定義域、值域、單調(diào)性、恒過(guò)點(diǎn)（1，0）等等）問(wèn)題3

4、指數(shù)函數(shù)的反函數(shù)是一個(gè)什么樣的函數(shù)？你能把它表示出來(lái)嗎？特別地，你能表示出函數(shù)y=2x的反函數(shù)嗎？ 問(wèn)題3-1 表示函數(shù)的方法有哪幾種？ 問(wèn)題3-2 怎樣用圖象法表示指數(shù)函數(shù)的反函數(shù)？ 問(wèn)題3-3 （反思）上述圖象是否表示了函數(shù)的“三要素”？ 問(wèn)題3-4 能用列表法表示這個(gè)函數(shù)嗎？ 問(wèn)題3-5 能用解析式表示這個(gè)函數(shù)嗎？問(wèn)題4 怎樣用解析法表示指數(shù)函數(shù)的反函數(shù)？（設(shè)f（x）=2X，其反函數(shù)可以抽象地表示為y=f-1（x）。但具體的表示尚有困難。）問(wèn)題4-1 解方程：2x=n（n0）。（1）當(dāng)n=4，1/4時(shí)，解出X；（2）討論n=3的情況。可以肯定，方程的解是存在的、確定的。利用圖象可以表示出

5、方程的解，也可以求出它的近似值。3研究成果（數(shù)學(xué)理論）給出對(duì)數(shù)符號(hào)和對(duì)數(shù)函數(shù)的定義，進(jìn)而用新引進(jìn)的“專(zhuān)用術(shù)語(yǔ)”重新表述指數(shù)函數(shù)反函數(shù)的性質(zhì)。 提出 問(wèn)題 解決問(wèn)題（意義建構(gòu)） 數(shù)學(xué)理論注意：?jiǎn)栴}串的設(shè)置方法數(shù)列的引人（問(wèn)題情境）1.doc設(shè)計(jì)理念的轉(zhuǎn)變從呈現(xiàn)到生成；從知識(shí)（主線）到（思維）活動(dòng)（主線）到問(wèn)題為主線從過(guò)細(xì)到框架從環(huán)節(jié)到整體以問(wèn)題為主線的教學(xué)設(shè)計(jì)教材定位 建構(gòu)路徑初始問(wèn)題解決問(wèn)題（問(wèn)題串）教學(xué)設(shè)計(jì)過(guò)程定位與路徑 （定位、路徑、案例）定位對(duì)教學(xué)的總體認(rèn)識(shí)對(duì)教學(xué)內(nèi)容（知識(shí)）的理解對(duì)教學(xué)（習(xí)）過(guò)程的理解對(duì)教學(xué)價(jià)值的理解本質(zhì)是對(duì)數(shù)學(xué)的理解用一句話來(lái)概括案例：歸納推理（概念、技能、能力、態(tài)度

6、）對(duì)“導(dǎo)數(shù)”的理解：不能簡(jiǎn)單地把導(dǎo)數(shù)看成是一個(gè)概念，一個(gè)定義，還要看到它是一個(gè)規(guī)則，一個(gè)過(guò)程、一種思想和一段歷史。瞬時(shí)變化率切線的斜率無(wú)限逼近的過(guò)程極限的思想以直代曲的思想一個(gè)對(duì)象向量的加法的定位定義、法則；活動(dòng)（思維）：建構(gòu)數(shù)學(xué)運(yùn)算模型的活動(dòng)；歷史（文化）：物理模型的數(shù)學(xué)化過(guò)程：數(shù)學(xué)化的過(guò)程思想：形數(shù)結(jié)合思想運(yùn)算的思想結(jié)構(gòu)化思想 模式化思想基本構(gòu)想，即按照建立數(shù)學(xué)模型的一般過(guò)程組織教學(xué)。數(shù)學(xué)模型的建構(gòu)歸納推理的定位概念技能能力態(tài)度把歸納看成是一種機(jī)會(huì)，“以便證明它或推翻它”，這就是我們對(duì)待歸納的態(tài)度，而歸納的價(jià)值就在于“在這兩種情況之中我們都會(huì)學(xué)到一些有用的東西?！?歐拉：純粹數(shù)學(xué)中的觀察事

7、例路徑課的總體構(gòu)想、框架、過(guò)程模式中心問(wèn)題、形式案例：對(duì)數(shù)函數(shù)向量的加法物理運(yùn)算數(shù)學(xué)運(yùn)算模式形式化；普通語(yǔ)言數(shù)學(xué)語(yǔ)言案例：函數(shù)的增減性、奇偶性、向量的概念、向量的加法（和）、三角函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、數(shù)列、概率、獨(dú)立事件、線面垂直等等命題：正弦定理、余弦定理、等比數(shù)列的求和公式，點(diǎn)到直線的距離公式；兩角差的余弦公式；方法：加法原理、乘法原理，數(shù)學(xué)歸納法、案例：對(duì)數(shù)函數(shù)定位1：對(duì)指數(shù)函數(shù)的反函數(shù)的研究路徑1：反函數(shù)指數(shù)函數(shù)反函數(shù)的存在性性質(zhì)表示對(duì)數(shù)函數(shù)。定位2：一種新的數(shù)學(xué)模型的建構(gòu)路徑2：應(yīng)用型問(wèn)題解決問(wèn)題對(duì)數(shù)函數(shù)的原型對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)應(yīng)用發(fā)現(xiàn)與指數(shù)函數(shù)的聯(lián)系案例：函數(shù)的增減性教材定位：數(shù)學(xué)模型的建構(gòu)和應(yīng)用

8、知識(shí)：刻畫(huà)變化趨勢(shì)的數(shù)學(xué)模型（定性）過(guò)程：普通語(yǔ)言到數(shù)學(xué)語(yǔ)言的轉(zhuǎn)換的過(guò)程-不斷形式化的過(guò)程。路徑：形式化圖象升降增減函數(shù)的定義 從普通幾何語(yǔ)言到精確的分析語(yǔ)言的轉(zhuǎn)換確定中心問(wèn)題： 什么叫做“隨著時(shí)間的增大氣溫逐步升高”？怎樣用數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)刻畫(huà)它？提供背景，設(shè)置初始問(wèn)題；說(shuō)出氣溫在哪些時(shí)間段內(nèi)是逐步升高的或逐步下 降的進(jìn)而形成問(wèn)題串f (t)， t0，2410O24681 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 / 0Ct /h2怎樣用數(shù)學(xué)語(yǔ)言刻畫(huà)上述時(shí)段內(nèi)“隨著時(shí)間的增大氣溫逐步升高”這一特征？案例：函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題1：說(shuō)出氣溫在哪些時(shí)間段內(nèi)是逐步升高的或逐步下 降的？主

9、問(wèn)題2：什么叫做“隨著時(shí)間的增大氣溫逐步升高”？怎樣用數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)刻畫(huà)它？問(wèn)題3：對(duì)于任意的t1，t24，16時(shí)，當(dāng)t1t2時(shí)，是否都有 f（ t1） f（ t2）呢？問(wèn)題4：類(lèi)比單調(diào)增函數(shù)的概念，你能給出單調(diào)減函數(shù)的概念嗎？問(wèn)題5（1）你能找出氣溫圖中的單調(diào)區(qū)間嗎？（2）你能說(shuō)出你學(xué)過(guò)的函數(shù)的單調(diào)區(qū)間嗎？問(wèn)題6 ：證明F（X）=1/X在區(qū)間（0，+）上是單調(diào)減函數(shù)（體會(huì)形式化的作用）案例：函數(shù)的奇偶性（1）1。問(wèn)題情境（1）觀察圖片（蝴蝶、對(duì)稱(chēng)的建筑、圖案等）；（2）觀察下列兩組函數(shù)圖象，從對(duì)稱(chēng)的角度你發(fā)現(xiàn)了什么？（圖象對(duì)稱(chēng)）2。學(xué)生活動(dòng)觀察函數(shù)值表，你看出了什么？3。意義建構(gòu) 探究：圖象關(guān)于

10、Y軸對(duì)稱(chēng)的函數(shù)滿足：對(duì)定 義域內(nèi)的任意一個(gè)X都有f (-x) = f (x). 反之也成立嗎？ 利用幾何畫(huà)版演示，學(xué)生觀察演示過(guò)程，突出X的任意性，產(chǎn)生建構(gòu)定義的傾向。4。數(shù)學(xué)理論 通過(guò)討論，得到定義。（下略）用操作代替思維，掩蓋了思維活動(dòng) 沒(méi)有問(wèn)題，也就沒(méi)有思維活動(dòng)1。問(wèn)題情境觀察下列兩組函數(shù)圖象，從對(duì)稱(chēng)的角度你發(fā)現(xiàn)了什么？（圖象對(duì)稱(chēng)）函數(shù) y = X4 + 1 的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)嗎？為什么？圖象的對(duì)稱(chēng)性在函數(shù)解析式上有什么體現(xiàn)？（主問(wèn)題）案例：函數(shù)的奇偶性（2）2。意義建構(gòu)什么叫做“圖象與Y軸對(duì)稱(chēng)”？（導(dǎo)向性問(wèn)題）怎樣用分析的語(yǔ)言來(lái)表示 “如果點(diǎn)P在圖象上，那么點(diǎn)P關(guān)于Y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)也在圖象

11、上”？ 怎樣表示點(diǎn)P（ X，Y）關(guān)于Y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)？（- X，Y） 怎樣表示“點(diǎn)P （X，Y）在圖象上”？ 怎樣表示“點(diǎn)P （X，Y）關(guān)于Y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)在圖象上”？解決問(wèn)題的問(wèn)題串案例：函數(shù)的奇偶性（2）怎樣用分析的語(yǔ)言來(lái)表示 “如果點(diǎn)P在圖象上，那么點(diǎn)P關(guān)于Y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)也在圖象上”？猜想：如果函數(shù) y = f ( x )的圖象關(guān)于Y軸對(duì)稱(chēng)，則對(duì)于定義域內(nèi)的任何x,總有f ( x )= f ( - x )，反之亦真。列表，電腦演示，驗(yàn)證猜想。（下略）由框架到具體的設(shè)計(jì)形式化圖象對(duì)稱(chēng)奇（偶）函數(shù)的定義 從普通幾何語(yǔ)言到精確的分析語(yǔ)言的轉(zhuǎn)換問(wèn)題與問(wèn)題串（初始問(wèn)題、問(wèn)題的呈現(xiàn)、問(wèn)題串、問(wèn)題串的結(jié)構(gòu)、案例

12、）初始問(wèn)題初始性（源頭、動(dòng)力）生成性（活動(dòng)的載體）結(jié)構(gòu)性（聯(lián)系、整體）合理性（邏輯、理性）應(yīng)用性初始問(wèn)題 產(chǎn)生于實(shí)際問(wèn)題中的初始問(wèn)題；結(jié)構(gòu)性初始問(wèn)題 從原有的知識(shí)結(jié)構(gòu)出發(fā)，通過(guò)邏輯的或?qū)徝赖乃伎?，提出的?wèn)題。應(yīng)用性初始問(wèn)題具有較好的情境性，而結(jié)構(gòu)性初始問(wèn)題有更的結(jié)構(gòu)性，更便于意義建構(gòu)的展開(kāi)。在實(shí)際的教學(xué)中，可以同時(shí)從應(yīng)用與拓廣知識(shí)結(jié)構(gòu)等方面提出相同的研究課題。在備課時(shí)，可以從知識(shí)的應(yīng)用中（如：書(shū)中的習(xí)題或例題）設(shè)計(jì)應(yīng)用性初始問(wèn)題；也可以從新舊知識(shí)的聯(lián)系中，針對(duì)知識(shí)的增長(zhǎng)點(diǎn)，設(shè)置結(jié)構(gòu)性初始問(wèn)題。對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)來(lái)說(shuō)，后者更重要！案例：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程問(wèn)題：扁了的圓是橢圓嗎？解決問(wèn)題的思路：比較扁圓與橢圓

13、的方程，進(jìn)而做出判斷。建立扁圓的方程；建立橢圓的方程；結(jié)論。實(shí)質(zhì)仍然是一個(gè)語(yǔ)言變換的過(guò)程！案例分析：誘導(dǎo)公式角的三角函數(shù)與-的三角函數(shù)有什么關(guān)系？的終邊、180+的終邊與單位圓的交點(diǎn)有什么關(guān)系？你能由此推出與180+的三角函數(shù)的關(guān)系嗎？我們可以通過(guò)查表得到銳角三角函數(shù)的值，如何求任意角的三角函數(shù)的值呢？能不能將任意角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為銳角三角函數(shù)？案例分析：誘導(dǎo)公式由三角函數(shù)的定義知道，終邊相同的角的三角函數(shù)值相等。除此以外，還有一些角的終邊具有某些特殊關(guān)系，那么它們的三角函數(shù)值能有什么樣的特殊關(guān)系呢？三角函數(shù)是以圓周運(yùn)動(dòng)為原型抽象出來(lái)的數(shù)學(xué)模型，圓的對(duì)稱(chēng)性在三角函數(shù)中，得到了什么樣的體現(xiàn)呢？初

14、始問(wèn)題的確定取決于對(duì)教材的定位，體現(xiàn)了教師對(duì)教學(xué)內(nèi)容的理解案例：兩角差的余弦（初始問(wèn)題與定位）1。求值2。周期運(yùn)動(dòng)的疊加初始問(wèn)題的確定取決于教學(xué)定位重視提出問(wèn)題的過(guò)程波利亞教師提出的問(wèn)題，應(yīng)該是“學(xué)生自己可能提出的問(wèn)題”！這應(yīng)該是對(duì)每一個(gè)教師的要求！提出問(wèn)題是理性的活動(dòng)！問(wèn)題應(yīng)該是是自然的，合理的！為什么要研究這個(gè)問(wèn)題？怎么想到提出這樣的問(wèn)題的？要重視提出問(wèn)題的過(guò)程！數(shù)列的引人（問(wèn)題情境）1.doc數(shù)列的引人（問(wèn)題情境）.doc問(wèn)題情境設(shè)計(jì)中的若干傾向情境的“泛生活化”；（圓、橢圓）以“滿堂問(wèn)”代替滿堂灌；繁雜的情境；（平均變化率”實(shí)驗(yàn)“）腦筋急轉(zhuǎn)彎式的問(wèn)題；（能一歩跨出3米嗎？）隨心所欲的問(wèn)

15、題；低認(rèn)知問(wèn)題；“精心設(shè)計(jì)”的問(wèn)題；（數(shù)列的引人）根源：教育觀念的偏差；對(duì)教學(xué)內(nèi)容理解的偏差；問(wèn)題情境就是指能觸發(fā)問(wèn)題，有利于問(wèn)題產(chǎn)生的環(huán)境，或者直接就是指問(wèn)題被解題者意識(shí)到的問(wèn)題。在教學(xué)中，問(wèn)題情境的設(shè)置是為了更好地提出問(wèn)題，創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境的目的是為了讓學(xué)生感受到問(wèn)題！進(jìn)而能從中自己提出數(shù)學(xué)問(wèn)題！ 需要什么樣的問(wèn)題？一個(gè)好的問(wèn)題應(yīng)該是一個(gè)高級(jí)組織者，它為緊隨其后的回應(yīng)提供一個(gè)框架。問(wèn)題應(yīng)該是用來(lái)激發(fā)學(xué)生進(jìn)行思考以及根據(jù)他所組織的材料進(jìn)行行動(dòng)的工具。有效問(wèn)題是那些學(xué)生能夠積極組織回答并因此而積極參與學(xué)習(xí)過(guò)程的問(wèn)題。對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)的啟示1重視提出問(wèn)題的思維環(huán)節(jié)，注意介紹問(wèn)題的背景。讓學(xué)生從中感受到數(shù)學(xué)

16、的理性探索精神。2重視問(wèn)題的概略性解決的思維環(huán)節(jié)（即大思路），以突出數(shù)學(xué)觀念在解決問(wèn)題中的作用。淡化問(wèn)題特殊性解決的環(huán)節(jié)，淡化特殊的技巧，避開(kāi)對(duì)解題細(xì)節(jié)的糾纏，降低教學(xué)的難度。案例：點(diǎn)到直線的距離（教學(xué)實(shí)錄）1已知直線L經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（2，1）和S（-1，5），則直線L的方程是 ；2過(guò)點(diǎn)P（2，5）作直線L1L，則L1的方程是 ；3。直線L和直線L1的交點(diǎn)是_ ； 4點(diǎn)P(2,5)到直線 L的距離 d=_.啟發(fā)學(xué)生發(fā)現(xiàn)“推導(dǎo)公式的一般思路”。缺少大的課題性問(wèn)題！限制了學(xué)生的思維活動(dòng)。調(diào)換一下問(wèn)題編排的次序：?jiǎn)栴} 已知：點(diǎn)P (X0 , Y0) 和直線L： AX+BY+C=0，求點(diǎn)P到直線L 的距離.

17、特別地，怎樣求點(diǎn)P(2,5)到直線 L：3X4Y + 14 = 0的距離.什么叫做點(diǎn)到直線的距離？求點(diǎn)到直線距離的關(guān)鍵是什么？?jī)煞N方案哪一種更合理？更自然？案例：二項(xiàng)式定理1。引入今天星期一。那么從明天起第50天是星期幾？2。復(fù)習(xí)提問(wèn)（1）組合數(shù)的兩個(gè)性質(zhì)；（2）（A+B）2 = ? （A+B）3 = ?3。探索發(fā)現(xiàn)（1）實(shí)驗(yàn)；動(dòng)畫(huà)演示師：分別取紅綠卡片各兩張，上面分別寫(xiě)著實(shí)數(shù)A和B，分別取紅、綠卡片各一張，用它們上面的實(shí)數(shù)作乘法運(yùn)算，可得到幾個(gè)乘積？幾個(gè)不同的乘積？都是那些？生：師：分別取紅綠黃卡片各兩張，兩張紅（綠、黃）卡片上分別寫(xiě)著實(shí)數(shù)A和B，分別取紅、綠、黃卡片一張，用它們上面的實(shí)數(shù)作

18、乘法運(yùn)算，可得到幾個(gè)乘積？幾個(gè)不同的乘積？都是那些？生：師： （A+B）2或（A+B）3的展開(kāi)式有幾項(xiàng)？（A+B）2或（A+B）3的展開(kāi)式不同的項(xiàng)有幾項(xiàng)？此刻，你想到了什么？ 組合數(shù)項(xiàng) 是什么？ 同學(xué)們，你們是否意識(shí)到，在大家的共同努力下，我們已經(jīng)獲得了一個(gè)非常了不起的發(fā)現(xiàn)！這就是二項(xiàng)式定理。 怎樣呈現(xiàn)問(wèn)題？問(wèn)題應(yīng)該是清晰的，是學(xué)生能夠接受的！要提供問(wèn)題的背景，讓學(xué)生知道研究這個(gè)問(wèn)題的目的；要展示提出問(wèn)題的過(guò)程，讓學(xué)生知道是怎么想到要研究這個(gè)問(wèn)題的！問(wèn)題要有足夠大的容量，為學(xué)生提供思維空間。（因此經(jīng)常用問(wèn)題串來(lái)呈現(xiàn)問(wèn)題）案例：向量的加法。對(duì)數(shù)函數(shù)中的問(wèn)題問(wèn)題1：什么叫做反函數(shù)？什么樣的函數(shù)具有

19、反函數(shù)？問(wèn)題2：什么叫做指數(shù)函數(shù)？指數(shù)函數(shù)具有什么樣的性質(zhì)？我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了指數(shù)函數(shù)，也學(xué)習(xí)過(guò)反函數(shù)，今天我們就要研究指數(shù)函數(shù)的反函數(shù)。為此，首先就要問(wèn)：指數(shù)函數(shù)是否存在反函數(shù)呢？這就要求弄清問(wèn)題1 什么樣的函數(shù)才具有反函數(shù)？問(wèn)題2 指數(shù)函數(shù)是否滿足具有反函數(shù)的性質(zhì)？問(wèn)題串問(wèn)題串是由一連串具有邏輯聯(lián)系的問(wèn)題構(gòu)成的問(wèn)題系列。問(wèn)題串可以看成是數(shù)學(xué)思維過(guò)程的“路標(biāo)”，是濃縮了數(shù)學(xué)思維過(guò)程。在教學(xué)設(shè)計(jì)中，教師可以通過(guò)問(wèn)題串設(shè)計(jì)規(guī)劃教學(xué)的進(jìn)程，在課堂教學(xué)中，則可以靈活地用問(wèn)題串對(duì)學(xué)生的思維活動(dòng)進(jìn)行調(diào)控。因此問(wèn)題串的設(shè)計(jì)就成為教學(xué)設(shè)計(jì)的關(guān)鍵。數(shù)列的引人（問(wèn)題情境）1.doc對(duì)問(wèn)題串的要求邏輯性；（問(wèn)題自然、

20、合理、邏輯聯(lián)系清晰，是學(xué)生能夠接受的或自己能夠提出的問(wèn)題）層次性：一般性解決-功能性解決-具體解決啟發(fā)性：揭示本質(zhì)，針對(duì)要害包容性：照顧到不同層次的學(xué)生問(wèn)題串是課堂教學(xué)的一種新的組織形式。 知識(shí)生成的邏輯鏈學(xué)生的思維鏈教學(xué)活動(dòng)鏈知識(shí)的邏輯結(jié)構(gòu)學(xué)生的思維活動(dòng)問(wèn)題串教學(xué)過(guò)程案例：向量的加法（提出問(wèn)題的問(wèn)題串）問(wèn)題1：游船先從景點(diǎn)O到景點(diǎn)A，然后再?gòu)木包c(diǎn)A到景點(diǎn)B，這里的位移OA、AB、OB之間有什么關(guān)系呢？（具體問(wèn)題）問(wèn)題2：兩根拉索對(duì)塔柱的拉力分別為F1、F2，它們的合力是F，那么F1、F2和F之間有什么關(guān)系呢？（具體問(wèn)題）先行組織者：上節(jié)課中，我們?cè)杂邢蚓€段、位移、力等幾何、物理對(duì)象為原型，

21、抽象出向量這個(gè)數(shù)學(xué)模型。研究一個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象，就要研究它的運(yùn)算（提出中心問(wèn)題）你能以位移合成、力的合成等物理運(yùn)算為原型抽象出新的數(shù)學(xué)運(yùn)算嗎？（課題性問(wèn)題）問(wèn)題1（導(dǎo)向性問(wèn)題）問(wèn)題2 （導(dǎo)向性問(wèn)題）提供背景，提出問(wèn)題的根據(jù)“ + ”是什么意思？ （反思性問(wèn)題）“和”是什么意思？ （反思性問(wèn)題）“合位移”是什么意思 （反思性問(wèn)題） OB的長(zhǎng)度等于OA與AB長(zhǎng)度的和嗎？ 這說(shuō)明了什么？使思考深入下去！問(wèn)題3：上述兩個(gè)問(wèn)題（包括解決問(wèn)題的過(guò)程）有何共同點(diǎn)？ （導(dǎo)向性問(wèn)題）問(wèn)題4；你們是怎樣求和（即合位移與合力）的？?jī)煞N方法有何關(guān)系？（導(dǎo)向性問(wèn)題）問(wèn)題5 ：對(duì)于給定的兩個(gè)向量，如何確定它們的和呢？ （導(dǎo)向性

22、問(wèn)題）問(wèn)題6：你們能概括出向量和的定義嗎？ 三、數(shù)學(xué)模型的研究(1)給出先行組織者：研究一種運(yùn)算總要研究它的性質(zhì)，因?yàn)橹挥姓莆樟诉\(yùn)算性質(zhì)，才能合理、簡(jiǎn)捷地進(jìn)行運(yùn)算問(wèn)題10 向量的加法具有哪些運(yùn)算性質(zhì)？為了解決這個(gè)問(wèn)題，我們可以把向量的加法和數(shù)的加法進(jìn)行類(lèi)比：數(shù)的加法具有哪些性質(zhì)？向量加法具有相應(yīng)性質(zhì)嗎？若有，具體形式是什么？從而提供了研究框架：實(shí)數(shù)的加法向量的加法性貭提出問(wèn)題的問(wèn)題串（結(jié)構(gòu)）先行組織者（大背景）課題性問(wèn)題（總問(wèn)題）導(dǎo)向性問(wèn)題具體問(wèn)題（操作性問(wèn)題）或者通過(guò)反思性問(wèn)題上溯主問(wèn)題：什么叫做“隨著時(shí)間的增大氣溫逐步升高”？怎樣用數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)刻畫(huà)它？為什么要用數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)刻畫(huà)它？你是怎樣想到

23、這個(gè)問(wèn)題的？讓學(xué)生產(chǎn)生形式化的要求！問(wèn)題1：說(shuō)出氣溫在哪些時(shí)間段內(nèi)是逐步升高的或逐步下降的？（背景）問(wèn)題串分析問(wèn)題1：說(shuō)出氣溫在哪些時(shí)間段內(nèi)是逐步升高的或逐步下降的？（背景）問(wèn)題2：什么叫做“隨著時(shí)間的增大氣溫逐步升高”？怎樣用數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)刻畫(huà)它？（主問(wèn)題）問(wèn)題2-1：怎樣刻畫(huà)“時(shí)間增大”？問(wèn)題2-2：怎樣刻畫(huà)“氣溫逐步升高”？問(wèn)題2-3：什么叫做“隨著”？問(wèn)題2-4：怎樣刻畫(huà)“時(shí)間段內(nèi)”？解決問(wèn)題的問(wèn)題串。問(wèn)題2-12-4實(shí)質(zhì)上提供了一個(gè)概略性解決方案解決問(wèn)題的過(guò)程分析 一般性解決（課題性問(wèn)題） 功能性解決（導(dǎo)向性問(wèn)題）特殊性解決（操作性問(wèn)題）圖象的對(duì)稱(chēng)性在函數(shù)解析式上有什么體現(xiàn)？（主問(wèn)題）

24、什么叫做“圖象與Y軸對(duì)稱(chēng)”？怎樣用分析的語(yǔ)言來(lái)表示 “如果點(diǎn)P在圖象上，那么點(diǎn)P關(guān)于Y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)也在圖象上”？ 怎樣表示點(diǎn)P（ X，Y）關(guān)于Y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)？（- X，Y） 怎樣表示“點(diǎn)P （X，Y）在圖象上”？ 怎樣表示“點(diǎn)P （X，Y）關(guān)于Y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)在圖象上”？問(wèn)題串分析解決問(wèn)題的問(wèn)題串，幫助學(xué)生問(wèn)題串分析問(wèn)題：扁了的圓是橢圓嗎？解決問(wèn)題的思路：比較扁圓與橢圓的方程，進(jìn)而做出判斷。建立扁圓的方程；建立橢圓的方程；結(jié)論。怎么想到這個(gè)問(wèn)題的呢？先行組織者案例：等比數(shù)列前N項(xiàng)的和用歷史典故棋盤(pán)上的麥粒創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，然后提出問(wèn)題問(wèn)題1：棋盤(pán)上的麥粒數(shù)與數(shù)列有什么關(guān)系？能將麥粒數(shù)寫(xiě)成和式表示出來(lái)嗎?

25、（課題性問(wèn)題）問(wèn)題2：這是一個(gè)等比數(shù)列的求和問(wèn)題，你能計(jì)算出其結(jié)果(麥?？倲?shù))嗎?（問(wèn)題的具體化）問(wèn)題3：數(shù)列求和的本質(zhì)(根本意義)是什么?你能把式子S。12消項(xiàng)化簡(jiǎn)嗎? （問(wèn)題的具體化） 問(wèn)題4：回顧剛才的問(wèn)題，請(qǐng)同學(xué)們思考；若將問(wèn)題改為“在棋盤(pán)上第一格賞兩粒麥子，第二格四粒麥子，第三格八粒麥子以此類(lèi)推，每一格上的麥粒數(shù)都是前一格的兩倍”，這棋盤(pán)上的麥粒又是多少?如何評(píng)價(jià)問(wèn)題4？巧妙？失誤？問(wèn)題4自然嗎？和前面的問(wèn)題存在邏輯聯(lián)系嗎？問(wèn)題5：我們?yōu)槭裁匆獙?duì)第一個(gè)問(wèn)題中麥粒數(shù)加倍?這個(gè)“加倍”在這個(gè)等比數(shù)列中扮演著怎樣的角色?（反思性問(wèn)題）問(wèn)題(6)：你能推導(dǎo)出一般的等比數(shù)列前項(xiàng)和公式嗎?數(shù)學(xué)教

26、學(xué)案例分析（2011。7）講稿.doc反思：暴露思維過(guò)程問(wèn)題串不能掩蓋思維過(guò)程！案例怎樣建立刻畫(huà)上述問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型?這些問(wèn)題有什么共同的特點(diǎn)?從數(shù)學(xué)的角度看,什么叫做”按一定次序排列”的數(shù)?數(shù)列 3,2,5,1和數(shù)列2,3,5,1是同一個(gè)數(shù)列嗎?數(shù)列能不能看成一個(gè)數(shù)的集合?數(shù)列既然是特殊的函數(shù)它有哪些表示方法?怎樣用圖象表示數(shù)列?怎樣用解析式表示數(shù)列?實(shí)質(zhì):不斷地進(jìn)行形式化數(shù)列（洞察本質(zhì)）案例：直線與平面垂直問(wèn)題1 現(xiàn)在要在操場(chǎng)上豎起一根旗桿，一般的，對(duì)旗桿的位置有什么樣的要求？圖 中的L符合要求嗎？ 學(xué)生可能回答，旗桿L應(yīng)該與地面垂直。教師追問(wèn)：這里的垂直是什么意思呢？什么叫做直線和平面垂直

27、？讓學(xué)生從直觀上來(lái)回答問(wèn)題。如果學(xué)生提出課本中線面垂直的定義，教師應(yīng)追問(wèn)：為什么要這樣定義？總之，要讓學(xué)生從生活經(jīng)驗(yàn)中，找到線面垂直的外部特征。線面垂直的教學(xué).doc問(wèn)題2 那么什么叫“正對(duì)著”呢？正對(duì)著的具體含意是什么？是什么因素促使我們將“正對(duì)著”和垂直聯(lián)系在一起的呢？是不是生活中的經(jīng)驗(yàn)?zāi)?？那么，這是什么樣的經(jīng)驗(yàn)?zāi)?？過(guò)去，我們?cè)谑裁吹胤脚龅竭^(guò)垂直的概念？2分析問(wèn)題在平面幾何中，我們是怎樣定義直線間的垂直關(guān)系的？在這個(gè)定義中是不是使我們產(chǎn)生了垂直與“正對(duì)著”的聯(lián)系？（分析直線與直線的垂直關(guān)系，當(dāng)Lm時(shí)，L與m相交所成的角都相等。這時(shí)，L關(guān)于直線m成軸對(duì)稱(chēng)；而m也關(guān)于直線L成軸對(duì)稱(chēng)。這正是使我

28、們把垂直與“正對(duì)著”聯(lián)系在一起的原因。 L平面于O L正著平面 L關(guān)于平面成軸對(duì)稱(chēng) L和平面中所有的直線所成的角都相等（90）進(jìn)而，給出線面垂直的定義。（略）3線面垂直的判定定理一連串的問(wèn)題挖出了隱藏在直覺(jué)后面的觀念！五、課例分析三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式任意角三角函數(shù)數(shù)系的擴(kuò)充余弦定理洞察本質(zhì)個(gè)案分析：三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式個(gè)案分析：三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式重點(diǎn)關(guān)注的問(wèn)題：初始問(wèn)題的設(shè)置公式的導(dǎo)出與證明教學(xué)設(shè)計(jì)1教學(xué)設(shè)計(jì)2教學(xué)設(shè)計(jì)3評(píng)述數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)要點(diǎn)（2010。7）講稿（徐州）.doc定位與路徑用三角函數(shù)的語(yǔ)言表述圓的對(duì)稱(chēng)性。誘導(dǎo)公式中的初始問(wèn)題1。求特定角的三角函數(shù)值發(fā)現(xiàn)規(guī)律（公式）證明公式應(yīng)用（求值）2

29、。你能說(shuō)出 X/R、-Y/R、或-Y/X 的幾何意義嗎？（從數(shù)到形）2-1。對(duì)給定的角，還有哪些角的函數(shù)值和它相等？互為相反數(shù)？ 3。當(dāng)角的終邊繞著原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)時(shí)，三角函數(shù)值是否會(huì)周而復(fù)始地出現(xiàn)？（周期性、從形到數(shù)）4。從圓的對(duì)稱(chēng)性入手（更好的設(shè)計(jì)）揭示本質(zhì)讓學(xué)生明白問(wèn)題是怎樣提出來(lái)的？多種設(shè)置，介紹提出問(wèn)題的方法?。ㄐ〗Y(jié)）如何評(píng)價(jià)初始問(wèn)題初始性、生成性、結(jié)構(gòu)性、合理性自然、簡(jiǎn)單、深刻、（言簡(jiǎn)意賅）有趣、富有想象力、出乎意料。能凸顯知識(shí)的本質(zhì)有歷史背景誘導(dǎo)公式的本質(zhì)背景：誘導(dǎo)公式是在對(duì)三角函數(shù)周期性研究中提出來(lái)的；實(shí)質(zhì)；“誘導(dǎo)公式所揭示的是終邊有某種對(duì)稱(chēng)關(guān)系的兩個(gè)角三角函數(shù)之間的關(guān)系。換句話說(shuō)，誘

30、導(dǎo)公式實(shí)質(zhì)是將終邊對(duì)稱(chēng)的圖形關(guān)系”翻譯“成三角函數(shù)之間的代數(shù)關(guān)系”。用三角的語(yǔ)言表述的“圓的對(duì)稱(chēng)性”。問(wèn)題串：誘導(dǎo)公式教學(xué)設(shè)計(jì)1（原稿）問(wèn)題1：求390的正弦、余弦值。你是怎樣求出來(lái)的？（公式一）問(wèn)題2；如何求sin150的值？問(wèn)題2-1：你能把把上述結(jié)論一般化嗎？為什么？（公式二）問(wèn)題3：若兩個(gè)角的終邊關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，它們?nèi)呛瘮?shù)之間有什么關(guān)系？（公式三）問(wèn)題4：若兩個(gè)角的終邊關(guān)于Y軸對(duì)稱(chēng)，它們?nèi)呛瘮?shù)之間有什么關(guān)系？（公式四）問(wèn)題4：你能否用簡(jiǎn)捷的語(yǔ)言概括這幾組公式嗎？例題1：求下列三角函數(shù)的值（略）問(wèn)題5：由例題1，你對(duì)這幾組公式的作用有什么認(rèn)識(shí)？問(wèn)題6：你能歸納一下把任意角三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為

31、銳角三角函數(shù)的步驟嗎？問(wèn)題7：學(xué)完這節(jié)課，誘導(dǎo)公式知多少？有什么值得改進(jìn)之處？問(wèn)題串：誘導(dǎo)公式教學(xué)設(shè)計(jì)1（定稿）問(wèn)題1：如何求390角的正弦、余弦值？問(wèn)題2：和30角終邊相同的角的同名三函數(shù)值都相等嗎? 問(wèn)題3：兩個(gè)角終邊相同，它們的同名三函數(shù)值一定相等嗎？問(wèn)題4：你能找出和30角正弦值相等，但終邊不同的角嗎？問(wèn)題串：誘導(dǎo)公式教學(xué)設(shè)計(jì)1（定稿）問(wèn)題5：兩個(gè)角的同名三角函數(shù)值相等，它們的終邊一定相同嗎?問(wèn)題6：兩個(gè)角的終邊關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，你什么結(jié)論?兩個(gè)角的終邊關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)呢?關(guān)注問(wèn)題串的邏輯聯(lián)系！知識(shí)再發(fā)現(xiàn)過(guò)程和理性思維過(guò)程的統(tǒng)一明線：探索公式1-4的知識(shí)線暗線：研究問(wèn)題的思想方法線問(wèn)題串：誘導(dǎo)

32、公式教學(xué)設(shè)計(jì)（2）1。先行組織者：三角函數(shù)是以圓周運(yùn)動(dòng)為原型，為了刻畫(huà)周期性運(yùn)動(dòng)而建立的數(shù)學(xué)模型。現(xiàn)在要問(wèn)的是：這樣建立起來(lái)的數(shù)學(xué)模型是不是真的能刻畫(huà)“周而復(fù)始”的變化？具體地，周而復(fù)始的變化即周期性是怎樣體現(xiàn)在三角函數(shù)的概念之中的？ 問(wèn)題背景問(wèn)題1：在上述變化過(guò)程中，有哪些東西會(huì)周而復(fù)始的重復(fù)出現(xiàn)？問(wèn)題1-1：角的終邊的位置會(huì)重復(fù)出現(xiàn)嗎？三角函數(shù)值會(huì)重復(fù)出現(xiàn)嗎？問(wèn)題1-2：什么時(shí)候“角的終邊位置”會(huì)重復(fù)出現(xiàn)？什么時(shí)候三角函數(shù)值會(huì)重復(fù)出現(xiàn)？（公式一）問(wèn)題1-3 ：角與角+2K（KZ）的三角函數(shù)為什么相等呢？提出問(wèn)題：從抽象到具體：“遠(yuǎn)景近景聚焦”師：我們應(yīng)該回到定義去！什么叫三角函數(shù)？三角函數(shù)

33、是怎樣定義的？（這一個(gè)問(wèn)題至關(guān)重要）問(wèn)題1-4：這組公式說(shuō)明了什么問(wèn)題呢？問(wèn)題1-5：我們是怎樣解決問(wèn)題1的？解決問(wèn)題：具體解決概略性解決（上溯型）（2）解決問(wèn)題師：根據(jù)三角函數(shù)的定義，三角函數(shù)值是由角的終邊上一點(diǎn)的坐標(biāo)確定的，因此，為了弄清、的三角函數(shù)間的關(guān)系，就需要弄清：角A與角的終邊具有什么樣的位置關(guān)系？相應(yīng)地，角與角的終邊上點(diǎn)的坐標(biāo)具有什么關(guān)系？（進(jìn)而有）角與角的三角函數(shù)值有什么關(guān)系？不同的提出問(wèn)題的方法（分開(kāi)或集中），對(duì)效果有無(wú)影響？（下面是又一個(gè)例子）問(wèn)題2 若角終邊繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)半周，（如圖，為了敘述方便，把旋轉(zhuǎn)前后的角分別稱(chēng)為、）它的三角函數(shù)值是否也會(huì)重復(fù)出現(xiàn)呢？ （先行組織

34、者）與的三角函數(shù)值之間是否存在著一定的關(guān)系呢？具體地，是什么樣的關(guān)系？為什么？ （主問(wèn)題）注意兩個(gè)問(wèn)題間的邏輯關(guān)系！第一個(gè)問(wèn)題是先行組織者?。◣煟┯霉?可以把第二象限角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為第一象限角的三角函數(shù)，這是我們研究了關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)角的三角函數(shù)得到的。那么接下來(lái)，大家能想到我們還要研究什么嗎? （先行組織者）（生）下面研究關(guān)于，X軸對(duì)稱(chēng)、原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的兩角的三角函數(shù)。進(jìn)而提出問(wèn)題6：兩個(gè)角的終邊關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，你有什么結(jié)論?兩個(gè)角的終邊關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)呢？（主問(wèn)題）問(wèn)題2：我們知道-、與關(guān)于X、Y、原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，我們以它們作為與具有對(duì)稱(chēng)關(guān)系的角的特例，來(lái)研究它們的三角函數(shù)之間具有什么樣的關(guān)系？（1）

35、請(qǐng)結(jié)合終邊的位置（放在第一象限）分別作出-、終邊的位置；（2）請(qǐng)?jiān)诮K邊上直接找出可以用角的三角函數(shù)表示的點(diǎn)的坐標(biāo)；（點(diǎn)評(píng)）（3）利用它們之間的點(diǎn)的關(guān)系得出它們坐標(biāo)之間的關(guān)系。（點(diǎn)評(píng)）解決問(wèn)題的總體計(jì)劃是什么？操作的目的是什么？怎么想到要這樣做的？（2）證明公式（三） 和的終邊關(guān)系如何？ 設(shè)、-的終邊分別交單位圓于點(diǎn)M、N，則點(diǎn)M、N的位置關(guān)系如何？ 設(shè)點(diǎn)M（X，Y），則點(diǎn)N如何表示？應(yīng)該先給出整體的證明計(jì)劃（概略性解決）可以利用框圖思維與歷史的契合個(gè)案分析：任意角三角函數(shù)的定義數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程是“意義賦予”和“文化繼承”的過(guò)程，即文化意義上的再發(fā)現(xiàn)的過(guò)程。具體地說(shuō)，這個(gè)過(guò)程就是以現(xiàn)代數(shù)學(xué)文化的眼光

36、,在數(shù)學(xué)觀念、思想、方法和思維模式的指導(dǎo)下,去完成當(dāng)年數(shù)學(xué)家的創(chuàng)造和發(fā)現(xiàn),去獲取當(dāng)年數(shù)學(xué)家所獲取過(guò)的數(shù)學(xué)思維成果的過(guò)程。個(gè)案分析：任意角三角函數(shù)的定義教學(xué)設(shè)計(jì)1（講稿）教學(xué)設(shè)計(jì)2教學(xué)設(shè)計(jì)3教學(xué)設(shè)計(jì)4教學(xué)設(shè)計(jì)5教學(xué)設(shè)計(jì)6述評(píng)數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)要點(diǎn)（2010。7）講稿（徐州）.doc基本思路：推廣與構(gòu)建銳角三角函數(shù)任意角三角函數(shù)推廣周期性現(xiàn)象任意角三角函數(shù)（數(shù)學(xué)模型）建構(gòu)1。課失敗的原因是什么？2。學(xué)生不具有必要的“認(rèn)知基礎(chǔ)”嗎？建構(gòu)任意角三角函數(shù)概念的認(rèn)知基礎(chǔ)是什么？3。三角函數(shù)概念的本質(zhì)是什么？4。銳角三角函數(shù)是學(xué)習(xí)任意角三角函數(shù)的必要基礎(chǔ)嗎？任意角三角函數(shù)概念的出現(xiàn)是角的概念擴(kuò)充的必然結(jié)果（這當(dāng)然

37、是正確的，但是我們?yōu)槭裁匆巳我饨悄?？其中一?xiàng)最重要的原因正在于研究周期性現(xiàn)象的需要?。┍容^銳角三角函數(shù)與任意角三角函數(shù)這兩個(gè)概念，共同點(diǎn)是，它們都是“比值”，不同點(diǎn)是銳角三角函數(shù)是“線段長(zhǎng)度的比值”，而任意角三角函數(shù)是直角坐標(biāo)系中“坐標(biāo)與長(zhǎng)度的比值，或者是坐標(biāo)的比值” 忽略了銳角三角函數(shù)與任意角三角函數(shù)的本質(zhì)差異：前者是直角三角形中的邊角關(guān)系，后者是圓周運(yùn)動(dòng)的數(shù)學(xué)模型因此，學(xué)習(xí)任意角三角函數(shù)可以與銳角三角函數(shù)相類(lèi)比，借助銳角三角函數(shù)的概念建立起任意角三角函數(shù)的概念（這種比較是在建立了任意角三角函數(shù)的概念后進(jìn)行的，因此是結(jié)果的比較，而不是過(guò)程的比較，即兩個(gè)概念生成過(guò)程的比較，既然你選擇了發(fā)現(xiàn)

38、式學(xué)習(xí)形式，后者才是更重要的）要實(shí)現(xiàn)讓學(xué)生“理解”任意角三角函數(shù)定義的教學(xué)目標(biāo)，莫過(guò)于讓學(xué)生參與任意角三角函數(shù)定義的過(guò)程可是這應(yīng)該是一個(gè)“再發(fā)現(xiàn)的過(guò)程” ？讓學(xué)生感受到因角的概念的擴(kuò)展，銳角三角函數(shù)概念擴(kuò)展的必要性，任意角三角函數(shù)是銳角三角函數(shù)概念的自然延伸反過(guò)來(lái)，既然銳角集合是任意角集合的子集，那么，銳角三角函數(shù)也應(yīng)該是任意角三角函數(shù)的特殊情況，是一個(gè)包含關(guān)系 這種認(rèn)識(shí)仍然是對(duì)概念的靜態(tài)的分析學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)銳角三角函數(shù) ，是任意角三角函數(shù)概念的“生長(zhǎng)點(diǎn)”對(duì)銳角三角函數(shù)理解得怎樣，對(duì)理解任意角三角函數(shù)有決定意義，復(fù)習(xí)銳角三角函數(shù)，加深對(duì)銳角三角函數(shù)的理解是必要的這樣說(shuō)的根據(jù)是什么？失敗原因的分

39、析初始問(wèn)題不恰當(dāng)，沒(méi)有對(duì)學(xué)生構(gòu)成有效的問(wèn)題情境：學(xué)生掌握的停息太少，無(wú)法展開(kāi)有意義的思維活動(dòng)；對(duì)概念（任意角三角函數(shù)）的認(rèn)識(shí)和理解存在認(rèn)識(shí)誤區(qū)；立足于靜態(tài)的、對(duì)形式化后的結(jié)果的分析，缺少動(dòng)態(tài)的對(duì)生成過(guò)程的分析立足于教師（過(guò)來(lái)人）的分析，缺少站在學(xué)生立場(chǎng)（局中人）的分析。路徑選擇值得改進(jìn)最根本的問(wèn)題是教師沒(méi)有充分地注意到任意角三角函數(shù)的本質(zhì)，即它是刻畫(huà)周期性現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型。體現(xiàn)在教學(xué)設(shè)計(jì)中就是初始問(wèn)題設(shè)計(jì)不妥當(dāng)！案例分析：任意角的三角函數(shù)一、情境創(chuàng)設(shè) 啟發(fā)探討：為了回答上述問(wèn)題，需要將點(diǎn)P表示出來(lái)。思考：有序數(shù)對(duì)（r , ）可以表示點(diǎn)P，有序數(shù)對(duì)（x , y）也可以表示點(diǎn)P，那么，x , y 之

40、間有什么關(guān)系呢？二、學(xué)生活動(dòng)：知識(shí)回顧：初中時(shí)，我們是怎樣利用直角三角形定義了銳角三角函數(shù)的呢？在此基礎(chǔ)上將銳角三角函數(shù)拓展到第一象限的三角函數(shù)。分組討論：如何定義各個(gè)象限角的三角函數(shù)？給出任意角的三角函數(shù)的定義。問(wèn)題與問(wèn)題間有什么聯(lián)系？為什么不讓學(xué)生去解決問(wèn)題呢？不敢放手讓學(xué)生活動(dòng)！還是教師沒(méi)有理解教材？?jī)蓚€(gè)初始問(wèn)題1。怎樣把銳角三角函數(shù)推廣為任意角三角函數(shù)？2。怎樣構(gòu)建周期性變化的數(shù)學(xué)模型？ 思考起點(diǎn)：銳角三角函數(shù)圓周運(yùn)動(dòng)； 思考方向：不明確明確 聯(lián)系：語(yǔ)意性的實(shí)質(zhì)性的 類(lèi)型：結(jié)構(gòu)性應(yīng)用性 學(xué)習(xí)方式：接受性學(xué)習(xí)（概念同化）發(fā)現(xiàn)性學(xué)習(xí)（概念生成） 生成性：不好良好 歷史性：“銳角三角函數(shù)是研

41、究三角形各種幾何量之間關(guān)系而發(fā)展起來(lái)的，任意角三角函數(shù)是研究現(xiàn)實(shí)中周期現(xiàn)象而發(fā)展起來(lái)的。它們研究的對(duì)象不同，表現(xiàn)的性質(zhì)也不同，我們既不能把任意角的三角函數(shù)看成是銳角三角函數(shù)的推廣（或一般化），又不能把銳角三角函數(shù)看成是任意角三角函數(shù)在銳角三角函數(shù)在銳角范圍內(nèi)的限定” 歷史的足跡天文觀測(cè)與計(jì)算-球面三角學(xué)（三角術(shù)即銳角三角函數(shù)）（古希臘亞歷山時(shí)期）（靜態(tài)）周期性現(xiàn)象的研究-三角函數(shù)（18世紀(jì)、歐拉）（運(yùn)動(dòng)）高中數(shù)學(xué)課程應(yīng)該返璞歸真，努力揭示數(shù)學(xué)概念、法則、結(jié)論的發(fā)過(guò)程和本質(zhì)。數(shù)學(xué)課程要講邏輯推理，更要講道理，通過(guò)典型例子的分析和學(xué)生自主探索活動(dòng)，使學(xué)生理解數(shù)學(xué)概念、結(jié)論逐步形成的過(guò)程，體會(huì)蘊(yùn)涵在其中的思想方法，追尋數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史足跡，把數(shù)學(xué)的學(xué)術(shù)形態(tài)轉(zhuǎn)化力學(xué)生易于接受的教育形態(tài)。 課程標(biāo)準(zhǔn)P4從歷史中