高三理科數(shù)學(xué)(理)知識(shí)點(diǎn)公式總結(jié)A

1、20XX屆高三理科數(shù)學(xué)（理）知識(shí)點(diǎn)、公式總結(jié)第一部分 集合1. 集合中元素具有確定性、無(wú)序性、互異性。2. 集合的性質(zhì)： = 1 * GB3 任何一個(gè)集合是它本身的子集，記為； = 2 * GB3 空集是任何集合的子集，記為； = 3 * GB3 空集是任何非空集合的真子集；如果，同時(shí)，那么A = B.如果.3. n個(gè)元素的子集有2n個(gè). n個(gè)元素的真子集有2n 1個(gè). n個(gè)元素的非空真子集有2n2個(gè).4. = 1 * GB2 一個(gè)命題為真，則它的逆否命題一定為真， 原命題逆否命題. = 2 * GB3 一個(gè)命題的否命題為真，它的逆命題一定為真. 否命題逆命題. = 2 * GB2 小范圍推出

2、大范圍；大范圍推不出小范圍. 例：若，反之不行第二部分 函數(shù)1. 函數(shù)的三要素：定義域，值域，對(duì)應(yīng)法則。2. 函數(shù)的單調(diào)區(qū)間可以是整個(gè)定義域，也可以是定義域的一部分，對(duì)于具體的函數(shù)來(lái)說(shuō)可能有單調(diào)區(qū)間，也可能沒(méi)有單調(diào)區(qū)間，如果函數(shù)在區(qū)間（0，1）上為減函數(shù)，在區(qū)間（1，2）上為減函數(shù)，就不能說(shuō)函數(shù)在上為減函數(shù).3. 指數(shù)函數(shù)：（），定義域R，值域?yàn)椋ǎ? = 1 * GB2 = 1 * GB3 當(dāng)，指數(shù)函數(shù)：在定義域上為增函數(shù)； = 2 * GB3 當(dāng)，指數(shù)函數(shù)：在定義域上為減函數(shù). = 2 * GB2 當(dāng)時(shí)，的值越大，越靠近軸；當(dāng)時(shí)，則相反.4. 對(duì)數(shù)函數(shù)：如果（）的次冪等于，就是，數(shù)就叫做以

3、為底的的對(duì)數(shù)，記作（，負(fù)數(shù)和零沒(méi)有對(duì)數(shù)）；其中叫底數(shù)，叫真數(shù)。 = 1 * GB2 對(duì)數(shù)運(yùn)算：（以上） = 2 * GB2 （）與互為反函數(shù)。當(dāng)時(shí)，的值越大，越靠近軸；當(dāng)時(shí)，則相反。5. 奇函數(shù)，偶函數(shù)： = 1 * GB2 偶函數(shù)：,設(shè)（）為偶函數(shù)上一點(diǎn)，則（）也是圖象上一點(diǎn).偶函數(shù)的判定：兩個(gè)條件同時(shí)滿足 = 1 * GB3 定義域一定要關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，例如：在上不是偶函數(shù)。 = 2 * GB3 滿足，或 = 2 * GB2 奇函數(shù)：,設(shè)（）為奇函數(shù)上一點(diǎn)，則（）也是圖象上一點(diǎn).奇函數(shù)的判定：兩個(gè)條件同時(shí)滿足 = 1 * GB3 定義域一定要關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，例如：在上不是奇函數(shù)。 = 2 *

4、GB3 滿足，或6. 對(duì)稱變換：y = f（x）y =f（x）y =f（x）第三部分 直線和圓一、直線方程1. 直線的傾斜角：一條直線向上的方向與軸正方向所成的最小正角叫做這條直線的傾斜角，直線傾斜角的范圍是.注： = 1 * GB3 當(dāng)或時(shí)，直線垂直于軸，它的斜率不存在. = 2 * GB3 每一條直線都存在惟一的傾斜角，除與軸垂直的直線不存在斜率外，其余每一條直線都有唯一的斜率，并且當(dāng)直線的斜率一定時(shí)，其傾斜角也對(duì)應(yīng)確定。2. 把握直線方程的幾種形式：點(diǎn)斜式、兩點(diǎn)式、斜截式、一般式。3. = 1 * GB2 兩條直線平行：兩條直線平行的條件是：和是兩條不重合的直線. 在和的斜率都存在的前提

5、下得到的，因此，應(yīng)特別注意，抽掉或忽視其中任一個(gè)“前提”都會(huì)導(dǎo)致結(jié)論的錯(cuò)誤。推論：如果兩條直線的傾斜角為則。 = 2 * GB2 兩條直線垂直：兩條直線垂直的條件：設(shè)兩條直線和的斜率分別為和，則有這里的前提是的斜率都存在。，且的斜率不存在或，且的斜率不存在. （即是垂直的充要條件）4. 點(diǎn)到直線的距離： = 1 * GB2 點(diǎn)到直線的距離公式：設(shè)點(diǎn)，直線到的距離為，則有. = 2 * GB2 兩條平行線間的距離公式：設(shè)兩條平行直線，它們之間的距離為，則有.5. 關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱和關(guān)于某直線對(duì)稱： = 1 * GB2 關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的兩條直線一定是平行直線，且這個(gè)點(diǎn)到兩直線的距離相等。 = 2 * GB2

6、 關(guān)于某直線對(duì)稱的兩條直線性質(zhì)：若兩條直線平行，則對(duì)稱直線也平行，且兩直線到對(duì)稱直線距離相等。若兩條直線不平行，則對(duì)稱直線必過(guò)兩條直線的交點(diǎn)，且對(duì)稱直線為兩直線夾角的角平分線。 = 3 * GB2 點(diǎn)關(guān)于某一條直線對(duì)稱，用中點(diǎn)表示兩對(duì)稱點(diǎn)，則中點(diǎn)在對(duì)稱直線上（方程 = 1 * GB3 ），過(guò)兩對(duì)稱點(diǎn)的直線方程與對(duì)稱直線方程垂直（方程 = 2 * GB3 ） = 1 * GB3 = 2 * GB3 可解得所求對(duì)稱點(diǎn).1. 圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是。特例：圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)，半徑為的圓的方程是：。2. 圓的一般方程： 當(dāng)時(shí)，方程表示一個(gè)圓，其中圓心，半徑。當(dāng)時(shí)，方程表示一個(gè)點(diǎn).

7、 當(dāng)時(shí)，方程無(wú)圖形（稱虛圓）。注： = 1 * GB3 圓的參數(shù)方程：（為參數(shù)）. = 2 * GB3 方程表示圓的充要條件是：且且。3. 直線和圓的位置關(guān)系： 設(shè)圓圓：； 直線：； (1)圓心到直線的距離.時(shí)，與相切；時(shí)，與相交；時(shí)，與相離. (2)由代數(shù)特征判斷：方程組用代入法，得關(guān)于（或）的一元二次方程，其判別式為，則：A.與相切； B.與相交； C.與相離.第四部分 三角函數(shù)1. = 1 * GB3 與（0360）終邊相同的角的集合（角與角的終邊重合）： = 2 * GB3 熟悉如終邊在x軸上的角的集合： 2. 角度與弧度的互換關(guān)系：360=2 180= 1=0.01745 1=57.

8、30=57183. 三角函數(shù)的公式：（一）基本關(guān)系1）同角的三角函數(shù)：2）誘導(dǎo)公式：形如：（或）方法：奇變偶不變，符號(hào)看象限。如：， 。（二）角與角之間的互換公式組一 公式組二 5. 正弦、余弦、正切、余切函數(shù)的圖象的性質(zhì)：定義域RR值域R周期性奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)單調(diào)性上為增函數(shù)；上為減函數(shù)（）；上為增函數(shù)上為減函數(shù)（）上為增函數(shù)（）對(duì)稱性對(duì)稱軸為，對(duì)稱中心為，對(duì)稱軸為，對(duì)稱中心為無(wú)對(duì)稱軸，對(duì)稱中心為注意： = 1 * GB3 與的單調(diào)性正好相反；與的單調(diào)性也同樣相反.一般地，若在上遞增（減），則在上遞減（增）. = 2 * GB3 與的周期是.的對(duì)稱軸方程是（），對(duì)稱中心（）；的對(duì)稱軸

9、方程是（），對(duì)稱中心（）；的對(duì)稱中心（）.函數(shù)在上為增函數(shù)說(shuō)法是錯(cuò)誤的. 只能在某個(gè)單調(diào)區(qū)間單調(diào)遞增。若在整個(gè)定義域，為增函數(shù)，同樣也是錯(cuò)誤的。為周期函數(shù)（）；為周期函數(shù)（）；輔助角公式： 。第五部分 向量與解三角形1. 長(zhǎng)度相等且方向相同的兩個(gè)向量是相等的量。2. = 1 * GB3 = = 2 * GB3 = 3 * GB3 = 4 * GB3 設(shè) （向量的模，針對(duì)向量坐標(biāo)求模） = 5 * GB3 平面向量的數(shù)量積： = 6 * GB3 = 7 * GB3 注意： = 1 * GB3 不一定成立；. = 2 * GB3 向量無(wú)大?。ā按笥凇?、“小于”對(duì)向量無(wú)意義），向量的模有大小。 =

10、3 * GB3 長(zhǎng)度為0的向量叫零向量，記，與任意向量平行，的方向是任意的，零向量與零向量相等，且。=，=（針對(duì)向量非坐標(biāo)求模），。當(dāng)時(shí)，由不能推出，這是因?yàn)槿我慌c垂直的非零向量，都有=0。若，則是不成立的，因?yàn)楫?dāng)?shù)扔跁r(shí)，不成立。3. = 1 * GB3 向量與非零向量共線的充要條件是有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)，使得（平行向量或共線向量）。當(dāng)與共線同向：當(dāng)與共線反向；當(dāng)則為與任何向量共線。 = 2 * GB3 設(shè)=， 兩個(gè)向量、的夾角公式：三角形重心坐標(biāo)公式：ABC的頂點(diǎn)，重心坐標(biāo)：注意：在ABC中，若0為重心，則，這是充要條件。平移公式：若點(diǎn)P按向量=平移到P，則4. = 1 * GB2 正弦定理：設(shè)

11、ABC的三邊為a、b、c，所對(duì)的角為A、B、C，則。 = 2 * GB2 余弦定理：(4)三角形的四個(gè)“心”；重心：三角形三條中線交點(diǎn) 外心：三角形三邊垂直平分線相交于一點(diǎn).內(nèi)心：三角形三內(nèi)角的平分線相交于一點(diǎn) 垂心：三角形三邊上的高相交于一點(diǎn).第六部分 數(shù)列等差數(shù)列等比數(shù)列定義遞推公式；通項(xiàng)公式（）中項(xiàng)（）（）前項(xiàng)和重要性質(zhì)1. = 1 * GB2 等差、等比數(shù)列： = 2 * GB2 看數(shù)列是不是等差數(shù)列有以下三種方法： = 1 * GB3 = 2 * GB3 2() = 3 * GB3 (為常數(shù)). = 3 * GB2 看數(shù)列是不是等比數(shù)列有以下四種方法： = 1 * GB3 = 2 *

12、 GB3 (，) = 1 * GB3 = 3 * GB3 (為非零常數(shù)). = 4 * GB2 數(shù)列的前項(xiàng)和與通項(xiàng)的關(guān)系：2. 等差數(shù)列依次每k項(xiàng)的和仍成等差數(shù)列，其公差為原公差的k2倍；若等差數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為2，則； = 3 * GB3 若等差數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為，則，且， . 5. 數(shù)列常見(jiàn)的幾種形式：（1）（P、r為常數(shù)）用構(gòu)造轉(zhuǎn)化等差，等比數(shù)列；逐項(xiàng)選代；轉(zhuǎn)化等差，等比：.6. 幾種常見(jiàn)的數(shù)列的思想方法： = 1 * GB2 等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，在時(shí)，有最大值，如何確定使取最大值時(shí)的值，有兩種方法：一是求使，成立的值；二是由利用二次函數(shù)的性質(zhì)求的值。 = 2 * GB2 如果數(shù)列可以看作是一個(gè)等差

13、數(shù)列與一個(gè)等比數(shù)列的對(duì)應(yīng)項(xiàng)乘積，求此數(shù)列前項(xiàng)和可依照等比數(shù)列前項(xiàng)和的推倒導(dǎo)方法：錯(cuò)位相減求和， 例如： = 3 * GB2 兩個(gè)等差數(shù)列的相同項(xiàng)亦組成一個(gè)新的等差數(shù)列，此等差數(shù)列的首項(xiàng)就是原兩個(gè)數(shù)列的第一個(gè)相同項(xiàng)，公差是兩個(gè)數(shù)列公差的最小公倍數(shù)。第七部分 不等式1. = 1 * GB2 平方平均算術(shù)平均幾何平均：（當(dāng)a = b時(shí)取等）特別地，（當(dāng)a = b時(shí)，） = 3 * GB2 絕對(duì)值不等式： = 4 * GB2 算術(shù)平均幾何平均（a1、a2an為正數(shù)）：（a1=a2=an時(shí)取等）(5)常用不等式的放縮法： = 1 * GB3 = 2 * GB3 第八部分 導(dǎo)數(shù)1. 導(dǎo)數(shù)（導(dǎo)函數(shù)的簡(jiǎn)稱）的

14、定義： =.2. 導(dǎo)數(shù)的幾何意義：函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義就是曲線在點(diǎn)處的切線的斜率，也就是說(shuō)，曲線在點(diǎn)P處的切線的斜率是，切線方程為3 求導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則：（為常數(shù)） 5. 復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則：或復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則可推廣到多個(gè)中間變量的情形。6. 函數(shù)單調(diào)性： = 1 * GB2 函數(shù)單調(diào)性的判定方法：設(shè)函數(shù)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，如果0，則為增函數(shù)；如果0，則為減函數(shù)。 = 2 * GB2 常數(shù)的判定方法；如果函數(shù)在區(qū)間內(nèi)恒有=0，則為常數(shù).注： = 1 * GB3 是f（x）遞增的充分條件，但不是必要條件，如在上并不是都有，有一個(gè)點(diǎn)例外即x=0時(shí)f（x） = 0，同樣是f（x）遞減的充分非

15、必要條件。 = 2 * GB3 一般地，如果f（x）在某區(qū)間內(nèi)有限個(gè)點(diǎn)處為零，在其余各點(diǎn)均為正（或負(fù)），那么f（x）在該區(qū)間上仍舊是單調(diào)增加（或單調(diào)減少）的。7. 極值的判別方法：（極值是在附近所有的點(diǎn)，都有，則是函數(shù)的極大值，極小值同理）,當(dāng)函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)時(shí)， = 1 * GB3 如果在附近的左側(cè)0，右側(cè)0，那么是極大值； = 2 * GB3 如果在附近的左側(cè)0，右側(cè)0，那么是極小值。8. 幾種常見(jiàn)的函數(shù)導(dǎo)數(shù)： = 1 * ROMAN I.（為常數(shù)） （） = 2 * ROMAN II. 第九部分 立體幾何空間直線.1. 空間直線位置分三種：相交、平行、異面。相交直線共面有反且有一個(gè)公共點(diǎn)；

16、平行直線共面沒(méi)有公共點(diǎn)；異面直線不同在任一平面內(nèi)2. 異面直線判定定理：過(guò)平面外一點(diǎn)與平面內(nèi)一點(diǎn)的直線和平面內(nèi)不經(jīng)過(guò)該點(diǎn)的直線是異面直線.（不在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線）3. 平行公理：平行于同一條直線的兩條直線互相平行。4. 等角定理：如果一個(gè)角的兩邊和另一個(gè)角的兩邊分別平行并且方向相同，那么這兩個(gè)角相等（如下圖）. （二面角的取值范圍） （直線與直線所成角） （斜線與平面成角） （直線與平面所成角）（向量與向量所成角推論：如果兩條相交直線和另兩條相交直線分別平行，那么這兩組直線所成銳角（或直角）相等。直線與平面平行、直線與平面垂直.1. 空間直線與平面位置分三種：相交、平行、在平面內(nèi)。2.

17、 直線與平面平行判定定理：如果平面外一條直線和這個(gè)平面內(nèi)一條直線平行，那么這條直線和這個(gè)平面平行。（“線線平行，線面平行”）3. 直線和平面平行性質(zhì)定理：如果一條直線和一個(gè)平面平行，經(jīng)過(guò)這條直線的平面和這個(gè)平面相交，那么這條直線和交線平行。（“線面平行，線線平行”）直線與平面垂直的判定定理一：如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么這兩條直線垂直于這個(gè)平面。（“線線垂直，線面垂直”）直線與平面垂直的判定定理二：如果平行線中一條直線垂直于一個(gè)平面，那么另一條也垂直于這個(gè)平面。推論：如果兩條直線同垂直于一個(gè)平面，那么這兩條直線平行。平面平行與平面垂直.1. 空間兩個(gè)平面的位置關(guān)系：相交、

18、平行。2. 平面平行判定定理：如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行。（“線面平行，面面平行”）推論：垂直于同一條直線的兩個(gè)平面互相平行；平行于同一平面的兩個(gè)平面平行。3. 兩個(gè)平面平行的性質(zhì)定理：如果兩個(gè)平面平行同時(shí)和第三個(gè)平面相交，那么它們交線平行。（“面面平行，線線平行”）4. 兩個(gè)平面垂直性質(zhì)判定一：兩個(gè)平面所成的二面角是直二面角，則兩個(gè)平面垂直。兩個(gè)平面垂直性質(zhì)判定二：如果一個(gè)平面與一條直線垂直，那么經(jīng)過(guò)這條直線的平面垂直于這個(gè)平面。（“線面垂直，面面垂直”）5. 兩個(gè)平面垂直性質(zhì)定理：如果兩個(gè)平面垂直，那么在一個(gè)平面內(nèi)垂直于它們交線的直線也垂直于另一個(gè)平

19、面。推論：如果兩個(gè)相交平面都垂直于第三平面，則它們交線垂直于第三平面。6. 球： = 1 * GB2 球的截面是一個(gè)圓面.球的表面積公式：.球的體積公式：.六. 空間向量. 1. 空間向量基本定理：如果三個(gè)向量不共面，那么對(duì)空間任一向量，存在一個(gè)唯一的有序?qū)崝?shù)組x、y、z，使。推論：設(shè)O、A、B、C是不共面的四點(diǎn)，則對(duì)空間任一點(diǎn)P, 都存在唯一的有序?qū)崝?shù)組x、y、z使 (這里隱含x+y+z1)。3. （1）空間向量的坐標(biāo)：可參考平面向量的運(yùn)算（2）求向量的常用方法： = 1 * GB3 利用法向量求點(diǎn)到面的距離定理：如圖，設(shè)n是平面的法向量，AB是平面的一條射線，其中，則點(diǎn)B到平面的距離為。

20、= 2 * GB3 利用法向量求二面角的平面角定理：設(shè)分別是二面角中平面的法向量，則所成的角就是所求二面角的平面角或其補(bǔ)角大?。捎^察是銳角還是鈍角）。 = 3 * GB3 證直線和平面平行定理：已知直線平面，且CDE三點(diǎn)不共線，則a的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對(duì)使.（常設(shè)求解若存在即證畢，若不存在，則直線AB與平面相交）。 第十部分 圓錐曲線一、橢圓方程.1. 橢圓方程定義： = 1 * GB2 = 1 * GB3 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程： = 1 * roman i. 中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上：. = 2 * roman ii. 中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上：. = 2 * GB3 一般方程：. = 3 *

21、 GB3 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程：的參數(shù)方程為（一象限應(yīng)是屬于）. = 2 * GB2 = 1 * GB3 頂點(diǎn)：或. = 2 * GB3 軸：對(duì)稱軸：x軸，軸；長(zhǎng)軸長(zhǎng)，短軸長(zhǎng).焦點(diǎn)：或. = 4 * GB3 焦距：. = 5 * GB3 準(zhǔn)線：或. = 6 * GB3 離心率：. 二、雙曲線方程.1. 雙曲線定義： = 1 * GB2 = 1 * GB3 雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程：. 一般方程：. = 2 * GB2 = 1 * roman i. 焦點(diǎn)在x軸上： 頂點(diǎn)： 焦點(diǎn)： 準(zhǔn)線方程 漸近線方程：或 = 2 * roman ii. 焦點(diǎn)在軸上：頂點(diǎn)：. 焦點(diǎn)：. 準(zhǔn)線方程：. 漸近線方程：或， .軸為

22、對(duì)稱軸，實(shí)軸長(zhǎng)為2a, 虛軸長(zhǎng)為2b，焦距2c. = 3 * GB3 離心率. = 4 * GB3 準(zhǔn)線距（兩準(zhǔn)線的距離）；通徑. = 5 * GB3 參數(shù)關(guān)系. = 3 * GB2 等軸雙曲線：雙曲線稱為等軸雙曲線，其漸近線方程為，離心率. = 5 * GB2 共漸近線的雙曲線系方程：的漸近線方程為如果雙曲線的漸近線為時(shí)，它的雙曲線方程可設(shè)為.例如：若雙曲線一條漸近線為且過(guò)，求雙曲線的方程？解：令雙曲線的方程為：，代入得.三、拋物線方程.3. 設(shè)，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程、類型及其幾何性質(zhì)：圖形焦點(diǎn)準(zhǔn)線范圍對(duì)稱軸軸軸頂點(diǎn)（0，0）離心率注：頂點(diǎn).第十一部分 復(fù)數(shù)1. = 1 * GB2 復(fù)數(shù)的單位為

23、i，它的平方等于1，即. = 2 * GB2 復(fù)數(shù)及其相關(guān)概念：復(fù)數(shù)形如a + bi的數(shù)（其中）；實(shí)數(shù)當(dāng)b = 0時(shí)的復(fù)數(shù)a + bi，即a；虛數(shù)當(dāng)時(shí)的復(fù)數(shù)a + bi；純虛數(shù)當(dāng)a = 0且時(shí)的復(fù)數(shù)a + bi，即bi.復(fù)數(shù)a + bi的實(shí)部與虛部a叫做復(fù)數(shù)的實(shí)部，b叫做虛部（注意a，b都是實(shí)數(shù)）復(fù)數(shù)集C全體復(fù)數(shù)的集合，一般用字母C表示. = 3 * GB2 兩個(gè)復(fù)數(shù)相等的定義：. = 4 * GB2 兩個(gè)復(fù)數(shù)，如果不全是實(shí)數(shù)，就不能比較大小.2. = 1 * GB2 復(fù)平面內(nèi)的兩點(diǎn)間距離公式：.其中是復(fù)平面內(nèi)的兩點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)，間的距離.由上可得：復(fù)平面內(nèi)以為圓心，為半徑的圓的復(fù)數(shù)方程：.

24、= 2 * GB2 常用的結(jié)論： 第十二部分 概率與統(tǒng)計(jì)一、概率.1. 概率：隨機(jī)事件A的概率是頻率的穩(wěn)定值，反之，頻率是概率的近似值.2. 等可能事件的概率：如果一次試驗(yàn)中可能出現(xiàn)的結(jié)果有年n個(gè)，且所有結(jié)果出現(xiàn)的可能性都相等，那么，每一個(gè)基本事件的概率都是，如果某個(gè)事件A包含的結(jié)果有m個(gè)，那么事件A的概率.3. = 1 * GB3 互斥事件：不可能同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事件叫互斥事件. 如果事件A、B互斥，那么事件A+B發(fā)生(即A、B中有一個(gè)發(fā)生)的概率，等于事件A、B分別發(fā)生的概率和，即P(A+B)=P(A)+P(B)，推廣：. = 2 * GB3 對(duì)立事件：兩個(gè)事件必有一個(gè)發(fā)生的互斥事件叫對(duì)立事

25、件. 例如：從152張撲克牌中任取一張抽到“紅桃”與抽到“黑桃”互為互斥事件，因?yàn)槠渲幸粋€(gè)不可能同時(shí)發(fā)生，但又不能保證其中一個(gè)必然發(fā)生，故不是對(duì)立事件.而抽到“紅色牌”與抽到黑色牌“互為對(duì)立事件，因?yàn)槠渲幸粋€(gè)必發(fā)生.注意： = 1 * roman i.對(duì)立事件的概率和等于1：. = 2 * roman ii.互為對(duì)立的兩個(gè)事件一定互斥，但互斥不一定是對(duì)立事件. = 3 * GB3 相互獨(dú)立事件：事件A(或B)是否發(fā)生對(duì)事件B(或A)發(fā)生的概率沒(méi)有影響.這樣的兩個(gè)事件叫做相互獨(dú)立事件. 如果兩個(gè)相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率，等于每個(gè)事件發(fā)生的概率的積，即P(AB)=P(A)P(B). 由此，當(dāng)兩個(gè)

26、事件同時(shí)發(fā)生的概率P（AB）等于這兩個(gè)事件發(fā)生概率之和，這時(shí)我們也可稱這兩個(gè)事件為獨(dú)立事件.推廣：若事件相互獨(dú)立，則.注意： = 1 * roman i. 一般地，如果事件A與B相互獨(dú)立，那么A 與與B，與也都相互獨(dú)立. = 2 * roman ii. 必然事件與任何事件都是相互獨(dú)立的. = 3 * roman iii. 獨(dú)立事件是對(duì)任意多個(gè)事件來(lái)講，而互斥事件是對(duì)同一實(shí)驗(yàn)來(lái)講的多個(gè)事件，且這多個(gè)事件不能同時(shí)發(fā)生，故這些事件相互之間必然影響，因此互斥事件一定不是獨(dú)立事件. = 4 * GB3 獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)：若n次重復(fù)試驗(yàn)中，每次試驗(yàn)結(jié)果的概率都不依賴于其他各次試驗(yàn)的結(jié)果，則稱這n次試驗(yàn)是獨(dú)立的

27、. 如果在一次試驗(yàn)中某事件發(fā)生的概率為P，那么在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中這個(gè)事件恰好發(fā)生k次的概率：.4. 對(duì)任何兩個(gè)事件都有二、隨機(jī)變量. 1. 隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)構(gòu)應(yīng)該是不確定的.試驗(yàn)如果滿足下述條件： = 1 * GB3 試驗(yàn)可以在相同的情形下重復(fù)進(jìn)行； = 2 * GB3 試驗(yàn)的所有可能結(jié)果是明確可知的，并且不止一個(gè)； = 3 * GB3 每次試驗(yàn)總是恰好出現(xiàn)這些結(jié)果中的一個(gè)，但在一次試驗(yàn)之前卻不能肯定這次試驗(yàn)會(huì)出現(xiàn)哪一個(gè)結(jié)果.它就被稱為一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn).2. 離散型隨機(jī)變量：如果對(duì)于隨機(jī)變量可能取的值，可以按一定次序一一列出，這樣的隨機(jī)變量叫做離散型隨機(jī)變量.若是一個(gè)隨機(jī)變量，a，b是常數(shù).則也是一

28、個(gè)隨機(jī)變量.一般地，若是隨機(jī)變量，是連續(xù)函數(shù)或單調(diào)函數(shù)，則也是隨機(jī)變量.也就是說(shuō)，隨機(jī)變量的某些函數(shù)也是隨機(jī)變量.設(shè)離散型隨機(jī)變量可能取的值為：取每一個(gè)值的概率，則表稱為隨機(jī)變量的概率分布，簡(jiǎn)稱的分布列.P有性質(zhì)； .3. = 1 * GB2 二項(xiàng)分布：如果在一次試驗(yàn)中某事件發(fā)生的概率是P，那么在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中這個(gè)事件恰好發(fā)生k次的概率是：其中 于是得到隨機(jī)變量的概率分布如下：我們稱這樣的隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，記作B（np），其中n，p為參數(shù)，并記. = 2 * GB2 二項(xiàng)分布的判斷與應(yīng)用. = 1 * GB3 二項(xiàng)分布，實(shí)際是對(duì)n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn).關(guān)鍵是看某一事件是否是進(jìn)行n次獨(dú)立重復(fù)，

29、且每次試驗(yàn)只有兩種結(jié)果，如果不滿足此兩條件，隨機(jī)變量就不服從二項(xiàng)分布. = 2 * GB3 當(dāng)隨機(jī)變量的總體很大且抽取的樣本容量相對(duì)于總體來(lái)說(shuō)又比較小，而每次抽取時(shí)又只有兩種試驗(yàn)結(jié)果，此時(shí)可以把它看作獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，利用二項(xiàng)分布求其分布列.4. 超幾何分布：一批產(chǎn)品共有N件，其中有M（MN）件次品，今抽取件，則其中的次品數(shù)是一離散型隨機(jī)變量，分布列為.分子是從M件次品中取k件，從N-M件正品中取n-k件的取法數(shù)，如果規(guī)定時(shí)，則k的范圍可以寫(xiě)為k=0，1，n.三、數(shù)學(xué)期望與方差.1. 期望的含義：一般地，若離散型隨機(jī)變量的概率分布為P則稱為的數(shù)學(xué)期望或平均數(shù)、均值.數(shù)學(xué)期望又簡(jiǎn)稱期望.數(shù)學(xué)期望反映

30、了離散型隨機(jī)變量取值的平均水平.2. = 1 * GB2 隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望： (2)兩點(diǎn)分布：，其分布列為：（p + q = 1）(3)二項(xiàng)分布： 其分布列為.（P為發(fā)生的概率）3.方差、標(biāo)準(zhǔn)差的定義：當(dāng)已知隨機(jī)變量的分布列為時(shí)，則稱為的方差. 顯然，故為的根方差或標(biāo)準(zhǔn)差.隨機(jī)變量的方差與標(biāo)準(zhǔn)差都反映了隨機(jī)變量取值的穩(wěn)定與波動(dòng)，集中與離散的程度.越小，穩(wěn)定性越高，波動(dòng)越小.4.方差的性質(zhì). = 1 * GB2 隨機(jī)變量的方差.（a、b均為常數(shù)）01Pqp (2)兩點(diǎn)分布： 其分布列為：（p + q = 1）(3)二項(xiàng)分布：5. 期望與方差的關(guān)系. = 1 * GB2 如果和都存在，則 = 2

31、 * GB2 設(shè)和是互相獨(dú)立的兩個(gè)隨機(jī)變量，則第十三部分 計(jì)數(shù)原理與二項(xiàng)式定理一、兩個(gè)原理.1. 乘法原理、加法原理.2. 可以有重復(fù)元素的排列.從m個(gè)不同元素中，每次取出n個(gè)元素，元素可以重復(fù)出現(xiàn)，按照一定的順序排成一排，那么第一、第二第n位上選取元素的方法都是m個(gè)，所以從m個(gè)不同元素中，每次取出n個(gè)元素可重復(fù)排列數(shù)mm m = mn. 例如：n件物品放入m個(gè)抽屜中，不限放法，共有多少種不同放法？ （解：種）二、排列.1. = 1 * GB2 對(duì)排列定義的理解.定義：從n個(gè)不同的元素中任取m(mn)個(gè)元素，按照一定順序排成一列，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列. = 2 * GB2

32、 相同排列.如果；兩個(gè)排列相同，不僅這兩個(gè)排列的元素必須完全相同，而且排列的順序也必須完全相同. = 3 * GB2 排列數(shù).從n個(gè)不同元素中取出m(mn)個(gè)元素排成一列，稱為從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列. 從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列數(shù)，用符號(hào)表示. = 4 * GB2 排列數(shù)公式： 注意： 規(guī)定0! = 1 規(guī)定三、組合.1. = 1 * GB2 組合：從n個(gè)不同的元素中任取m(mn)個(gè)元素并成一組，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)組合. = 2 * GB2 組合數(shù)公式： 常用計(jì)算公式： (3)排列與組合的聯(lián)系與區(qū)別.聯(lián)系：都是從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素.區(qū)別：

33、前者是“排成一排”，后者是“并成一組”，前者有順序關(guān)系，后者無(wú)順序關(guān)系.(4) = 1 * GB3 幾個(gè)常用組合數(shù)公式四、排列、組合綜合.1. = 1 * ROMAN I. 排列、組合問(wèn)題幾大解題方法及題型： = 1 * GB3 直接法. = 2 * GB3 排除法. = 3 * GB3 捆綁法：在特定要求的條件下，將幾個(gè)相關(guān)元素當(dāng)作一個(gè)元素來(lái)考慮，待整體排好之后再考慮它們“局部”的排列.它主要用于解決“元素相鄰問(wèn)題”例如有n個(gè)不同座位，A、B兩個(gè)不能相鄰，則有排列法種數(shù)為. 有n件不同商品，若其中A、B排在一起有.有n件不同商品，若其中有二件要排在一起有.注：區(qū)別在于是確定的座位，有種；而的商品地位相同