材料力學(xué)第四章扭轉(zhuǎn)

1、材 料 力 學(xué)講授:顧志榮同濟(jì)大學(xué)航空航天與力學(xué)學(xué)院顧志榮第四章 扭轉(zhuǎn)材料力學(xué)第四章 扭轉(zhuǎn)一 扭轉(zhuǎn)的概念和實(shí)例二 外力偶矩、扭矩和扭矩圖三 圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的強(qiáng)度計(jì)算四 圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的變形計(jì)算五 扭轉(zhuǎn)超靜定問題六 矩形截面桿的自由扭轉(zhuǎn)七 薄壁桿的自由扭轉(zhuǎn)第四章 扭轉(zhuǎn)一 扭轉(zhuǎn)的概念和實(shí)例第四章 扭轉(zhuǎn)/一 扭轉(zhuǎn)的概念和實(shí)例對稱扳手?jǐn)Q緊鏍帽承受扭轉(zhuǎn)變形的構(gòu)件傳動軸汽車傳動軸第四章 扭轉(zhuǎn)/一 扭轉(zhuǎn)的概念和實(shí)例第四章 扭轉(zhuǎn)/一 扭轉(zhuǎn)的概念和實(shí)例mmmm第四章 扭轉(zhuǎn)/一 扭轉(zhuǎn)的概念和實(shí)例這些構(gòu)件的受力特點(diǎn):所受外力是一些力偶矩,作用在垂直于桿軸的平面內(nèi)。變形特點(diǎn):桿件的任意兩個(gè)橫截面都繞軸線發(fā)生相對轉(zhuǎn)動。第四章

2、扭轉(zhuǎn)二 外力偶矩、扭矩和扭矩圖第四章 扭轉(zhuǎn)/二 外力偶矩、扭矩和扭矩圖1 外力偶矩的計(jì)算外力偶矩與功率和轉(zhuǎn)速之間的關(guān)系第四章 扭轉(zhuǎn)/二 外力偶矩、扭矩和扭矩圖2 求扭轉(zhuǎn)內(nèi)力的方法截面法IIMn3 受扭圓軸橫截面上的內(nèi)力扭矩右手定則：右手四指內(nèi)屈，與扭矩轉(zhuǎn)向相同，則拇指的指向表示扭矩矢的方向，若扭矩矢方向與截面外法線相同，規(guī)定扭矩為正，反之為負(fù)。第四章 扭轉(zhuǎn)/二 外力偶矩、扭矩和扭矩圖扭矩符號規(guī)定：4 扭矩的符號規(guī)定右手螺旋法則mIImIIIIII第四章 扭轉(zhuǎn)/二 外力偶矩、扭矩和扭矩圖例題 已知圓軸受外力偶矩mA 、mB 、mC 作用而處于勻速轉(zhuǎn)動平衡狀態(tài)，試求1-1、2-2截面上的扭矩。已知

3、圓軸受外力偶矩作用，勻速轉(zhuǎn)動。則用截面法求內(nèi)力：11扭矩第四章 扭轉(zhuǎn)/二 外力偶矩、扭矩和扭矩圖截面2-2上的內(nèi)力：第四章 扭轉(zhuǎn)/二 外力偶矩、扭矩和扭矩圖（+）5 扭矩隨圓軸橫截面的位置變化的圖線扭矩圖（-）扭矩圖第四章 扭轉(zhuǎn)/二 外力偶矩、扭矩和扭矩圖例題 圖示傳動軸上，經(jīng)由A輪輸入功率10KW，經(jīng)由B、C、D輪輸出功率分別為2、3、5KW。軸的轉(zhuǎn)速n=300r/min，求作該軸的扭矩圖。如將A、D輪的位置更換放置是否合理？ACBDIIIIIIIIIIII第四章 扭轉(zhuǎn)/二 外力偶矩、扭矩和扭矩圖ACBD經(jīng)由A、B、C、D輪傳遞的外力偶矩分別為解：IIIIIIIIIIII第四章 扭轉(zhuǎn)/二 外

4、力偶矩、扭矩和扭矩圖IIIIIIIIIIII繪出扭矩圖：第四章 扭轉(zhuǎn)/二 外力偶矩、扭矩和扭矩圖ACBD（-）扭矩Mn-圖（+）（在CA段和AD段）IIIIIIIIIIII第四章 扭轉(zhuǎn)/二 外力偶矩、扭矩和扭矩圖將A、D輪的位置更換，則ACBD扭矩Mn-圖（-）（AD段）因此將A、D輪的位置更換不合理。IIIIIIIIIIII第四章 扭轉(zhuǎn)/二 外力偶矩、扭矩和扭矩圖課堂練習(xí) 圖示圓軸中，各輪上的轉(zhuǎn)矩分別為mA4kNm， mB10kNm, mC6kN m，試求11截面和22截面上的扭矩，并畫扭矩圖。1122輪軸軸承6KNm4KNm第四章 扭轉(zhuǎn)/二 外力偶矩、扭矩和扭矩圖第四章 扭轉(zhuǎn)三 圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)

5、的強(qiáng)度計(jì)算第四章 扭轉(zhuǎn)/三 圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的強(qiáng)度計(jì)算1 受扭圓軸橫截面上的剪應(yīng)力（1）公式推導(dǎo)的思路 應(yīng)力分布應(yīng)力公式變 形應(yīng)變分布平面假定物性關(guān)系靜力方程MeMe平面假定變形幾何1 受扭圓軸橫截面上的剪應(yīng)力（2）公式推導(dǎo)過程dxMnMndxIp截面的極慣性矩dxTTdxIp截面的極慣性矩(3)受扭圓軸橫截面上的剪應(yīng)力計(jì)算公式扭轉(zhuǎn)截面系數(shù)(3)受扭圓軸橫截面上的剪應(yīng)力計(jì)算公式:實(shí)心圓截面空心圓截面P1=14kW, P2= P3= P1/2=7 kWn1=n2= 120r/minn3= n1 z3z1=1203612=360r/min例題 已知：P114kW, n1= n2= 120r/min, z

6、1=36, z3=12; d1=70mm, d 2 =50mm, d3=35mm. P2p3p12。求: 各軸橫截面上的最大切應(yīng)力。解：第四章 扭轉(zhuǎn)/三 圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的強(qiáng)度計(jì)算max(H)=22.69 MPam2Wp2max(C)=21.98 MPam3Wp3max(E)=m1Wp1=16.54 MPa第四章 扭轉(zhuǎn)/三 圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的強(qiáng)度計(jì)算2 受扭圓軸任意斜截面上的應(yīng)力分析第四章 扭轉(zhuǎn)/三 圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的強(qiáng)度計(jì)算鑄鐵低碳鋼鑄鐵試件受扭為什么沿45螺旋面斷開？低碳鋼試件受扭為什么沿橫截面斷開？mmAAefef第四章 扭轉(zhuǎn)/三 圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的強(qiáng)度計(jì)算討論:maxmin第四章 扭轉(zhuǎn)/三 圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的強(qiáng)度計(jì)

7、算第四章 扭轉(zhuǎn)/三 圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的強(qiáng)度計(jì)算3 圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的強(qiáng)度條件 為保證圓軸安全工作，要求軸內(nèi)的最大工作切應(yīng)力不超過材料的許用切應(yīng)力，即： 式中的許用扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力 ,是根據(jù)扭轉(zhuǎn)試驗(yàn),并考慮適當(dāng)?shù)墓ぷ靼踩禂?shù)確定的.第四章 扭轉(zhuǎn)四 圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的剛度計(jì)算第四章 扭轉(zhuǎn)/四 圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的剛度計(jì)算1 扭轉(zhuǎn)角 與剪切角 mm第四章 扭轉(zhuǎn)/四 圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的剛度計(jì)算2 圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的變形計(jì)算 如圖所示階梯軸。外力偶矩m10.8KNm， m22.3KNm， m31.5KNm，AB段的直徑d14cm，BC段的直徑d27cm。已知材料的剪切彈性模量G80GPa，試計(jì)算AB和AC。0.8kNm1.5kNm0.8m1.0m

8、ABC例題 圖示一空心傳動軸，輪1為主動輪，力偶矩m19KNm，輪2、輪3、輪4為從動輪,力偶矩分別為m24KNm，m33.5KNm，m41.5KNm。已知空心軸內(nèi)外徑之比d/D1/2，試設(shè)計(jì)此軸的外徑D，并求出全軸兩端的相對扭轉(zhuǎn)角24。G80GPa，60MPa。5kN1.5kN4kN500500500例題 已知鉆探機(jī)桿的外徑D=60mm，內(nèi)徑d=50mm，功率P=7.35kW，轉(zhuǎn)速n=180r/min，鉆桿入土深度L=40m，G=80GPa，=40MPa。設(shè)土壤對鉆桿的阻力是沿長度均勻分布的，試求：（1）單位長度上土壤對鉆桿的阻力矩m；（2）作鉆桿的扭矩圖，并進(jìn)行強(qiáng)度校核；（3）求A、B兩截

9、面相對扭轉(zhuǎn)角。單位長度阻力矩例題 一內(nèi)徑為d、外徑為D=2d的空心圓管與一直徑為d的實(shí)心圓桿結(jié)合成一組合圓軸，共同承受轉(zhuǎn)矩Me。圓管與圓桿的材料不同，其切變模量分別為G1和G2，且G1=G2/2，假設(shè)兩桿扭轉(zhuǎn)變形時(shí)無相對轉(zhuǎn)動，且均處于線彈性范圍。試問兩桿橫截面上的最大切應(yīng)力之比1/2為多大？并畫出沿半徑方向的切應(yīng)力變化規(guī)律。因兩桿扭轉(zhuǎn)變形時(shí)無相對轉(zhuǎn)動例題第四章 扭轉(zhuǎn)/四 圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的剛度計(jì)算3 圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的剛度條件 要求單位長度的扭轉(zhuǎn)角不超過某一許用值,即:試分別按實(shí)心圓軸和空心圓軸選擇其直徑，并比較二種截面軸之重量。解：1. 計(jì)算外力偶矩 畫扭矩圖。例1：鋼制傳動軸已知：n300（r.p.n

10、），dD12，輸入功率: NA360kW，輸出功率:NBNC110kW，ND140kW； BCADmBmCmAmD70044456xoT/N.m3502TN.mx350270044456危險(xiǎn)截面：AC段。2. 選擇實(shí)心圓軸直徑 按強(qiáng)度條件 按剛度條件2. 選擇空心圓軸直徑 按強(qiáng)度條件 按剛度條件由此應(yīng)選直徑 D=11.6cm，dD25.8cm3. 重量比由此應(yīng)選直徑 解：由傳動軸的尺寸計(jì)算抗扭截面模量：軸的最大剪應(yīng)力例題2 某汽車傳動軸，用45號鋼無縫鋼管制成，其外徑D=90mm,壁厚t=2.5mm，使用時(shí)最大扭矩為Mx=1500 N.m,試校核此軸的強(qiáng)度。已知=60MPa。若此軸改為實(shí)心軸，

11、并要求強(qiáng)度仍與原空心軸相當(dāng)，則實(shí)心軸的直徑 為？所以此軸安全。若此軸改為實(shí)心軸，而式中解得：實(shí)心軸的橫截面面積為空心軸的橫截面面積空心軸與實(shí)心軸的重量之比：因此在承載能力相同的條件下，使用空心軸比較節(jié)約材料、比較經(jīng)濟(jì)。采用空心軸可有效地減輕軸的重量，節(jié)約材料。因?yàn)?根據(jù)應(yīng)力分布規(guī)律，軸心附近處的應(yīng)力很小，對實(shí)心軸而言，軸心附近處的材料沒有較好地發(fā)揮其作用； 從截面的幾何性質(zhì)分析，橫截面面積相同的條件下，空心軸材料分布遠(yuǎn)離軸心，其極慣性矩Ip必大于實(shí)心軸，扭轉(zhuǎn)截面系數(shù)Wp也比較大，強(qiáng)度和剛度均可提高； 通常所講保持強(qiáng)度不變，即指最大切應(yīng)力值不變；保持剛度不變，即指截面圖形極慣性矩保持不變。對于軸

12、的強(qiáng)度或剛度，采用空心軸比實(shí)心軸都較為合理。 例題3 圖示等截面圓軸，已知d=90mm ,l=50cm, , 。軸的材料為鋼，G=80GPa,求（1）軸的最大剪應(yīng)力；（2）截面B和截面C的扭轉(zhuǎn)角；（3）若要求BC段的單位扭轉(zhuǎn)角與AB段的相等，則在BC段鉆孔 的孔徑d應(yīng)為多大？AllBCd1122AllBCd（+）（-）扭矩圖解：(1)軸的最大剪應(yīng)力作扭矩圖：2211因此AllBCd（2）扭轉(zhuǎn)角截面B：截面CAllBCd（3）BC段孔徑d由得解得：AllBCd例題4 圖示圓截面桿AB左端固定，承受一集度為t的均布力偶矩作用。試導(dǎo)出計(jì)算截面B的扭轉(zhuǎn)角公式。Lt xdx解：取微段作為研究對象。Mx(

13、x)Mx(x) L-xtMx(x)根據(jù)平衡條件求得橫截面上的扭矩為：微段兩端截面的相對扭轉(zhuǎn)角為AB因此LtAB第四章 扭轉(zhuǎn)五 扭轉(zhuǎn)超靜定問題扭轉(zhuǎn)超靜定問題的解法：（1）建立靜力平衡方程；（2）由變形協(xié)調(diào)條件建立變形協(xié)調(diào)方程；（3）應(yīng)用扭矩與相對扭轉(zhuǎn)角之間的物理關(guān)系： ，代入變形協(xié)調(diào)方程，得到補(bǔ)充方程；（4）補(bǔ)充方程與靜力平衡方程聯(lián)立，求解所有的未知反力偶或扭矩。例題6 一兩端固定的圓截面桿AB受力偶矩作用如圖。要求：1）作扭矩圖；2）若m=10KN.m,材料的=60MPa，試選擇此等直圓截面桿直徑。MABClMDll例題7 一組合桿由實(shí)心桿1和空心管2結(jié)合在一起所組成，桿和管的材料相同。剪切模

14、量為G,試求組合桿承受外力偶矩m以后，桿和管內(nèi)的最大剪應(yīng)力，并繪出橫截面上應(yīng)力分布的規(guī)律。如果桿和管的材料不相同，結(jié)果又怎樣？12Mn12解：（1）靜力學(xué)關(guān)系（2）變形協(xié)調(diào)條件（3）物理關(guān)系： 代入變形協(xié)調(diào)方程，得補(bǔ)充方程（4）補(bǔ)充方程與靜力平衡方程聯(lián)立，解得（5）最大剪應(yīng)力桿1：管2：第四章 扭轉(zhuǎn)六 矩形截面桿的自由扭轉(zhuǎn)自由扭轉(zhuǎn)：非圓截面軸扭轉(zhuǎn)時(shí)，橫截面不再保持平面而發(fā)生翹曲。約束扭轉(zhuǎn)：橫截面可以自由翹曲。橫截面的翹曲受到限制。橫截面上只有切應(yīng)力而無正應(yīng)力橫截面上既有切應(yīng)力又有正應(yīng)力矩形截面軸扭轉(zhuǎn)時(shí)切應(yīng)力的分布特點(diǎn)角點(diǎn)切應(yīng)力等于零 邊緣各點(diǎn)切應(yīng)力沿切線方向最大切應(yīng)力 發(fā)生在長邊中點(diǎn)T分別計(jì)算兩種截面桿最大切應(yīng)力圓桿：矩形桿：查表：0.801分別計(jì)算兩桿截面面積圓桿：矩形桿：矩形截面面積與圓形面積相近，但是最大切應(yīng)力卻增大了近一倍，因此工程中應(yīng)盡量避免使用矩形截面桿作扭轉(zhuǎn)桿件。 例題 一圓形截面桿和矩形截面桿受到相同扭矩T=400Nm作用，圓桿直徑d=40mm，矩形截面為60mm20mm，試比較這兩種桿的最大切應(yīng)力和截面面積。第四章 扭轉(zhuǎn)七 薄壁桿的自由扭轉(zhuǎn)第四章 扭轉(zhuǎn)/七 薄壁桿的自由扭轉(zhuǎn)第四章 扭轉(zhuǎn)/七 薄壁桿的自由扭轉(zhuǎn)第四章 扭轉(zhuǎn)/七 薄壁桿的自由扭轉(zhuǎn)第四章 扭轉(zhuǎn)/七 薄壁桿的自由扭轉(zhuǎn)第四章 扭轉(zhuǎn)/七 薄壁桿的自由扭轉(zhuǎn)第四章 扭轉(zhuǎn)/七 薄壁桿的自由扭轉(zhuǎn)第四