固定收益證券應(yīng)用統(tǒng)計(jì)第四章

1、第 4 章數(shù)據(jù)的概括性度量集中趨勢(central tendency)分類數(shù)據(jù)：眾數(shù)眾數(shù)(mode)一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的變量值適合于數(shù)據(jù)量較多時(shí)使用3.不受值的影響一組數(shù)據(jù)可能沒有眾數(shù)或有幾個(gè)眾數(shù)主要用于分類數(shù)據(jù)，也可用于順序數(shù)據(jù)和數(shù)值型數(shù)據(jù)眾數(shù)(不惟一性)無眾數(shù)原始數(shù)據(jù):分類數(shù)據(jù)的眾數(shù)(例題分析)順序數(shù)據(jù)的眾數(shù)(例題分析)順序數(shù)據(jù)：中位數(shù)和分位數(shù)中位數(shù)(median)1.排序后處于中間位置上的值中位數(shù)(位置和數(shù)值的確定)順序數(shù)據(jù)的中位數(shù) (例題分析)數(shù)值型數(shù)據(jù)的中位數(shù)(9 個(gè)數(shù)據(jù)的算例)【例】9 個(gè)家庭的人均月收入數(shù)據(jù)10591268原始數(shù)據(jù):排位15007507801080850960

2、10805200012501630序:置:75078085096041250 1500 163020001236789數(shù)值型數(shù)據(jù)的中位數(shù)(10 個(gè)數(shù)據(jù)的算例)【例】：10 個(gè)家庭的人均月收入數(shù)據(jù)排位四分位數(shù)(quartile)序:置:660 75078085096010801250 1500 16302000912345678101.排序后處于 25%和 75%位置上的值順序數(shù)據(jù)的四分位數(shù)(例題分析)數(shù)值型數(shù)據(jù)的四分位數(shù)(9 個(gè)數(shù)據(jù)的算例)【例】：9 個(gè)家庭的人均月收入數(shù)據(jù)(4 種方法計(jì)算)原始數(shù)據(jù):排位150075078010807507808508509604960108052000125

3、016301250 1500 16302000序:置:1236789數(shù)值型數(shù)據(jù)：平均數(shù)平均數(shù)(mean)也稱為均值集中趨勢的最常用測度值一組數(shù)據(jù)的均衡點(diǎn)所在3.體現(xiàn)了數(shù)據(jù)的必然性特征4.易受值的影響5.有簡單平均數(shù)和平均數(shù)之分6.根據(jù)總體數(shù)據(jù)計(jì)算的，稱為平均數(shù)，記為；根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計(jì)算的，稱為樣本平均數(shù)，記為x簡單平均數(shù)(Simple mean)平均數(shù) (Weighted mean)幾何平均數(shù) (geometric mean)n 個(gè)變量值乘積的 n 次適用于對(duì)比率數(shù)據(jù)的平均主要用于計(jì)算平均增長率計(jì)算公式為幾何平均數(shù)(例題分析)【例】一位投資者購持有一種，在 2000、2001、2002 和 20

4、03 年收益率分別為 4.5%、%、25.5%、1.9%。計(jì)算該投資者在這四年內(nèi)的平均收益率眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)的比較眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)的關(guān)系眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)的特點(diǎn)和應(yīng)用眾數(shù)不受值影響具有不惟一性數(shù)據(jù)分布偏斜程度較大且有明顯峰值時(shí)應(yīng)用1.中位數(shù)不受值影響數(shù)據(jù)分布偏斜程度較大時(shí)應(yīng)用1.平均數(shù)易受值影響數(shù)學(xué)性質(zhì)優(yōu)良數(shù)據(jù)對(duì)稱分布或接近對(duì)稱分布時(shí)應(yīng)用離中趨勢分類數(shù)據(jù)：異眾比率異眾比率(variation ratio)對(duì)分類數(shù)據(jù)離散程度的測度非眾數(shù)組的頻數(shù)占總頻數(shù)的比例計(jì)算公式為異眾比率(例題分析)順序數(shù)據(jù)：四分位差四分位差(quartile deviation)對(duì)順序數(shù)據(jù)離散程度的測度也稱為內(nèi)距

5、或四分間距上四分位數(shù)與下四分位數(shù)之差Qd = QU QL反映了中間 50%數(shù)據(jù)的離散程度5.不受值的影響6.用于衡量中位數(shù)的代表性四分位差(例題分析)數(shù)值型數(shù)據(jù)：方差和標(biāo)準(zhǔn)差極差(range)一組數(shù)據(jù)的最大值與最小值之差離散程度的最簡單測度值3.易受值影響4.未考慮數(shù)據(jù)的分布平均差(mean deviation)各變量值與其平均數(shù)離差絕對(duì)值的平均數(shù)能全面反映一組數(shù)據(jù)的離散程度數(shù)學(xué)性質(zhì)較差，實(shí)際中應(yīng)用較少平均差(例題分析)平均差(例題分析)方差和標(biāo)準(zhǔn)差(variance and standard deviation)數(shù)據(jù)離散程度的最常用測度值反映了各變量值與均值的平均差異根據(jù)總體數(shù)據(jù)計(jì)算的，稱為

6、總體方差(標(biāo)準(zhǔn)差)，記為2()；根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計(jì)算的，稱為樣本方差(標(biāo)準(zhǔn)差)，記為 s2(s)樣本方差和標(biāo)準(zhǔn)差(sle variance and standard deviation)未分組數(shù)據(jù)度(degree of freedom)度是指數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)與附加給獨(dú)立的觀測值的約束或限制的個(gè)數(shù)之差1.2.從字面涵義來看，度是指一組數(shù)據(jù)中可以取值的個(gè)數(shù)3.當(dāng)樣本數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)為 n 時(shí)，若樣本平均數(shù)確定后，則附加給 n 個(gè)觀測值的約束個(gè)數(shù)就是 1 個(gè)，因此只有 n-1 個(gè)數(shù)據(jù)可以取值，其中必有一個(gè)數(shù)據(jù)不能取值4.按著這一邏輯，如果對(duì) n 個(gè)觀測值附加的約束個(gè)數(shù)為 k 個(gè)，度則為 n-k度(degree of

7、freedom)x = 5。當(dāng) x = 5樣本有 3 個(gè)數(shù)值，即 x1=2，x2=4，x3=9，則確定后，x1，x2 和 x31.有兩個(gè)數(shù)據(jù)可以取值，另一個(gè)則不能取值，比如 x1=6，x2=7，那么 x3 則必然取 2，而不能取其他值2.為什么樣本方差的度為n-1 呢？因?yàn)樵谟?jì)算離差平方和時(shí)，必須先求出樣本均值x ，而x 則是附件給離差平方和的一個(gè)約束，因此，計(jì)算離差平方和時(shí)只有 n-1 個(gè)獨(dú)立的觀測值，而不是 n 個(gè)3.樣本方差用度去除，其原因可從多方面解釋，從實(shí)際應(yīng)用角度看，在抽樣估計(jì)中，當(dāng)用樣本方差 s2 去估計(jì)總體方差 2 時(shí)，它是 2 的無偏估計(jì)量樣本標(biāo)準(zhǔn)差(例題分析)樣本標(biāo)準(zhǔn)差 (

8、例題分析)總體方差和標(biāo)準(zhǔn)差(Population variance and Standard deviation)未分組數(shù)據(jù)相對(duì)位置的度量：標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)(standard score)也稱標(biāo)準(zhǔn)化值對(duì)某一個(gè)值在一組數(shù)據(jù)中相對(duì)位置的度量可用于判斷一組數(shù)據(jù)是否有離群點(diǎn)(outr)用于對(duì)變量的標(biāo)準(zhǔn)化處理計(jì)算公式為標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)(性質(zhì))z 分?jǐn)?shù)只是將原始數(shù)據(jù)進(jìn)行了線性變換，它并沒有改變一個(gè)數(shù)據(jù)在該組數(shù)據(jù)中的位置，也沒有改變?cè)摻M數(shù)分布的形狀，而只是使該組數(shù)據(jù)均值為 0，標(biāo)準(zhǔn)差為 1標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)(例題分析)經(jīng)驗(yàn)法則經(jīng)驗(yàn)法則表明：當(dāng)一組數(shù)據(jù)對(duì)稱分布時(shí)約有 68%的數(shù)據(jù)在平均數(shù)加減 1 個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差的范圍之內(nèi)約有 95%

9、的數(shù)據(jù)在平均數(shù)加減 2 個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差的范圍之內(nèi)約有 99%的數(shù)據(jù)在平均數(shù)加減 3 個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差的范圍之內(nèi)不等式切(Chebyshevs inequality )1.如果一組數(shù)據(jù)不是對(duì)稱分布，經(jīng)驗(yàn)法則就不再適用，這時(shí)可使用切它對(duì)任何分布形狀的數(shù)據(jù)都適用不等式，2.切不等式提供的是“下界”，也就是“所占比例至少是多少”3.對(duì)于任意分布形態(tài)的數(shù)據(jù)，根據(jù)切不等式，至少有 1-1/k2 的數(shù)據(jù)落在平均數(shù)加減 k 個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差之內(nèi)。其中 k 是大于 1 的任意值，但不一定是整數(shù)不等式切(Chebyshevs inequality )對(duì)于 k=2，3，4，該不等式的含義是至少有 75%的數(shù)據(jù)落在平均數(shù)加減 2 個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差

10、的范圍之內(nèi)至少有 89%的數(shù)據(jù)落在平均數(shù)加減 3 個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差的范圍之內(nèi)至少有 94%的數(shù)據(jù)落在平均數(shù)加減 4 個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差的范圍之內(nèi)相對(duì)離散程度：離散系數(shù)離散系數(shù)(coefficient of variation)標(biāo)準(zhǔn)差與其相應(yīng)的均值之比對(duì)數(shù)據(jù)相對(duì)離散程度的測度3.消除了數(shù)據(jù)水平高低和計(jì)量的影響用于對(duì)不同組別數(shù)據(jù)離散程度的比較計(jì)算公式為離散系數(shù)(例題分析)離散系數(shù)(例題分析)偏態(tài)偏態(tài)(skewness)統(tǒng)計(jì)學(xué)家 Pearson 于 1895 年首次提出數(shù)據(jù)分布偏斜程度的測度偏態(tài)系數(shù)=0 為對(duì)稱分布偏態(tài)系數(shù) 0 為右偏分布4.偏態(tài)系數(shù) 0 為分布5.偏態(tài)系數(shù)大于 1 或小于-1，被稱為高度偏態(tài)分布；偏態(tài)系數(shù)在 0.51 或-1-0.5 之間，被認(rèn)為是中等偏態(tài)分布；偏態(tài)系數(shù)越接近 0，偏斜程度就越低偏態(tài)系數(shù)(coefficient of skewness)根據(jù)原始數(shù)據(jù)計(jì)算根據(jù)分組數(shù)據(jù)計(jì)算偏態(tài)系數(shù)(例題分析)偏態(tài)系數(shù)(例題分析)峰態(tài)峰態(tài)(kurtosis)統(tǒng)計(jì)學(xué)家 Pearson 于 1905 年首次提出數(shù)據(jù)分布扁平程度的測度峰態(tài)系數(shù)=0 扁平峰度適中峰態(tài)系數(shù)0 為尖峰分布峰態(tài)系數(shù)(coefficient of kurtosis)根據(jù)原始數(shù)據(jù)計(jì)算根據(jù)分組數(shù)據(jù)計(jì)算峰態(tài)系數(shù)(例題分析)用 Excel 計(jì)算描述統(tǒng)計(jì)量用 Excel 計(jì)