一元二次方程的解法公式法因式分解法知識講解

1、一元二次方程的解法(三)-公式法，因式分解法一知識講解(提高)【學(xué)習(xí)目標】.理解一元二次方程求根公式的推導(dǎo)過程，了解公式法的概念，能熟練應(yīng)用公式法解一元二次方程;.正確理解因式分解法的實質(zhì)，熟練運用因式分解法解一元二次方程；.通過求根公式的推導(dǎo)，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)推理的嚴密性及嚴謹性，滲透分類的思想.【要點梳理】要點一、公式法解一元二次方程.一元二次方程的求根公式一元二次方程 笳斗匕二0行0),當4此仝。時，,=土地士!色 2厘. 一元二次方程根的判別式一元二次方程根的判別式：A = 一 4前.當A二2一 4公？ 0時，原方程有兩個不等的實數(shù)根當A=3) 4也r = 0時，原方程有兩個相等的實數(shù)根當

2、A4必：0時，原方程沒有實數(shù)根.用公式法解一元二次方程的步驟用公式法解關(guān)于 x的一元二次方程 一 升上，工+ T =H Uj的步驟:把一元二次方程化為一般形式；確定a、b、c的值(要注意符號)；求出產(chǎn)4叱的值； 若M 4數(shù)2 則利用公式工=一必士%一4”一求出原方程的解;2a若加U之0 ,則原方程無實根要點詮釋：(1)雖然所有的一元二次方程都可以用公式法來求解，但它往往并非最簡單的，一定要注意方法的 選用.(2) 一元二次方程 ax2 bx c 0 (a 0),用配方法將其變形為:(xS)22ab2 4ac4a2xi,2bb2 4ac2a2當 b 4ac 0時，右端是正數(shù).因此，方程有兩個不相

3、等的實根:當b2 4ac 0時，右端是零.因此，方程有兩個相等的實根：x122a當b2 4ac 0時，右端是負數(shù).因此，方程沒有實根.要點二、因式分解法解一元二次方程.用因式分解法解一元二次方程的步驟(1)將方程右邊化為 0；(2)將方程左邊分解為兩個一次式的積；(3)令這兩個一次式分別為 0,得到兩個一元一次方程；(4)解這兩個一元一次方程，它們的解就是原方程的解.常用的因式分解法提取公因式法，公式法(平方差公式、完全平方公式)，十字相乘法等 要點詮釋：(1)能用分解因式法來解一元二次方程的結(jié)構(gòu)特點：方程的一邊是0,另一邊可以分解成兩個一次因式的積；(2)用分解因式法解一元二次方程的理論依據(jù)

4、：兩個因式的積為0,那么這兩個因式中至少有一個等于0；(3)用分解因式法解一元二次方程的注意點：必須將方程的右邊化為0;方程兩邊不能同時除以含有未知數(shù)的代數(shù)式.【典型例題】類型一、公式法解一元二次方程C1.解關(guān)于 x 的方程(m n)x2 (4m 2n)x n 5m 0 .【答案與解析】(1)當m+n= 0且廿0, nw0時，原方程可化為(4m 2m)x m 5m 0 .m w 0,解得 x= 1.(2)當 m+n 0 時，a m n, b 4m 2n, c n 5m, TOC o 1-5 h z ,2,一、2,、，_、一 2_b4ac (4m2n)4(mn)(n5m)36m0 ,x 2n 4

5、m .36m22n 4m |6m|2(m n)2(m n). n 5m一x1 1 , x2 -m n【總結(jié)升華】解關(guān)于字母系數(shù)的方程時，應(yīng)該對各種可能出現(xiàn)的情況進行討論.舉一反三:【變式】解關(guān)于x的方程x2 mx一24，一2 mx 3x(m 1)；【答案】原方程可化為(1 m)x2(m 3)x 2 0,a 1 m, b m 3,c 2,b24ac-2(m 3)8(1 m)2(m 1)20,(m 1)23 m(m 1)2(1 m)2(1 m)x1-2-,x21.1 m用公式法解下列方程:(m-7)(m+3)+(m-1)(m+5)= 4m；【答案與解析】方程整理為m4m 214m 5 4m 0,2

6、m 2m 13 0, TOC o 1-5 h z 2_ 2_b 4ac ( 2)4 1 ( 13) 56,b 、b2 4ac ( 2). 561 .14m -2a2 1mh 1 7T4, m2 1 /T4.【總結(jié)升華】先將原方程化為一般式，再按照公式法的步驟去解 舉一反三：【變式】用公式法解下列方程：13血*2一二口【答案】 a 1,b3m, c 2m2, 2222_ b 4ac (3m)4 1 2m m 03m 小 3m m.x 22 x12m, x2 m.類型二、因式分解法解一元二次方程C3. (2016?荊門)已知3是關(guān)于x的方程x2- (m+1) x+2m=0的一個實數(shù)根，并且這個方程

7、的兩個實數(shù)根恰好是等腰 ABC的兩條邊的邊長，則 ABC的周長為()A. 7 B. 10 C. 11 D. 10 或 11【思路點撥】 把x=3代入已知方程求得 m的值；然后通過因式分解法解方程求得該方程的兩根，即等腰 ABC的兩條邊長，由三角形三邊關(guān)系和三角形的周長公式進行解答即可.【答案】D【解析】解：把x=3代入方程得93 (m+1) +2m=0,解得m=6,則原方程為x2- 7x+12=0,解得 x1=3, x2=4,因為這個方程的兩個根恰好是等腰ABC的兩條邊長，當 ABC的腰為4,底邊為3時，則 ABC的周長為4+4+3=11;當 ABC的腰為3,底邊為4時，則 ABC的周長為3+

8、3+4=10.綜上所述，該 ABC的周長為10或11.故選：D.【總結(jié)升華】 本題考查了一元二次方程的解，考查了解方程，也考查了三角形三邊的關(guān)系.舉一反三：【變式】解方程(2015 茂名校級一模)(1) x2-2x-3=0 ;(2) (x-1 ) 2+2x(x-1)=0 .【答案】解：(1)分解因式得：(x-3) (x+1) =01- x-3=0 , x+1=0 x1=3,x 2=-1.(2)分解因式得：(x-1 ) (x-1+2x) =01- x-1=0 , 3x-1=0- x1 = 1,x 2=-.34 .如果(x2 y2)(x2 y2 2) 3,請你求出x2 y2的值.【答案與解析】設(shè) x2 y2 z,z(z-2)=3.整理得：z2 2z 3 0 ,(z-3)(z+1)=0.z 1 = 3, Z2= -1 . z x2 y2 0, z =-1(不合題意，舍去)z =3.即x2 y2的值為3.如果把 x2 y 2 視為一個整體，則已知條件可以轉(zhuǎn)化成一個一元二次方程的形式，用因式分解法可以解這