第二篇積分變換1拉普拉斯變換

1、第二篇 積分變換內(nèi)容要點拉普拉斯變換的概念拉普拉斯逆變換拉普拉斯變換的性質(zhì)拉普拉斯變換的應用第2章 拉普拉斯變換1教學要求正確理解拉普拉斯變換的概念，知道拉氏變換的存在定理，會求一些常用函數(shù)的拉普拉斯變換，正確理解拉氏變換的線性、微分、積分、位移及延遲性質(zhì)，了解初值定理與終值定理以及它們在計算拉氏變換中的應用。會用部分分式的方法及查表的方法求拉氏逆變換。掌握拉氏變換的卷積性質(zhì)，會利用這一性質(zhì)求一些函數(shù)的拉氏逆變換。會用拉普拉斯變換方法求解線性微分方程及微分方程組。重點：拉普拉斯變換的概念、性質(zhì)、應用。難點拉普拉斯變換存在定理的證明。22.1 拉普拉斯變換的概念 由上章可知，需進行傅氏變換的函數(shù)

2、應滿足傅氏積分存在定理的兩個條件，即(1)在任一有限區(qū)間上滿足狄利克雷條件；(2)在無限區(qū)間 上絕對可積而傅氏變換存在兩個缺點 缺點1：條件(2)過強在實際應用中，許多函數(shù)不能滿足條件(2) 案例單位階躍函數(shù)、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)等，雖滿足狄利克雷條件，但非絕對可積因此，對這些函數(shù)就不能進行古典意義下的傅氏變換盡管在上一節(jié)里，通過引入函數(shù)，在廣義下對非絕對可積函數(shù)進行了傅氏變換，但函數(shù)使用很不方便.3 缺點2：進行傅氏變換的函數(shù)須在上 有定義 案例在物理、無線電技術、機械工程等實際應用中，許多以時間t為自變量的函數(shù)在t0時是無意義的或者是無需考慮的.因此，對這些函數(shù)也不能進行傅氏變換 由此可見，

3、傅氏變換的應用范圍受到了極大的限制，必須引入一種新的變換 42.1.1 拉普拉斯積分 若時間函數(shù) f(t) 在 t 0 有定義，則 f(t) 的拉普拉斯積分的含復參變量s的廣義積分為 可以預見，上述積分是收斂的。復頻函數(shù)復頻率1. 拉普拉斯積分的概念5例2.1 求單位階躍函數(shù)的拉普拉斯積分解積分在b+時，當且僅當Re(s) 0才有極限，因此6例2.2 求的拉普拉斯積分根據(jù)定義， 當時，該積分收斂，且 解（其中為任意復數(shù)）7例2.3 求正弦函數(shù) 的復頻函數(shù) 解 則所以8同理可得9定理2.1 若函數(shù)f(t)滿足:1, 在t 0的任一有限區(qū)間上分段連續(xù)2, 當t時, f(t)的增長速度不超過某一指數(shù)

4、函數(shù), 即存在常數(shù)M 0及c0, 使得|f(t)| M ect, 0tc上一定存在, 右端的積分在Re(s)c1c上絕對收斂而且一致收斂, 并且在Re(s)c的半平面內(nèi), f(s)為解析函數(shù).2. 拉普拉斯積分存在定理10MMectf(t)tO11證 由條件2可知, 對于任何t 值(0 t 0 (即b c +e =c1c), 則|f(t)e-st|Me-et.所以根據(jù)含參量廣義積分的性質(zhì)可知, 在Re(s) c1 c上拉氏變換的積分不僅絕對收斂而且一致收斂.12在下式的積分號內(nèi)對s求導, 則由此可見, 上式右端的積分在半平面 Re(s) c1 c內(nèi)也是絕對收斂且一致收斂, 從而微分與積分可以交

5、換13因此得這就表明, F(s)在Re(s) c內(nèi)是可微的. 根據(jù)復變函數(shù)的解析函數(shù)理論可知, F(s)在Re(s) c內(nèi)是解析的.14 G-函數(shù)(gamma函數(shù))簡介, 在工程中經(jīng)常應用的G-函數(shù)定義為利用分部積分公式可證明15例2.4 求冪函數(shù)f(t)=tm (常數(shù)m-1)的拉氏積分為求此積分, 若令st =u, s為右半平面內(nèi)任一復數(shù), 則得到復數(shù)的積分變量u（u為復數(shù)）. 因此, 可先考慮積分16積分路線是OB直線段, B對應著sR=rRcosq+jrRsinq, A對應著rRcosq, 取一很小正數(shù)e, 則C對應se=recosq+jresinq, D對應recosq. 考察R, 的

6、情況.qaODCAt (實軸)虛軸Bv17根據(jù)柯西積分定理, 有-+=+=101de1suusCDBCABDAmDABCDummqaODCAt (實軸)虛軸Bv18qaODCAt (實軸)虛軸Bv0+-+-+-+=11coscos11)1(de1de1de1mttuusuusmtmmRrRrummDAummqqeGss19-+-+-+-+-=-=010111de1de1de1de1uusuusuusuusummRsRsummCBummBCummeeqaODCAt (實軸)虛軸Bv+=1)1(mm-Gs20qaODCAt (實軸)虛軸Bv=+-+-+sinjcoscos11de1de1qqqrR

7、rRrRummABummuusuus21+=+=-+-+-+|sin|0cos1sin0)jcos(1sinjcoscos1d|)jcos(e|1d)jcos(ejde1jdd,jcosqqqqqqqqqqrRmrRmrRmvrRmrRrRrRummvvrRsvvrRsuusvuvrRu令22+=+-+-+rRmrRmrRmrRmvvRrsvvrRsd)cos(e|1d|)jcos(e|1|sin|022222cos1|sin|0cos1qqqqqq23=+-+-+ABRRmmrRmmmrRmrRsrRsrRvrRv00dsec)cos(e|1dsec)cos(e|1dseccosd,tanc

8、os|021cos1|021cos12即上式令qqqqaaqaaqaaqaq24同理2526當令x = u2，我們有 這就得時27換成極坐標（，），其中最后這個積分變成所以得282017年5月2日星期二29 定義2.1 設函數(shù) 當 時有定義，且廣義積分數(shù)為s的函數(shù)在s的某一區(qū)域內(nèi)收斂，則由此積分確定的參 (2-3)叫做函數(shù)的拉普拉斯變換，記作 函數(shù) 叫做 變換的像原函數(shù)2.1.2 拉普拉斯變換函數(shù)F(s)也可叫做 的像函數(shù)30例2.5 求函數(shù)的拉普拉斯變換因為 解（其中k為任意復數(shù)）所以 31采用同樣的方法我們可得由前面的例題，我們可得拉普拉斯變換公式：32 例2.6 求狄立克雷函數(shù) 的拉氏變

9、換。 在具體求解運算之前，先把拉普拉斯變換中積分下限的問題加以澄清。 若函數(shù)f(t)滿足拉普拉斯積分存在定理，在t=0處有界，此時積分中的下限取0+或0-不會影響其結果，但當f(t)在t=0處為函數(shù)，或包含了 函數(shù)時，拉氏積分的下限就必須明確指出是0+還是0-，因為稱為0+系統(tǒng)，在電路上0+表示換路后的初始時刻；解33稱為0-系統(tǒng)，在電路上0-表示換路后的初始時刻；可以證明，當f(t)在 t = 0 附近有界時，則即注意：當f(t)在t=0處包含一個函數(shù)時即34 為此，將進行拉氏變換的函數(shù)f(t)，當t 0時的定義擴大到當t 0及t = 0的任意一個領域。這樣拉氏變換的定義應為為書寫方便，該定

10、義仍寫為原來的形式。即35解 先對 作拉氏變換的拉氏變換為用羅必達法則計算此極限，得所以 方法2：36同理 例2.7 求函數(shù)的拉普拉斯變換解注意L-的意思37注：拉氏變換中的像原函數(shù)在t0時，一律定義為f ( t )=0。這是因為拉氏變換只以區(qū)間0 t c0，c0為增長指數(shù)。要由上式積分求拉氏逆變換通常比較困難，但當F(s)滿足一定條件時，可以用留數(shù)方法來求之。45 設 除在半平面 內(nèi)有限個孤立奇點 外是解析的，且當 時， ，則有即定理2.3證明略虛軸實軸46例2.8 求由定理解而為函數(shù)的兩個一階極點注意：不要遺忘 。47故例2.9 求函數(shù)的拉氏逆變換。解因為為二階極點，為一階極點，48所以4

11、9一般若其中和是不可約的多項式，的次數(shù)是n且大于的次數(shù)，在這種情況下滿足定理的條件，也可采用求 的逆變換。501. 線性性質(zhì) 若為任意常數(shù)，且 ，則證2.3 拉普拉斯變換的性質(zhì)51根據(jù)逆變換的定義，不難證明第二式具體留給讀者去證明 已知則同理例：例2 求 函數(shù) 的拉氏變換.解52求像原函數(shù)的部分分式法 在用拉氏變換解決工程技術中的應用問題時，經(jīng)常遇到的像函數(shù)是有理分式一般可將其分解為部分分式之和，然后再利用拉氏變換表求出像原函數(shù)例1 求 的原函數(shù)。解：首先用部分分式展開法，將所給的象函數(shù)展開：其中，A、B是待定系數(shù)，將上式進行通分后可得：53比較以上后兩式的分子，可得：通過查表，可求得：參看教

12、材P270附錄C 1，254 例2 求 的拉氏逆變換解 設用待定系數(shù)法求得 所以 則有 55例3 求 的拉氏逆變換 解 先將 分解為部分分式之和設用待定系數(shù)法，求得 參看教材P270附錄C 1，2和像函數(shù)的位移性質(zhì)56所以 于是 = =參看教材P270附錄C 2、16、1557例4 求下列函數(shù)的拉氏逆變換： （1） ； （2） ； 解 （1）查表，取 可得（2）查表，取 可得 注意：582. 微分性質(zhì) 性質(zhì)2表明，一個函數(shù)求導后取拉氏變換，等于這個函數(shù)的拉氏變換乘以參數(shù)再減去這個函數(shù)的初值此性質(zhì)可以推廣到函數(shù)的n階導數(shù)的情形 推論 若 ，則特別地，若 ，則若則（1） 像原函數(shù)的微分性質(zhì)59（2

13、）像函數(shù)的微分性質(zhì)證（1）根據(jù)拉氏變換的定義，得對等式右邊利用分部積分法，得60所以同理以此類推，便可得61特別地，當f(t)含有脈沖函數(shù)(t)時（2）由于F(s)在Re(s)c0內(nèi)解析，因而注意0右上角的負號62用同樣的方法可求得利用像原函數(shù)的微分性質(zhì)可以把關于f(t)的微分轉為對F(s)代數(shù)運算。利用像函數(shù)的微分性質(zhì)可以把求像函數(shù)的導數(shù)轉為求像原函數(shù)乘以(-t)n的拉氏變換，亦可反過來求解問題。63例2.13 用微分性質(zhì)求解 令 ，則即 移項并化簡，即得64例1 求函數(shù)解 因為 同理, 所以,65例2.15 求函數(shù) 的拉氏逆變換。 解 由得 所以 查拉氏變換表得663.積分性質(zhì)，則 證 設

14、 ，則 由微分定理，有 即 設（1）像原函數(shù)的積分性質(zhì)67由可得一般地對應n重積分，我們有 由此，可以把關于像原函數(shù)的積分運算轉化為對像函數(shù)的代數(shù)運算。68證 由拉氏變換的定義式出發(fā)，隨后交換積分次序 （2） 像函數(shù)的積分性質(zhì)69條件下是一致收斂的 上面交換積分次序的根據(jù)是 在滿足 重復上述過程，可得 次70推論若令積分下限s=0，則 且積分收斂例2.16 求 解 因為 所以 順便可得71例2.17 計算積分解 因為所以72本次習題P236 2.1.1 2.2.1 2.3.1734. 延遲性質(zhì)若設為非負實數(shù)， ，時， ，則或 又當 證 由定義出發(fā)，隨后令 ，可得 74利用0時，=0，積分下限可

15、改為零，故得 函數(shù) 與 相比，滯后了 個單位，若 表示時間，性質(zhì)4表明，時間延遲了 個單位，相當于像函數(shù)乘以指數(shù)因子 ，如下圖所示75解 由 及性質(zhì)4可得例2.18 求函數(shù)的拉氏變換 76例2 已知 ，求 解 用階躍函數(shù)表示 再利用線性定理及延遲定理，有77拉氏變換例3、求如由圖所示的分段函數(shù)解 由u(ta) -u(tb) =得78解例2.19 求如右圖所示階梯函數(shù)f (t)的拉氏變換 。利用單位階梯函數(shù)，可將這個函數(shù)表示為再利用線性性質(zhì)和延遲性質(zhì)可得79所以 應用延遲性質(zhì)，我們還可以求周期函數(shù)的拉氏變換，即 設fT(t)(t0)是以T為周期的周期函數(shù)，如果 則說明 事實上在第k+1個周期內(nèi)8

16、0 不妨設在tT上有f(t)=0，應用延遲性質(zhì)得因此81解例2.20 求全波整流函數(shù) f(t)=sint(t0)的拉氏變換 。由知82的拉氏逆變換例2.21 求函數(shù)解 因為由得知835. 位移性質(zhì)，則有 其中是的增長指數(shù)證明 根據(jù)拉氏變換的定義若 該性質(zhì)表明，一個函數(shù)乘以指數(shù)函數(shù)eat后的拉氏變換等于其像函數(shù)作位移a。84例5 求 解 令 =，則由 得 利用位移定理 ，即有 85例6 求 及 解 由平移性質(zhì)及得 86例2.22 求 的拉氏逆變換解 由位移性質(zhì)知87的拉氏變換例2.23 求函數(shù)解 由積分性質(zhì)知由微分性質(zhì)知88由位移性質(zhì)知故89*6. 相似性質(zhì) 設 ，則對于大于零的常數(shù) C，有 證

17、 由定義出發(fā)，隨后作變量代換 ，則 在實際中，常常希望改變時間的比例尺，或者將一個給定的時間函數(shù)標準化后再求它的拉氏變換，這時就要用到這個性質(zhì)。90的拉氏變換例2.24 求函數(shù)解 依相似性質(zhì)有依延遲性質(zhì)有故917. 卷積與卷積定理定義 2.3 拉氏變換的卷積前一章我們學習了傅氏變換的卷積概念和性質(zhì)，是 上絕對可積函數(shù)時，它們的卷積是 當如果當時，有則上式可寫為，92因為在拉氏變換中總認為 時，因此把上式定義為拉氏變換的卷積恒為零，像函數(shù) 卷積滿足交換律 卷積滿足對加法的分配率 93例7 對函數(shù)計算 上的卷積 解94例2.25 設函數(shù)求解依卷積定義，有95 定理2.4 拉氏變換的卷積定理 或首先

18、由卷積定義及拉氏變換定義出發(fā)，隨后交換積分次序，并作變量代換： 證96由于當時=0 ，第二個積分下限可寫成零，再將 提出第二個積分號外，便有 97應用拉普拉斯變換法時經(jīng)常要求解 ，若 能分解為 ，對上式作逆變換，即有 應用卷積定理，可以將復雜的卷積運算所表達的積分，改變成簡單的代數(shù)乘法運算。故卷積定理常被用來將一些難于計算出的積分十分簡單地加以證明。98例如在半無限長棒傳導理論中占有重要地位的函數(shù)有而因此，由定理得不難推證，若則99的拉氏逆變換例2.26 求函數(shù)解 因為由卷積定理知100的拉氏逆變換例2.27 求函數(shù)解 因為由位移性質(zhì)知故由卷積定理得101102的解。例2.28 求積分方程解

19、因為對積分方程兩邊同時實施拉氏變換得由卷積定理知故103*8. 初值定理和終值定理（1）初值定理則（2）終值定理設且存在設且存在則1042.4 拉普拉斯變換的應用 2.4.1線性微分方程及微分方程組 物理、力學以及工程上的許多問題，可以歸結為求解微分方程的問題拉普拉斯變換解法主要借助于拉氏變換把常系數(shù)線性微分方程(組)轉換成復變數(shù)的代數(shù)方程組根據(jù)代數(shù)方程求出像函數(shù)，然后再取逆變換即可求出原微分方程(組)的解方法簡便、為工程技術人員所普遍采用下面通過例題來說明該方法的應用 例1 求方程 滿足初始條件 解 設 y(t)Y(s)，對方程兩邊同取拉氏變換并考慮到初始條件，得的解1. 解常系數(shù)線性微分方

20、程初值問題105因此有 查表可得 這就是所求的解 例2 求方程 滿足初始條件的解 解 設 y(t)Y(s)，對方程兩邊同取拉氏變換并考慮到初始條件，得到 y= t ,整理得 106這是含未知量Y(s)的代數(shù)方程，整理后解出Y(s)得： 取它的逆變換便可以得出所求函數(shù)y(t),故 振動問題是日常及工程技術中經(jīng)常遇到的，例如機床主軸的振動，電路中的電磁振蕩，減振彈簧的振動等等，一般可歸結為微分方程的問題來討論下面以無阻尼強迫振動為例說明其應用 107 例3.右圖所示為一彈簧質(zhì)量系統(tǒng)，在外力f(t)的作用下，物體在平衡位置開始運動，求其運動規(guī)律(設f(t)=(t)即一單位脈沖力)解 該系統(tǒng)的動力學微分方程為其初始條件為對方程兩邊取拉氏變換， 設y(t)Y(s)，f(t)F(s)， 并由初始條件，得到整理得 對方程兩邊取拉氏變換并代入初始條件得 108令 則 故 由此可知，在瞬時沖擊力作用下，物體的運動為一正弦振動，振幅為 ，角頻率為 (亦稱固有頻率) 2電路問題的拉普拉斯變換解法拉普拉斯變換可用在解電路問題中，下面考察RLC電路109 例4 在RLC電路中，串接直流電源E(下圖所示)，求回路電流i(t)解 根據(jù)基爾霍夫定律，有其中 即而 將它