插值法和數(shù)值微分

1、關(guān)于插值法與數(shù)值微分第一張，PPT共七十八頁，創(chuàng)作于2022年6月引 言 插值法在工程及建筑設(shè)計中應(yīng)用十分廣泛。例如，已知一天24小時的逐時室外氣溫、綜合溫度、冷熱負(fù)荷等值，需要知道其他任意時刻的值，即可應(yīng)用插值計算求得；又如，我國工業(yè)企業(yè)采取通風(fēng)和空氣調(diào)節(jié)設(shè)計規(guī)范中，僅給出了有限個地區(qū)相應(yīng)有限個方位的夏季太陽輻射熱總強(qiáng)度值，以及透過窗玻璃的太陽總輻射強(qiáng)度值，至于其它任意方位（0-350）的中間值，也要用插值法求得。因此，插值法的研究很有必要。 實際中，f(x)多樣，復(fù)雜，通常只能觀測到一些離散數(shù)據(jù)；或者f(x)過于復(fù)雜而難以運(yùn)算。這時我們要用近似函數(shù)g(x)來逼近f(x)。這個過程就是曲線擬

2、合。第二張，PPT共七十八頁，創(chuàng)作于2022年6月 常用曲線擬合方法：插值法、最小二乘法 自然地，希望g(x)通過所有的離散點x0 x1x2x3x4xg(x) f(x)本章學(xué)習(xí)插值法曲線擬合的幾何意義第三張，PPT共七十八頁，創(chuàng)作于2022年6月第四張，PPT共七十八頁，創(chuàng)作于2022年6月插值函數(shù)的幾何意義yx第五張，PPT共七十八頁，創(chuàng)作于2022年6月2-1 線性插值和拋物插值一、線性插值yxy=（） 圖 2-1第六張，PPT共七十八頁，創(chuàng)作于2022年6月優(yōu)點：計算簡單，以直線代替曲線。缺點：精度低，誤差大。改進(jìn)：多用一些點。第七張，PPT共七十八頁，創(chuàng)作于2022年6月【例】已知某多

3、葉調(diào)節(jié)風(fēng)閥。當(dāng)葉片數(shù)為n=3時，葉片與氣流方向呈各種角度時。某局部阻力系數(shù)值如下表表示：求當(dāng)?shù)扔?0時，多葉調(diào)節(jié)風(fēng)閥的局部阻力系數(shù)的線形插值。并將其代入線性插值公式，有第八張，PPT共七十八頁，創(chuàng)作于2022年6月幾何意義：通過三點A、B、C的拋物線代替曲線其中 為待定常數(shù)。若將A，B，C三點分別代入上式會得到一個有唯一解的三元一次方程，從而 即可確定，但求起來比較麻煩。第九張，PPT共七十八頁，創(chuàng)作于2022年6月簡便算法：見下一頁第十張，PPT共七十八頁，創(chuàng)作于2022年6月拋物插值公式：（二次插值公式）稍加整理即得拋物插值公式。第十一張，PPT共七十八頁，創(chuàng)作于2022年6月【例3】 分

4、別計算下列各題： 1）利用100和121求平方根115； 2）利用100，121和144求平方根115。 解:用線形插值求解問題1）與所求平方根的實際值10.72387比較，得到了具有三位有效數(shù)字的結(jié)果10.71428 。第十二張，PPT共七十八頁，創(chuàng)作于2022年6月用拋物插值求解問題2） 與平方根實際值10.7238比較，10.72275551具有四位有效數(shù)字，顯然比線形插值的結(jié)果好。一般地說，拋物插值比線形插值近似程度要好些。 第十三張，PPT共七十八頁，創(chuàng)作于2022年6月一、拉格朗日插值公式：問題提出： 這節(jié)就具有一般形式的代數(shù)插值問題（即已知函數(shù) 在n+1個點上的函數(shù)值 求一個n次

5、多項式 ，并滿足條件 ， ）來討論如何構(gòu)造其插值多項式 。 2-2 拉格朗日插值多項式第十四張，PPT共七十八頁，創(chuàng)作于2022年6月第十五張，PPT共七十八頁，創(chuàng)作于2022年6月第十六張，PPT共七十八頁，創(chuàng)作于2022年6月這就是所要求的插值多項式，稱為拉格朗日（Lagrange）插值多項式。當(dāng)n=1時，就得出線形插值多項式， n=2時，就得出拋物插值多項式。 第十七張，PPT共七十八頁，創(chuàng)作于2022年6月二、拉格朗日插值余項：插值余項：定理：第十八張，PPT共七十八頁，創(chuàng)作于2022年6月證明：當(dāng) X為節(jié)點時，兩邊皆為0，顯然成立。下設(shè) X 不為節(jié)點。作輔助函數(shù)第十九張，PPT共七十

6、八頁，創(chuàng)作于2022年6月即問題得證。這個定理所講的余項用起來有一定的困難 ，因為實際計算時，只是給出 的一張數(shù)據(jù)表，并未給出具體的解析式子，故 并不知道，所以 也就無法得到。 第二十張，PPT共七十八頁，創(chuàng)作于2022年6月第二十一張，PPT共七十八頁，創(chuàng)作于2022年6月【例4】在例3中分別用線性插值 和拋物插值計算了 的近似值，試估計它們的截斷誤差。第二十二張，PPT共七十八頁，創(chuàng)作于2022年6月第二十三張，PPT共七十八頁，創(chuàng)作于2022年6月第二十四張，PPT共七十八頁，創(chuàng)作于2022年6月解：記由插值多項式有故根據(jù)余項公式，若能估計出的上界 ，那么將有第二十五張，PPT共七十八頁

7、，創(chuàng)作于2022年6月三、插值誤差的事后估計法第二十六張，PPT共七十八頁，創(chuàng)作于2022年6月利用余項公式知：第二十七張，PPT共七十八頁，創(chuàng)作于2022年6月稍加整理得：這種用計算的結(jié)果來估計誤差的辦法，通常稱為事后估計，在計算中是常用的，這種估計誤差的方法，將貫穿我們計算方法這門課程的始終。 第二十八張，PPT共七十八頁，創(chuàng)作于2022年6月四、拉格朗日插值多項式的優(yōu)缺點：優(yōu)點：拉格朗日插值多項式結(jié)構(gòu)對稱，使用方便 缺點：a.不具備遞推性，當(dāng)需要增加節(jié)點時需要重新計算；b.龍格（Runge）現(xiàn)象:高次拉格朗日插值多項式穩(wěn)定性差，對于計算過程的舍入誤差十分敏感，當(dāng)插值節(jié)點增多時，不能保證非

8、節(jié)點處的插值精度得到改善，有時反而誤差更大。 龍格就給出了一個例子：設(shè)被插值函數(shù)第二十九張，PPT共七十八頁，創(chuàng)作于2022年6月取等矩節(jié)點 ，作拉格朗日插值多項式 。當(dāng) n=10 時，函數(shù) 及插值多項式 的圖形如下所示。由圖可見，在區(qū)間-0.2，0.2上 比較接近 ,但在區(qū)間-1，1兩端則誤差很大。當(dāng) n 增大時，部分區(qū)間上插值多項式截斷誤差偏大的現(xiàn)象更重。這種現(xiàn)象稱龍格現(xiàn)象。-11x0.51.01.5y0龍格現(xiàn)象為避免龍格現(xiàn)象和不穩(wěn)定，通常限定n7，不采用高次插值多項式。第三十張，PPT共七十八頁，創(chuàng)作于2022年6月2-3 分段插值法問題提出： 適當(dāng)提高插值多項式的次數(shù)，可以提高計算的精

9、確度，但次數(shù)太高又會產(chǎn)生不好的效果。因為次數(shù)越高，計算越繁，積累誤差就越大；曲線就會出現(xiàn)過多的扭擺。當(dāng)局部插值點有微小變動時，就可能引起曲線大幅度的變化，使計算很不穩(wěn)定。因此，插值多項式次數(shù)越高，其所求得的插值越顯得不可靠，從而也大大降低了它的工程應(yīng)用價值。這也就是很少采用拉格朗日插值公式的原因。因此，在工程應(yīng)用中，多采用分段插值法。即將插值區(qū)間分為若干個小段，在每一小段上使用低階插值如線形插值或拋物插值。 設(shè)已給出一系列離散結(jié)點： 應(yīng)用低階插值的關(guān)鍵是恰當(dāng)?shù)靥暨x插值結(jié)點。余項公式說明，選取的結(jié)點 離插值點 越近，誤差 就越小，因而插值效果也就越好。因此應(yīng)當(dāng)盡量在插值點的鄰近選取插值結(jié)點。 第

10、三十一張，PPT共七十八頁，創(chuàng)作于2022年6月一、分段線性插值 這種分段低次插值叫做分段線性插值。在幾何上就是用折線代替曲線，故分段線性插值又稱折線插值。第三十二張，PPT共七十八頁，創(chuàng)作于2022年6月000（i=1,2，n-1）第三十三張，PPT共七十八頁，創(chuàng)作于2022年6月二、分段拋物插值以三個節(jié)點為例，公式為：第三十四張，PPT共七十八頁，創(chuàng)作于2022年6月其節(jié)點的選取方法為：-式（2.13）式（2.13）稱為分段拋物插值公式。第三十五張，PPT共七十八頁，創(chuàng)作于2022年6月解：在各節(jié)點的函數(shù)值為由此求出分段線性插值基函數(shù):第三十六張，PPT共七十八頁，創(chuàng)作于2022年6月故有

11、第三十七張，PPT共七十八頁，創(chuàng)作于2022年6月2-4 牛頓插值多項式對于n+1個節(jié)點的插值問題, 將 n 次插值多項式寫成如下形式 多項式稱為牛頓(Newton)插值多項式. 形如上式的插值 為待定系數(shù). 第三十八張，PPT共七十八頁，創(chuàng)作于2022年6月第三十九張，PPT共七十八頁，創(chuàng)作于2022年6月一、向前差分與牛頓向前插值公式第四十張，PPT共七十八頁，創(chuàng)作于2022年6月差分表第四十一張，PPT共七十八頁，創(chuàng)作于2022年6月將其代入牛頓插值公式，得牛頓向前插值公式，簡稱前插公式。第四十二張，PPT共七十八頁，創(chuàng)作于2022年6月-表2.3第四十三張，PPT共七十八頁，創(chuàng)作于20

12、22年6月第四十四張，PPT共七十八頁，創(chuàng)作于2022年6月用二次插值得用三次插值得第四十五張，PPT共七十八頁，創(chuàng)作于2022年6月第四十六張，PPT共七十八頁，創(chuàng)作于2022年6月二、向后差分與牛頓向前后插值公式第四十七張，PPT共七十八頁，創(chuàng)作于2022年6月【例10】已知函數(shù)表同例9，計算sin(0.58)，并估計截斷誤差.因三階向后差分接近于常數(shù)，故用三次插值進(jìn)行計算,且于是由后插公式得第四十八張，PPT共七十八頁，創(chuàng)作于2022年6月第四十九張，PPT共七十八頁，創(chuàng)作于2022年6月定義 1 記 稱為關(guān)于xi 的零階均差.稱 為關(guān)于 xi , xi+1 的一階均差. 稱為二階均差.

13、三、差商與牛頓基本插值多項式第五十張，PPT共七十八頁，創(chuàng)作于2022年6月一般地, k 階均差為 均差有如下基本性質(zhì)： 定理 1: (1) 均差與函數(shù)值的關(guān)系為(2) 均差與節(jié)點的排列順序無關(guān), 即 第五十一張，PPT共七十八頁，創(chuàng)作于2022年6月(4) 若函數(shù) 在 上存在n 階導(dǎo)數(shù),且節(jié)點 則 使得 第五十二張，PPT共七十八頁，創(chuàng)作于2022年6月53三、均差的計算方法(表格法):規(guī)定函數(shù)值為零階均差均差表第五十三張，PPT共七十八頁，創(chuàng)作于2022年6月解：先構(gòu)造差商表如表2-5所示。由表可以看出牛頓基本插值多項式中各系數(shù)為表2.5第五十四張，PPT共七十八頁，創(chuàng)作于2022年6月故

14、用線性插值所得的近似值為用拋物插值所得的近似值為第五十五張，PPT共七十八頁，創(chuàng)作于2022年6月2-5 三次樣條插值 樣條這一名詞來源于工程中的樣條曲線，繪圖員為了將一些指定點（稱作樣點）鏈接成一條光滑曲線，往往用細(xì)長的木條（稱作繪圖員的樣條）把相近的幾點連接在一起，再逐步延伸連接起全部指定點，使形成一條光滑的樣條曲線，它在連接點處具有連續(xù)曲率，我們對繪圖員的樣條曲線進(jìn)行數(shù)學(xué)模擬，得出的函數(shù)叫做樣條函數(shù)，它在連接處具有一階和二階連續(xù)微商。第五十六張，PPT共七十八頁，創(chuàng)作于2022年6月一、三次樣條插值函數(shù)的定義定義：-(1)第五十七張，PPT共七十八頁，創(chuàng)作于2022年6月二、邊界條件問題

15、的提出與類型-(2)第五十八張，PPT共七十八頁，創(chuàng)作于2022年6月-(3)-(4)第五十九張，PPT共七十八頁，創(chuàng)作于2022年6月并且我們不能只對插值函數(shù)在中間節(jié)點的狀態(tài)進(jìn)行限制也要對插值多項式在兩端點的狀態(tài)加以要求也就是所謂的邊界條件:第一類(一階)邊界條件：第二類(二階)邊界條件：第三類(周期)邊界條件：少兩個條件-(6)-(5)-(7)第六十張，PPT共七十八頁，創(chuàng)作于2022年6月加上任何一類邊界條件(至少兩個)后一般使用第一、二類邊界條件,即-(8)或常用第二類邊界條件第六十一張，PPT共七十八頁，創(chuàng)作于2022年6月-(9)第六十二張，PPT共七十八頁，創(chuàng)作于2022年6月加

16、以整理后可得-(10)-(11)第六十三張，PPT共七十八頁，創(chuàng)作于2022年6月由條件由于以上兩式相等,得第六十四張，PPT共七十八頁，創(chuàng)作于2022年6月-(12)第六十五張，PPT共七十八頁，創(chuàng)作于2022年6月如果問題要求滿足第一類(一階)邊界條件:-(5)基本方程組(12)化為n-1階方程組-(13)即將(13)式化為矩陣形式第六十六張，PPT共七十八頁，創(chuàng)作于2022年6月-(14)這是一個三對角方程組如果問題要求滿足第二類(二階自然)邊界條件:-(6)第六十七張，PPT共七十八頁，創(chuàng)作于2022年6月由(11)式,可知-(15)-(16)第六十八張，PPT共七十八頁，創(chuàng)作于2022年6月-(17)-(18)與基本方程組(12)聯(lián)合,并化為矩陣形式,得-(19)第六十九張，PPT共七十八頁，創(chuàng)作于2022年6月(19)式與(14)一樣,都是三對角方程組,并且都嚴(yán)格對角占優(yōu)可以使用追趕法求解,并且解是唯一的現(xiàn)在回到(10)式第七十張，PPT共七十八頁，創(chuàng)作于2022年6月例1. 對于給定的節(jié)點及函數(shù)值解:由(12