尼科爾森《微觀經(jīng)濟(jì)理論基本原理與擴(kuò)展》(第9版)課后習(xí)題詳解(第2章最優(yōu)化的數(shù)學(xué)表達(dá))

1、985/211歷年真題解析，答案，核心考點(diǎn)講義，你想要的都在這一經(jīng)濟(jì)學(xué)歷年考研真題及詳解尼科爾森微觀經(jīng)濟(jì)理論-基本原理與擴(kuò)展（第9版）第2章最優(yōu)化的數(shù)學(xué)表達(dá)課后習(xí)題詳解跨考網(wǎng)獨(dú)家整理最全經(jīng)濟(jì)學(xué)考研真題，經(jīng)濟(jì)學(xué)考研課后習(xí)題解析資料庫，您可以在這里查閱歷年經(jīng)濟(jì)學(xué)考研真題，經(jīng)濟(jì)學(xué)考研課后習(xí)題，經(jīng)濟(jì)學(xué)考研參考書等內(nèi)容，更有跨考考研歷年輔導(dǎo)的經(jīng)濟(jì)學(xué)學(xué)哥學(xué)姐的經(jīng)濟(jì)學(xué)考研經(jīng)驗(yàn)，從前輩中獲得的經(jīng)驗(yàn)對(duì)初學(xué)者來說是寶貴的財(cái)富，這或許能幫你少走彎路，躲開一些陷阱。以下內(nèi)容為跨考網(wǎng)獨(dú)家整理，如您還需更多考研資料，可選擇經(jīng)濟(jì)學(xué)一對(duì)一在線咨詢進(jìn)行咨詢。1.已知U(x,y)，4x2+3y2。（1）計(jì)算偏導(dǎo)數(shù)Ux，Udy。（

2、2）求出上述偏導(dǎo)數(shù)在x，1，y，2處的值。（3）寫出U的全微分。（4）計(jì)算dU，0時(shí)dy/dx的值這意味著當(dāng)U保持不變時(shí)，x與y的替代關(guān)系是什么？（5）驗(yàn)證：當(dāng)x，1，y，2時(shí)，U，16。（6）當(dāng)保持U，16時(shí)，且偏離x，1，y，2時(shí)，x和y的變化率是多少？（7）更一般的，當(dāng)U，16時(shí)，該函數(shù)的等高線是什么形狀的？該等高線的斜率是多少？解：（1）對(duì)于函數(shù)U（x,y），4x2+3y2，其關(guān)于x和y的偏導(dǎo)數(shù)分別為:UUx（2）當(dāng)x，1，y，2時(shí)，（1）中的偏微分值分別為:UoU，8，xx=1yy=2，12985/211歷年真題解析，答案，核心考點(diǎn)講義，你想要的都在這一經(jīng)濟(jì)學(xué)歷年考研真題及詳解dyd

3、x-4x13x2，-2/3（3）U的全微分為:dU，dx+dy，8xdx+6ydyxdy（7）當(dāng)U，16時(shí)，該函數(shù)變?yōu)椋?x2+3y2,16，因而該等高線是一個(gè)中心在原點(diǎn)的橢圓。由當(dāng)dU，0時(shí)，由（3）可知：8xdx+6ydy，0，從而可以解得：y，*x，“x。dx6y3y將x，1，y，2代入U(xiǎn)的表達(dá)式，可得：U，4x1+3x4，16。由（4）可得，在x，1，y，2處，當(dāng)保持U，16不變，即dU，0時(shí)，有：可知，該等高線在（x，y）處的斜率為：dy,-加2假定公司的總收益取決于產(chǎn)量（q）,即總收益函數(shù)為：R70q-q2;總成本也取決于產(chǎn)量（q）:Cq2,30q,100。（1）為了使利潤（R-C

4、）最大化，公司的產(chǎn)量水平應(yīng)該是多少？利潤是多少？（2）驗(yàn)證：在（1）中的產(chǎn)量水平下，利潤最大化的二階條件是滿足的。（3）此處求得的解滿足“邊際收益等于邊際成本”的準(zhǔn)則嗎？請(qǐng)加以解釋。解：（1）公司的利潤函數(shù)為：冗RC-2q2,40q100利潤最大化的一階條件為：d冗=-4q+40=0dq從而可以解得利潤最大化的產(chǎn)量為：q10；相應(yīng)的最大化的利潤為：冗-2102+4010-100100。（2）在q10處，利潤最大化的二階條件為：d2兀-40，因而滿足利潤最大化的二dq2階條件。（3）在q10處，邊際收益為：MRdR70-2q50；dq邊際成本為：MCdC2q,3050；dq因而有MR=MC=50

5、，即“邊際收益等于邊際成本”準(zhǔn)則滿足。3.假設(shè)f（x,yLxy。如果x與y的和是1，求此約束下f的最大值。利用代入消元法和拉格朗日乘數(shù)法兩種方法來求解此問題。解：（1）代入消元法由x+y1可得：y1-x，將其代入f可得：fxyxx2。從而有：df1-2x0，可以解得：x=0.5。從而y1-x=0.5，f=0.25dx（2）拉格朗日乘數(shù)法f的最大值問題為：maxxys.t.x,y1構(gòu)造拉格朗日函數(shù)為：Lxy+九(1-x-985/211歷年真題解析，答案，核心考點(diǎn)講義，你想要的都在這一經(jīng)濟(jì)學(xué)歷年考研真題及詳解985/211歷年真題解析，答案，核心考點(diǎn)講義，你想要的都在這一經(jīng)濟(jì)學(xué)歷年考研真題及詳解一

6、階條件為:985/211歷年真題解析，答案，核心考點(diǎn)講義，你想要的都在這一經(jīng)濟(jì)學(xué)歷年考研真題及詳解弘0，y九，0dxdL，x九，0dy弘,0，1xy，0族從而可以解得：x，y，0.5，因而有：f，xy，0.25。4.對(duì)偶函數(shù)為：minxys.t.xy，0.25利用拉格朗日乘數(shù)法求解上述最小化問題。解：設(shè)最小化問題的拉格朗日函數(shù)為：L，xy(0.25xy)一階條件為：dL，1九y，0dxdL，1-九x，0dydL，0.25xy，0d從而有：x，y，xy，x2，0.25，從而可以解得：x，y，0.5。5以一定的力垂直上拋的小球的高度是其被拋出時(shí)間(t)的函數(shù)：f(t)，-0.5gt240t其中，g

7、是由重力所決定的常數(shù)。小球處于最高處的時(shí)間t如何取決于參數(shù)g?利用你在(1)問中的答案來描述：隨著參數(shù)g的變化，小球的最大高度如何變化。利用包絡(luò)定理直接給出(2)問中的答案。在地球上，g，32，但是這個(gè)值在某些地區(qū)會(huì)有差異。如果兩個(gè)地方重力加速度的差異為0.1，則在上述兩個(gè)地區(qū)所拋出的小球的最大高度之間的差異是多少？解：(1)對(duì)高度函數(shù)f(t)，-0.5gt240t關(guān)于時(shí)間求導(dǎo)數(shù)可得：df，-gt40，0dt從而可以解得使高度最大的時(shí)間為：t*，40，從而可知小球處于最高處的時(shí)間t與參數(shù)gg成反比例關(guān)系。985/211歷年真題解析，答案，核心考點(diǎn)講義，你想要的都在這一經(jīng)濟(jì)學(xué)歷年考研真題及詳解將

8、t*40代入高度函數(shù)中可得:g=-0.5g4040+40 xg800g985/211歷年真題解析，答案，核心考點(diǎn)講義，你想要的都在這一經(jīng)濟(jì)學(xué)歷年考研真題及詳解985/211歷年真題解析，答案，核心考點(diǎn)講義，你想要的都在這一經(jīng)濟(jì)學(xué)歷年考研真題及詳解從而有：”*=-8000，即：隨著g的增大，最大高度將變小。dgg2由包絡(luò)定理可知：苗=-1()取決于g，因?yàn)樽o(hù)取決于g。強(qiáng)2因而有:苗=-0.5=-0.540-8000；112212方程2.114為：ff22fff+ff20f(x)+10)f(x，則稱函數(shù)f(x)為凹函數(shù)。1212函數(shù)f(x)，對(duì)定義域S(凸集)上任意兩點(diǎn)x，xeS，0e【0,1，如

9、果有12f0 x+(10)xmin函數(shù)f(x)為擬凹函數(shù)。1212可知，對(duì)于凹函數(shù)有：f0 x+(10)x0f(x)+(10)f(x)minf(x,f(x)“121212因而可以從凹函數(shù)推出擬凹函數(shù)，反之，則不成立。(2)直觀的，從圖形上看，函數(shù)f(x)為擬凹表示線段x、x之間的點(diǎn)的函數(shù)值要高12于點(diǎn)A，或者說曲線ACB之間的點(diǎn)都高于點(diǎn)A。顯然，當(dāng)函數(shù)f(x)是凹函數(shù)，曲線呈一個(gè)倒置的鍋，則上述性質(zhì)是滿足的。從這一點(diǎn)看，凹函數(shù)一定是擬凹函數(shù)。但是，這不是必要的。如圖2-2所示，在曲線AC段，函數(shù)是凹的；而在CB段，函數(shù)是凸的。這說明擬凹函數(shù)的概念要比凹函數(shù)更弱。985/211歷年真題解析，答案

10、，核心考點(diǎn)講義，你想要的都在這一經(jīng)濟(jì)學(xué)歷年考研真題及詳解985/211歷年真題解析，答案，核心考點(diǎn)講義，你想要的都在這一經(jīng)濟(jì)學(xué)歷年考研真題及詳解圖2-2凹函數(shù)與擬凹函數(shù)柯布-道格拉斯函數(shù)：y，xax卩，其中，a和都是小于1的正的常數(shù)。12(1)利用方程ff2-2fffff0計(jì)算，從而驗(yàn)證該函數(shù)是個(gè)擬凹函數(shù)。1121212221985/211歷年真題解析，答案，核心考點(diǎn)講義，你想要的都在這一經(jīng)濟(jì)學(xué)歷年考研真題及詳解（2）通過驗(yàn)證任何y，c（c為任何正的常數(shù)）的上水平線都是凸的，從而任何滿足yc的集合都是凸的，來驗(yàn)證柯布一道格拉斯函數(shù)是擬凹函數(shù)。（3）驗(yàn)證：如果a1，則柯布一道格拉斯函數(shù)不是凹函數(shù)

11、（從而表明不是所有的擬凹函數(shù)都是凹函數(shù)）。證明：（1）分別對(duì)柯布-道格拉斯函數(shù)求一階、二階導(dǎo)數(shù)可得：f=aXa-1X0Xa-2X012112f?，卩xax-10f，a(a-1)f=(-1)XaX-202212f，f，axa-1x卩-10122112從而可得:ff2-2fffff20，因而可知柯布-道格拉斯函數(shù)是一個(gè)擬凹函數(shù)。1121212221985/211歷年真題解析，答案，核心考點(diǎn)講義，你想要的都在這一經(jīng)濟(jì)學(xué)歷年考研真題及詳解985/211歷年真題解析，答案，核心考點(diǎn)講義，你想要的都在這一經(jīng)濟(jì)學(xué)歷年考研真題及詳解（2）如果y，c，xax，則x，c1/x-a/，因而當(dāng)a、0時(shí)，X是X的凸函數(shù)

12、。關(guān)122121于擬凹函數(shù)的一個(gè)重要性質(zhì)是，如果函數(shù)f（X）是擬凹的，則當(dāng)且僅當(dāng)集合S，rf（x）k是凸集，其中k是任意常數(shù)。集合S，xf（x）1時(shí)，該式是負(fù)的，因而此時(shí)函數(shù)不是凹函數(shù)，從而可知，并非所有的擬凹函數(shù)都是凹函數(shù)。10.冪函數(shù)y=x,其中，0,1(有時(shí)，也可以考慮為負(fù)的情形，此時(shí)利用y=xs/來確保導(dǎo)數(shù)有恰當(dāng)?shù)姆?hào))。證明：此函數(shù)是凹函數(shù)。注意到當(dāng)=1的特殊情況，以及僅當(dāng)1時(shí)，該函數(shù)才是“嚴(yán)格”凹的。證明：幕函數(shù)的多元形式y(tǒng)=fx,x)=x+x也是一個(gè)凹函數(shù)(和擬凹函數(shù))。1212解釋在這種情況下，為什么f=f=0使得凹形的確定變得極其簡單。1221一種將“規(guī)?！毙?yīng)融入該函數(shù)的方法是，對(duì)(2)問中的函數(shù)進(jìn)行單調(diào)變換：gx,x)=y丫=C+xs)1212其中，y是一個(gè)正的常數(shù)。這種變換是否仍保持函數(shù)的凹性？g是擬凹的嗎？證明：(1)當(dāng)0,0，y=-1)x-20，所以此時(shí)函數(shù)y=x是嚴(yán)格凹函數(shù)。對(duì)于幕函數(shù)y=fx,x)=xs+xs，有：f=x5-1,f=(-1)(x5-2;121211111f=x5-1，f=(1-)(x8-2。22222因?yàn)閒，f0滿足，因而該函數(shù)是凹函數(shù)。11221221112212因?yàn)閥y是擬凹函數(shù)，所以g是擬凹函數(shù)。但是，當(dāng)y1時(shí)，yy不是凹函數(shù)。所有這些結(jié)論可以通過對(duì)y的偏微分以及方程ff-f20和ff2-2fff+ff20來驗(yàn)1122