新人教版高中數(shù)學(xué)必修第二冊第八章立體幾何初步：8.3.1 棱柱、棱錐、棱臺的表面積和體積

1、8.3單幾何體的表面積與體積8.3.1棱柱、棱錐、棱臺的表面積和體積基礎(chǔ)過關(guān)練題組一棱柱、棱錐、棱臺的面積 1.(2020湖南懷化高一上期末)已知正四棱柱的底面邊長為3 cm,側(cè)面的對角線長是35 cm,則這個正四棱柱的表面積為()A.90 cm2B.365 cm2C.72 cm2D.54 cm22.(2019江蘇南京六校聯(lián)合體高一下期中)已知一個正三棱臺的兩個底面的邊長分別為4和16,側(cè)棱長為10,則該棱臺的側(cè)面積為()A.80B.240C.350D.6403.(2020安徽馬鞍山二中高二上期末)正三棱錐的底面邊長為a,高為66a,則此棱錐的側(cè)面積等于.4.(2019福建三明三地三校高一下聯(lián)

2、考)一個棱柱的側(cè)面展開圖是三個全等的矩形,矩形的長和寬分別為5 cm,4 cm,則該棱柱的側(cè)面積為cm2.5.(2020安徽合肥一中高二上月考)已知一個正四棱臺的上、下底面的邊長分別為1和2,其側(cè)面積恰好等于兩底面面積之和,則該正四棱臺的高為.6.如圖,在正四棱錐S-ABCD中,SO是這個四棱錐的高,SM是斜高,且SO=8,SM=11.(1)求這個四棱錐的側(cè)棱長;(2)求這個四棱錐的表面積. 題組二棱柱、棱錐、棱臺的體積7.(2019北京高二學(xué)業(yè)考試)如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,ABAC,如果AB=3,AC=1,AA1=2,那么直三棱柱ABC-A1B1C1的體積為()A.2B.3C

3、.4D.68.(2020遼寧丹東高二上期末)一個正四棱錐的側(cè)面是正三角形,斜高為3,那么這個四棱錐的體積為()A.43B.423C.83D.8239.(2020江西景德鎮(zhèn)高一上期末)已知一個正三棱錐的高為3,如圖是其底面用斜二測畫法所畫出的水平放置的直觀圖,其中OB=OC=1,則此正三棱錐的體積為()A.3B.33C.34D.33410.(2020江蘇徐州高三上期中)在正三棱柱ABC-A1B1C1中,P為棱AA1的中點,若正三棱柱ABC-A1B1C1的體積為9,則三棱錐C1-PBC的體積為.11.(2020豫南九校高一上聯(lián)考)一個正四棱錐的側(cè)棱長與底面邊長相等,體積為423,則它的側(cè)面積為.1

4、2.已知點P為直三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)棱AA1上的一個動點,若四棱錐P-BCC1B1的體積為V,則三棱柱ABC-A1B1C1的體積為.13.正三棱臺ABC-A1B1C1中,O1,O分別是上底面A1B1C1、下底面ABC的中心,已知A1B1=O1O=3,AB=23.(1)求正三棱臺ABC-A1B1C1的體積;(2)求正三棱臺ABC-A1B1C1的側(cè)面積.14.(2020河北衡水武邑中學(xué)高一上月考)已知長方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=2,過A1,C1,B三點的平面截去長方體的一個角后,得到如圖所示的幾何體,這個幾何體的體積為403,求幾何體ABCD-A1C1D1的表面積.

5、能力提升練題組一棱柱、棱錐、棱臺的面積 1.(2020河南省實驗中學(xué)高一上月考,)某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的表面積是()A.24B.28C.20+45D.20+462.()若正四棱錐的斜高是高的233倍,則該正四棱錐的側(cè)面積與底面積之比為.3.(2020陜西榆林高一上期末,)如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,底面ABC是正三角形,AA1平面ABC,AB=AA1=a,D是BC邊上的一點,且AD為BAC的平分線,若在三棱柱ABC-A1B1C1中去掉三棱錐C1-ACD后得到的幾何體的表面積為33+15+18,求a的值. 題組二棱柱、棱錐、棱臺的體積4.(2020黑龍江哈爾濱第九中學(xué)高

6、三上期末,)我國古代名著張邱建算經(jīng)中記載:“今有方錐,下廣二丈,高三丈.欲斬末為方亭,令上方六尺.問:斬高幾何?”大致意思是:有一個正四棱錐的下底面邊長為二丈,高為三丈,現(xiàn)從上面截去一段,使之成為正四棱臺,且正四棱臺的上底面邊長為六尺,則截去的正四棱錐的高是多少?如果我們把求截去的正四棱錐的高改為求剩下的正四棱臺的體積,則該正四棱臺的體積是(注:1丈=10尺)()A.1 946立方尺B.3 892立方尺C.7 784立方尺D.11 676立方尺5.(2019遼寧葫蘆島高一上期末,)如圖,直三棱柱ABC-A1B1C1中,點M,N分別為A1B和B1C1的中點,則三棱錐A1-MNC與三棱柱ABC-A

7、1B1C1的體積之比為()A.14B.15C.16D.176.(2020浙江寧波效實中學(xué)高二期中,)如圖所示,已知三棱臺ABC-A1B1C1的體積為V,AB=2A1B1,截去三棱錐A1-ABC后,剩余部分的體積為()A.14VB.23VC.37VD.35V7.(多選)(2020廣東高三一模,)在四面體P-ABC中,PA=PB=PC=BC=1,則該四面體的體積可能是()A.23B.212C.312D.338.(多選)(2020福建廈門高一下期中,)如圖,直三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1=2,AB=BC=1,ABC=90,側(cè)面AA1C1C的中心為O,點E是側(cè)棱BB1上的一個動點,下列判斷正確

8、的是()A.直三棱柱的側(cè)面積是4+22B.直三棱柱的體積是13C.三棱錐E-AA1O的體積為定值D.AE+EC1的最小值為229.(2020安徽合肥一中期末,)正四棱錐P-ABCD中,B1為PB的中點,D1為PD的中點,則三棱錐A-B1CD1和正四棱錐P-ABCD體積的比值是.10.(2020天津靜海一中高一下線上檢測,)如圖,求一個棱長為2的正四面體的體積時,可以將正四面體看成是一個棱長為1的正方體截去四個角后得到的,類比這種方法,一個三對棱長相等的四面體A-BCD,其三對棱長分別為AB=CD=5,AD=BC=13,AC=BD=10,則此四面體的體積為.答案全解全析基礎(chǔ)過關(guān)練1.A由題意得,

9、側(cè)棱長為(35)2-32=6(cm),所以正四棱柱的表面積為436+232=90(cm2).故選A.2.B由題意可知,該棱臺的側(cè)面為上、下底分別為4和16,腰長為10的等腰梯形,等腰梯形的高為102-16422=8,等腰梯形的面積為12(4+16)8=80,該棱臺的側(cè)面積為380=240.3.答案34a2解析如圖所示,在正三角形ABC中,OB=2332a=33a.所以在直角三角形POB中,PB=PO2+BO2=a26+a23=22a,所以在等腰三角形PAB中,底邊AB上的高為a22-a24=a2,所以正三棱錐的側(cè)面積為312aa2=34a2.4.答案60解析棱柱的側(cè)面展開圖的面積即為棱柱的側(cè)面

10、積,棱柱的側(cè)面積為354=60(cm2).5.答案23解析設(shè)正四棱臺的高、斜高分別為h、h.由題意得,412(1+2)h=12+22,解得h=56.根據(jù)棱臺的高、斜高、邊心距構(gòu)成直角梯形,可得h2+1122=562,解得h=23.6.解析(1)在RtSOM中,OM=SM2-SO2=12164=57.在RtSBM中,SM=11,BM=OM=57,側(cè)棱長SB=SM2+BM2=121+57=178.(2)結(jié)合(1)得,S側(cè)=412BCSM=41225711=4457,S底=BC2=(257)2=228,S表=4457+228.7.B因為ABAC,所以SABC=ABAC2=32,所以VABC-A1B1

11、C1=SABCAA1=322=3.故選B.8.B由題意設(shè)正四棱錐的棱長為a,則其斜高為a2-a22=3a2=3,因此a=2,所以正四棱錐的高為3a22=2,所以這個四棱錐的體積為13222=423.故選B.9.A因為OB=OC=1,所以BC=2.根據(jù)斜二測畫法的知識可知,正三棱錐的底面是邊長為2的等邊三角形,其面積為3422=3,所以正三棱錐的體積為1333=3.故選A.10.答案3解析如圖所示.VC1-PBC=VP-C1CB=VA-C1CB=VC1-ABC=13C1CSABC=13VABC-A1B1C1=139=3,故答案為3.11.答案43解析設(shè)正四棱錐的側(cè)棱長與底面邊長均為2a,則底面面

12、積為4a2,斜高為3a,高為2a,所以1342a3=423,解得a=1.所以S側(cè)=122a3a4=43.12.答案3V2解析設(shè)三棱柱ABC-A1B1C1的體積為V1.在三棱柱ABC-A1B1C1中,點P在側(cè)棱AA1上,所以VP-BCC1B1=VA-BCC1B1.又V1=VA-A1B1C1+VA-BCC1B1=13V1+V,所以V1=3V2,故答案為3V2.13.解析(1)由題意得,正三棱臺ABC-A1B1C1的上底面面積為34(3)2=334,下底面面積為34(23)2=33,所以正三棱臺ABC-A1B1C1的體積為13334+33433+333=214.(2)設(shè)A1B1,AB的中點分別為M1

13、,M,則O1M1=12,OM=1,所以正三棱臺ABC-A1B1C1的斜高M(jìn)1M=(3)2+122=132,所以正三棱臺ABC-A1B1C1的側(cè)面積為312(3+23)132=9394.14.解析由題意得,VABCD-A1C1D1=VABCD-A1B1C1D1-VB-A1B1C1=22AA1-131222AA1=103AA1=403,AA1=4.A1B=C1B=25,A1C1=22.設(shè)A1C1的中點為H,則BH=32,SA1C1B=122232=6,幾何體ABCD-A1C1D1的表面積為38+4+2+6=36.能力提升練1.C根據(jù)三視圖知,該幾何體是下部為正方體,上部為正四棱錐的組合體,如圖所示

14、.該幾何體的表面積為5S正方形ABCD+4SPAB=522+412222+12=20+45.故選C.2.答案21解析設(shè)正四棱錐的斜高為h,高為h,底面邊長為a,則h=233h,a=22-2=233h.該正四棱錐的側(cè)面積為412ah=83h2,底面積為a2=43h2,該正四棱錐的側(cè)面積與底面積之比為21.3.解析由題意得AD=a2-12a2=32a,C1D=a2+12a2=52a,AC1=a2+a2=2a,AD2+C1D2=AC12,ADDC1,SADC1=123a25a2=15a28,a2-12a2a+12a2+a2+34a2+38a2+15a28=18+33+158a2=18+33+15,解

15、得a=22(負(fù)值舍去).4.B如圖所示,正四棱錐S-ABCD的底面邊長為2丈,即AB=20尺,高3丈,即SO=30尺.截去一段后,得正四棱臺ABCD-A1B1C1D1,且上底面邊長A1B1=6尺,30OO130=1261220,解得OO1=21,該正四棱臺的體積是1321(202+206+62)=3 892(立方尺).故選B.5.C因為M是A1B的中點,所以VA1-MNC=VC-A1MN=VC-BMN=12VC-A1BN=12VA1-CBN.又VA1-CBN=VA-CBN=VN-ABC=VB1-ABC=13VABC-A1B1C1,所以VA1-MNC=1213VABC-A1B1C1=16VABC

16、-A1B1C1,所以體積之比為16.故選C.6.C設(shè)三棱臺的高為h,上底面A1B1C1的面積為S上,下底面ABC的面積為S下.因為AB=2A1B1,所以S下=4S上,所以三棱臺的體積V=13(S上+S下+S上S下)h=13(5S上+4S上2)h=73S上h.三棱錐A1-ABC的體積為13S下h=43S上h,所以剩余部分的體積為37V.7.BC由題意得,面PBC是邊長為1的正三角形,所以SPBC=34.設(shè)三棱錐A-PBC的高為h,則VP-ABC=VA-PBC=13SPBCh=1334h=312h.又h(0,1,所以該四面體的體積V0,312.故選BC.8.ACD由題意得,底面ABC和A1B1C1是等腰直角三角形,側(cè)面全是矩形,所以其側(cè)面積為122+12+122=4+22,故A正確;直三棱柱的體積為SABCAA1=12112=1,故B不正確;點E是側(cè)棱BB1上的一個動點,以平面AA1O為底面的三棱錐E-AA1O的高為定值22,又SAA1O=1422=22,VE-AA1O=132222=16,故C正確;將面BB1C1C展開至與面AA1B1B共面,則四邊形AA1C1C為正方形,連接AC1,交BB1于點E,即E為BB1的中點,此時AE+EC1的值最小,為22,故D正確.9.答案14解析如圖所示,三棱錐A-B1CD1可由正四棱錐P-ABCD減去四個小三棱錐得到.設(shè)正四棱錐P-