1111變化率問題+112導(dǎo)數(shù)的概念

1、1.1.1變化率問題研究某個(gè)變量相對于另一個(gè)變量變化導(dǎo)數(shù)研究的問題 的快慢程度變化率問題問題1 氣球膨脹率 在吹氣球的過程中, 可發(fā)現(xiàn),隨著氣球內(nèi)空氣容量的增加, 氣球的半徑增加得越來越慢. 從數(shù)學(xué)的角度, 如何描述這種現(xiàn)象呢? 氣球的體積V(單位:L)與半徑r (單位:dm)之間的函數(shù)關(guān)系是若將半徑 r 表示為體積V的函數(shù), 那么當(dāng)空氣容量V從0L增加到1L , 氣球半徑增加了氣球的平均膨脹率為當(dāng)空氣容量V從1L增加到2 L , 氣球半徑增加了氣球的平均膨脹率為 隨著氣球體積逐漸變大,它的平均膨脹率逐漸變小思考?當(dāng)空氣容量從V1增加到V2時(shí),氣球的平均膨脹率是多少?問題2 高臺(tái)跳水 在高臺(tái)跳

2、水運(yùn)動(dòng)中, 運(yùn)動(dòng)員相對于水面的高度 h (單位:m)與起跳后的時(shí)間 t (單位:s) 存在函數(shù)關(guān)系 如果用運(yùn)動(dòng)員在某段時(shí)間內(nèi)的平均速度 描述其運(yùn)動(dòng)狀態(tài), 那么:在0 t 0.5這段時(shí)間里,在1 t 2這段時(shí)間里, 計(jì)算運(yùn)動(dòng)員在 這段時(shí)間里的平均速度,并思考下面的問題:探 究:(1) 運(yùn)動(dòng)員在這段時(shí)間里是靜止的嗎?(2) 你認(rèn)為用平均速度描述運(yùn)動(dòng)員的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)有什么問題嗎?定義:平均變化率: 式子 稱為函數(shù) f (x)從x1到 x2的平均變化率.令x = x2 x1 , y= f (x2) f (x1) ,則理解：1，式子中x 、 y的值可正、可負(fù)，但的x值不能為0， y的值可以為02，若函數(shù)f

3、(x)為常函數(shù)時(shí)， y =0 3, 變式 思考?觀察函數(shù)f(x)的圖象平均變化率表示什么?OABxyY=f(x)x1x2f(x1)f(x2)x2-x1f(x2)-f(x1)直線AB的斜率練習(xí): 1.甲用5年時(shí)間掙到10萬元, 乙用5個(gè)月時(shí)間掙到2萬元, 如何比較和評(píng)價(jià)甲、乙兩人的經(jīng)營成果? 2.已知函數(shù) f (x) = 2 x +1, g (x) = 2 x, 分別計(jì)算在下列區(qū)間上 f (x) 及 g (x) 的平均變化率.(1) 3 , 1 ; (2) 0 , 5 .做兩個(gè)題吧!1 、已知函數(shù)f(x)=-x2+x的圖象上的一點(diǎn)A(-1,-2)及臨近一點(diǎn)B(-1+x,-2+y),則y/x=(

4、)A 3 B 3x-(x)2C 3-(x)2 D 3-x D2、求y=x2在x=x0附近的平均速度。 2x0+x 小結(jié)：1.函數(shù)的平均變化率2.求函數(shù)的平均變化率的步驟:(1)求函數(shù)的增量y=f(x2)-f(x1);(2)計(jì)算平均變化率1.1.2 導(dǎo)數(shù)的概念在高臺(tái)跳水運(yùn)動(dòng)中,平均速度不能反映他在這段時(shí)間里運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，需要用瞬時(shí)速度描述運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。我們把物體在某一時(shí)刻的速度稱為瞬時(shí)速度.又如何求瞬時(shí)速度呢? 平均變化率近似地刻畫了曲線在某一區(qū)間上的變化趨勢.如何精確地刻畫曲線在一點(diǎn)處的變化趨勢呢?求：從2s到(2+t)s這段時(shí)間內(nèi)平均速度t0時(shí), 在2, 2 +t 這段時(shí)間內(nèi)當(dāng)t = 0.01時(shí),當(dāng)

5、t = 0.01時(shí),當(dāng)t = 0.001時(shí),當(dāng)t =0.001時(shí),當(dāng)t = 0.0001時(shí),當(dāng)t =0.0001時(shí),t = 0.00001,t = 0.00001,t = 0.000001,t =0.000001, 平均變化率近似地刻畫了曲線在某一區(qū)間上的變化趨勢.如何精確地刻畫曲線在一點(diǎn)處的變化趨勢呢? 當(dāng) t 趨近于0時(shí), 即無論 t 從小于2的一邊, 還是從大于2的一邊趨近于2時(shí), 平均速度都趨近與一個(gè)確定的值 13.1. 從物理的角度看, 時(shí)間間隔 |t |無限變小時(shí), 平均速度 就無限趨近于 t = 2時(shí)的瞬時(shí)速度. 因此, 運(yùn)動(dòng)員在 t = 2 時(shí)的瞬時(shí)速度是 13.1.表示“當(dāng)t

6、 =2, t趨近于0時(shí), 平均速度 趨近于確定值 13.1”.從2s到(2+t)s這段時(shí)間內(nèi)平均速度探 究:1.運(yùn)動(dòng)員在某一時(shí)刻 t0 的瞬時(shí)速度怎樣表示?2.函數(shù)f (x)在 x = x0 處的瞬時(shí)變化率怎樣表示?定義:函數(shù) y = f (x) 在 x = x0 處的瞬時(shí)變化率是稱為函數(shù) y = f (x) 在 x = x0 處的導(dǎo)數(shù), 記作或 , 即定義:函數(shù) y = f (x) 在 x = x0 處的瞬時(shí)變化率是稱為函數(shù) y = f (x) 在 x = x0 處的導(dǎo)數(shù), 記作或 , 即由導(dǎo)數(shù)的定義可知, 求函數(shù) y = f (x)的導(dǎo)數(shù)的一般方法:求函數(shù)的改變量2. 求平均變化率3. 求

7、值口訣：一差、二化、三極限 題1 將原油精煉為汽油、柴油、塑膠等各種不同產(chǎn)品, 需要對原油進(jìn)行冷卻和加熱. 如果第 x h時(shí), 原油的溫度(單位: )為 f (x) = x2 7x+15 ( 0 x8 ) . 計(jì)算第2h和第6h, 原油溫度的瞬時(shí)變化率, 并說明它們的意義.解: 在第2h和第6h時(shí), 原油溫度的瞬時(shí)變化率就是和根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義,所以,同理可得 在第2h和第6h時(shí), 原油溫度的瞬時(shí)變化率分別為3和5. 它說明在第2h附近, 原油溫度大約以3 / h的速率下降; 在第6h附近,原油溫度大約以5 / h的速率上升. 應(yīng)用： 將原油精煉為汽油、柴油、塑膠等各種不同產(chǎn)品, 需要對原油進(jìn)行冷卻和加熱. 如果第 x h時(shí), 原油的溫度(單位: )為 f (x) = x2 7x+15 ( 0 x8 ) . 計(jì)算第2h和第6h,