獨立性以及貝努里概型

1、關(guān)于獨立性及貝努里概型第一張，PPT共三十五頁，創(chuàng)作于2022年6月.1.獨立性的概念兩個事件的獨立性先看一個具體的例子 例1.5.1 設(shè)袋中有五個球（三新兩舊）每次從中解: 顯然 P(A)= , P(B|A)= ., P(B)= P(B|A)= P(B),取一個，有放回地取兩次，記A=第一次取得新球,B=第二次取得新球，求P(A), P(B), P(B|A).由此可得 P(AB)= P(A) P(B).第二張，PPT共三十五頁，創(chuàng)作于2022年6月定義1.5.1 設(shè) A、B F,若P(AB)= P(A) P(B) 則稱根據(jù)定義，兩個事件的獨立性實質(zhì)上就是一個事件和不可能事件 與任何事件都相互

2、獨立的，因為事件A、B是相互獨立的，簡稱為獨立的.的發(fā)生不影響另一個事件的發(fā)生. 必然事件必然事件與不可能事件的發(fā)生與否，的確不受任何事件的影響，也不影響其它事件是否發(fā)生.第三張，PPT共三十五頁，創(chuàng)作于2022年6月例1.5.2 分別擲兩枚均勻的硬幣，令A=硬幣甲出現(xiàn)正面, B=硬幣乙出現(xiàn)正面 ,驗證事件A,B是相互獨立的.=（正、正）（正、反）（反、正）（反、反） A=（正、正）（正、反）, AB=（正、正）, P(A)=P(B)= , P(AB)= = P(A)P(B). 所以A、B是相互獨立的. B=（反、正）（正、正）, 驗證：第四張，PPT共三十五頁，創(chuàng)作于2022年6月 實質(zhì)上，

3、在實際問題中，人們常用直覺來判斷事件間的”相互獨立”性，事實上，分別擲兩枚硬幣，硬幣甲出現(xiàn)正面與否和硬幣乙出現(xiàn)正面與否，相互之間沒有影響，因而它們是相互獨立的，當然有時直覺并不可靠. 例1.5.3 一個家庭中有男孩，又有女孩，假定生男孩和生女孩是等可能的，令A=一個家庭中有男孩，又有女孩，B=一個家庭中最多有一個女孩.對下述兩種情形，討論A和B的獨立性. 1）家庭中有兩個小孩 ；2）家庭中有三個小孩.解: 1）有兩個小孩的家庭，這時樣本空間為： =(男、男),(男、女),(女、男),(女、女) A=(男、女),(女、男) B=(男、男),(男、女),(女、男) 第五張，PPT共三十五頁，創(chuàng)作于

4、2022年6月 AB=（男、女），（女、男） 于是 P(A)=, P(B)=, P(AB)= 由此可知 P(AB) P(A) P(B).所以 A與B 不獨立. 2）有三個小孩的家庭，樣本空間=（男、男、男），（男、男、女），（男、女、男），（女、男、男）（男、女、女），（女、女、男），（女、男、女），（女、女、女） 由等可能性可知，這8個基本事件的概率都是 這時A包含了6個基本事件，B包含了4個基本事件，P(AB)=, P(A)= , P(B)=. AB包含了3個基本事件. 第六張，PPT共三十五頁，創(chuàng)作于2022年6月顯然 P(AB)=P(A)P(B)，從而A與B相互獨立.2)多個事件的獨立

5、性定義1.5.2 設(shè)三個事件A,B,C滿足P(AB)=P(A)P(B)P(AC)=P(A)P(C)P(BC)=P(B)P(C)P(ABC)=P(A)P(B) P(C) 稱A,B,C相互獨立. 由三個事件的獨立性可知，若A、B、C相互獨立，則它們兩兩相互獨立，反之不一定成立.第七張，PPT共三十五頁，創(chuàng)作于2022年6月例1.5.4 一個均勻的正四面體，其第一面染成紅色，第二面染成白色，第三面染成黑色,第四面上同時染上紅、黑、白三色，以A、B、C分別記投一次四面體，出現(xiàn)紅、白、黑顏色的事件，P(AB)=P(BC)=P(AC)=,P(ABC)= ,故A、B、C兩兩相互獨立.但不能推出.也就是說由A

6、、B、C兩兩.不能推出A、B、C兩兩相互則P(A)=P(B)=P(C)=相互獨立不能推出A、B、C相互獨立.同樣地由獨立.事件的獨立性可以推廣到多個隨機事件的情形.第八張，PPT共三十五頁，創(chuàng)作于2022年6月定義1.5.3 對個事件若對于所有有 =； =;=則稱相互獨立.個事件相互獨立，則必須滿足個等式.顯然個事件相互獨立，則它們中的任意（2）個事件也相互獨立. 可能的組合1第九張，PPT共三十五頁，創(chuàng)作于2022年6月2.事件獨立性的性質(zhì)定理1.5.1 四對事件A、B，A，、中有一對相互獨立，則其它三對也相互獨立.、 證明 不失一般性.設(shè)事件與獨立，僅證與相互獨立，其余情況類似證明 因為

7、又與獨立，所以 從而 所以，與 相互獨立.:用數(shù)學歸納法可以證明第十張，PPT共三十五頁，創(chuàng)作于2022年6月定理1.5.2 設(shè)相互獨立，則將其中任意個（1）換成其對立事件，則所得個事件也相互獨立.特別地，若相互獨立，則也相互獨立. 第十一張，PPT共三十五頁，創(chuàng)作于2022年6月相互獨立事件至少發(fā)生其一的概率的計算相互獨立，則=1= 1= 1 這個公式比起非獨立的場合，要簡便的多，它在實際問題中經(jīng)常用到. 3.事件獨立性的應(yīng)用設(shè)第十二張，PPT共三十五頁，創(chuàng)作于2022年6月例1.5.6 假若每個人血清中含有肝炎病的概率為0.4%，混合100個人的血清，求此血清中含有肝炎病毒的概率？解: 設(shè)

8、=第個人血清中含有肝炎病毒 可以認為相互獨立，所求的概率為 =1=1= 0.33. 雖然每個人有病毒的概率都是很小，但是混合后，則有很大的概率.在實際工作中，這類效應(yīng)值得充分重視.第十三張，PPT共三十五頁，創(chuàng)作于2022年6月 例1.5.7 張、王、趙三同學各自獨立地去解一道數(shù)學題，他們的解出的概率為1/5，1/3，1/4，試求（1）恰有一人解出的概率；（2）難題被解出的概率. 解: 設(shè)（i=1，2，3）分別表示張、王、趙三同學相互獨立.令A=三人中恰有一人解出難題P(A)= P(+P()+P()+ = = 則A=由題設(shè)知解出難題這三個事件，第十四張，PPT共三十五頁，創(chuàng)作于2022年6月(

9、2)令B=難題解出=1= 對于一個電子元件，它能正常工作的概率它的可靠性，元件組成系統(tǒng)，系統(tǒng)正常工作的概率稱為該系統(tǒng)的可靠性.隨著近代電子技術(shù)組成迅猛發(fā)展，關(guān)于元件和系統(tǒng)可靠性的研究已發(fā)展成為一門新的學科-可靠性理論.概率論是研究可靠性理論的重要工具.2）在可靠性理論中的應(yīng)用,稱為第十五張，PPT共三十五頁，創(chuàng)作于2022年6月例1.5.8 如果構(gòu)成系統(tǒng)的每個元件的可靠性均為01,且各元件能否正常工作是相互獨立的,圖1 1 2 1 2 試求下面兩種系統(tǒng)的可靠性.第十六張，PPT共三十五頁，創(chuàng)作于2022年6月 1 2 1 2 圖2 解:1)每條道路要能正常工作當且僅當該通路上各故障的概率為.由

10、于系統(tǒng)是由兩通路并聯(lián)而上述系統(tǒng)的可靠性為= 2)每對并聯(lián)元件的可靠性為=1-系統(tǒng)由對并聯(lián)元件串聯(lián)而成，故其可靠性為.元件正常工作故其可靠性為,也即通路發(fā)生成的，兩通路同時發(fā)生故障的概率為，因此第十七張，PPT共三十五頁，創(chuàng)作于2022年6月利用數(shù)學歸納法可以證明n時,. 所以.因此雖然上面兩個系統(tǒng)同樣由構(gòu)成作用也相同，但是第二種構(gòu)成方式比第一種方式個元件可靠來得大，尋找可靠性較大的構(gòu)成方式也是可靠理論的研究課題之一.第十八張，PPT共三十五頁，創(chuàng)作于2022年6月二、貝努里概型1.試驗的獨立性 如果兩次試驗的結(jié)果是相互獨立的，稱兩次試驗是相互獨立的.當然，兩次試驗是相互獨立的，由此產(chǎn)生的事件也

11、是相互獨立.2.貝努里概型(1) 貝努里試驗 若試驗E只有兩個可能的結(jié)果：A及，稱這個試驗為貝努里試驗.第十九張，PPT共三十五頁，創(chuàng)作于2022年6月(2) 貝努里概型設(shè)隨機試驗E具有如下特征：1）每次試驗是相互獨立的；2）每次試驗有且僅有兩種結(jié)果：事件A和事件； 3）每次試驗的結(jié)果發(fā)生的概率相同.即=p在每次試驗中保持不變. 稱試驗E表示的數(shù)學模型為貝努里概型.若將試驗次，則這個試驗也稱為重貝努里試驗.記為.由此可知“一次拋擲 枚相同的硬幣”的試驗可重貝努里試驗.做了以看作是一個第二十張，PPT共三十五頁，創(chuàng)作于2022年6月一個貝努里試驗的結(jié)果可以記作）其中（1或者為或者為，因而這樣的共

12、有個,它們的全體就是貝努里試驗的樣本空間.)如果（1中有個，則必有個.如果要求“重貝努里試驗中事件出現(xiàn)次”這記 重貝努里試驗中事件出現(xiàn)次.由概率的可加性=在貝努里試驗中,事件至少發(fā)生一次的概率為.(可以轉(zhuǎn)化為它的對立事件來求)一事件的概率于是由獨立性即得第二十一張，PPT共三十五頁，創(chuàng)作于2022年6月 例1.5.9 金工車間有10臺同類型的機床，每臺機床配備的電功率為10千瓦，已知每臺機床工作時，平均每小時實際開動12分鐘，且開動與否是相互獨立的，現(xiàn)因當?shù)仉娏┚o張，供電部門只提供50千瓦的電力給這10臺機床.問這10臺機床能夠正常工作的概率為多大？ 解: 50千瓦電力可用時供給5臺機床開動

13、，因而10臺機床中同時開動的臺數(shù)為不超過5臺時都可以正常工作，而每臺機床只有“開動”與“不開動”的兩種情況，且開動的概率為12/60=1/5.不開動的概率為4/5. 設(shè)10臺機床中正在開動著的機床臺數(shù)為，則, 0第二十二張，PPT共三十五頁，創(chuàng)作于2022年6月于是同時開動著的機床臺數(shù)不超過5臺的概率為= 由此可知，這10臺機床能正常工作的概率為0.994，也就是說這10臺機床的工作基本上不受電力供應(yīng)緊張的影響.例1.5.10 某人有一串只有一把能打開家門。有一天該人酒醉后回家，下把鑰匙中隨便拿一把去開門，問該次才把門打開的概率為多少？把外形相同的鑰匙其中意識地每次從人第第二十三張，PPT共三

14、十五頁，創(chuàng)作于2022年6月解: 因為該人每次從不做記號又放回）所以能打開門的一把鑰匙在每次 ，易知，這是一個次才把門打開，意味著前面次都沒有打開，于是由獨立性即得 P（第次才把門打開）=.把鑰匙中任取一把（試用后試用中恰被選種的概率為1/貝努里試驗，在第第二十四張，PPT共三十五頁，創(chuàng)作于2022年6月例1.5.11 （巴拿赫火柴問題）某數(shù)學家常帶有兩盒火柴（左、右袋中各放一盒）每次使用時，他在兩盒中任抓一盒，問他首次發(fā)現(xiàn)一盒空時另一盒有根的概率是多少？（， 為最初盒解: 設(shè)選取左邊衣袋為“成功”，于是相繼選取衣的貝努里試驗.當某一時刻為先根火柴的事件次失敗發(fā)生在第其中從左袋中取了根，并且在

15、還要從左袋中取，才能發(fā)現(xiàn)左袋已經(jīng)取完， 盒子中的火柴數(shù)）袋，就構(gòu)成了發(fā)現(xiàn)左袋中沒有火柴而右袋中恰有相當于恰有根火柴，次取火柴第二十五張，PPT共三十五頁，創(chuàng)作于2022年6月因此 P（發(fā)現(xiàn)左袋空而右袋室而右袋還有根）. =由對稱性, 首次發(fā)現(xiàn)右袋中沒有火柴而左袋中恰有根的概率為.故所求的概率為第二十六張，PPT共三十五頁，創(chuàng)作于2022年6月習題1.51.兩射手獨立地向同一目標射擊，設(shè)甲、乙擊中目標的概率分別為0.9和0.8，求（1）兩人都擊中目標的概率；（2）目標被擊中的概率；（3）恰好有一人擊中目標的概率. 2.甲乙兩人獨立的對同一目標射擊一次，其命中率分別為0.6和0.7，現(xiàn)已知目標被擊

16、中，求它是甲擊中的概率 3.三人獨立的解一道數(shù)學難題，它們能單獨解出的，求此難題被解出的概率.概率分別為第二十七張，PPT共三十五頁，創(chuàng)作于2022年6月4.設(shè)相互獨立，證明獨立，也獨立 5.求下列系統(tǒng)（如圖所示）的可靠度，假設(shè)原件的各原件正常工作或失效相互獨立。（1）123123可靠度為第二十八張，PPT共三十五頁，創(chuàng)作于2022年6月(2)222131321(3) 第二十九張，PPT共三十五頁，創(chuàng)作于2022年6月(4)12231116.甲乙兩人進行乒乓球比賽，每局甲勝的概率為.問對甲而言，采用三局兩勝制有利，還是7.若事件相互獨立且互不相容，試求.采用五局三勝制有利，設(shè)各局勝負相互獨立.

17、第三十張，PPT共三十五頁，創(chuàng)作于2022年6月8.設(shè)，在以下情況下求（1）互不相容；（2）獨立；（3）.9.設(shè)兩兩獨立，且 （1）如果，試求的最大值；（2）如果，且求.,10.事件獨立，都不發(fā)生的概率為，發(fā)生不發(fā)生的概率與發(fā)生不發(fā)生的概率相等，求.第三十一張，PPT共三十五頁，創(chuàng)作于2022年6月11.一個人的血型為型的概率分別為（2）此四人的血型全部相同的概率.12.一大樓裝有5個同類型的供水設(shè)備.調(diào)查表明在任一時刻 每個供水設(shè)備被使用的概率為0.1，求在同一時刻：（1）恰有2個設(shè)備被使用的概率； （2）至少有3個設(shè)備被使用的概率；（3）至多有3個設(shè)備被使用的概率； （4）至少有1個設(shè)備被使用的概率.，現(xiàn)任意挑選四人，試求：（1）此四人的血型全不相同的概率；第三十二張，PPT共三十五頁，創(chuàng)作于2022年6月13.一射手對同一目標獨立地進行四次射擊，若至少，試求該射手進行一次射擊的14.甲袋有1個黑球，2個白球，乙袋中有3個白球，每次從兩袋中各取一個，交換放入另一袋中，求交換幾次后，黑球仍在甲袋中的概率.15.某廠某車間有10臺同型機床，每臺機床配備的電動機功率為10千瓦，已知每臺機床工作時，平均每小時實際開動12分鐘，并且這10臺機床開動與否是相互獨立的，現(xiàn)因電力供應(yīng)緊張，電力部門只提供50千瓦的電力給這10臺機床，文這10臺機床能正常工作的