例談建模思想在解決數(shù)學(xué)實(shí)際性問題中應(yīng)用

1、例談建模思想在解決數(shù)學(xué)實(shí)際性問題中應(yīng)用張傳高摘要：數(shù)學(xué)，作為一門研究現(xiàn)實(shí)世界數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)，在它產(chǎn)生和開展的歷史長河中，一直是和人們生活的實(shí)際需要密切相關(guān)的。數(shù)學(xué)建模作為用數(shù)學(xué)方法解決實(shí)際問題的第一步，它與數(shù)學(xué)同樣有著悠久的歷史。兩千多年以前創(chuàng)立的歐幾里德幾何，十七世紀(jì)發(fā)現(xiàn)的牛頓萬有引力定律，都是科學(xué)開展史上數(shù)學(xué)建模得成功范例。數(shù)學(xué)建模是運(yùn)用數(shù)學(xué)思想、方法和知識解決實(shí)際問題的過程，已經(jīng)成為不同層次數(shù)學(xué)教育重要和根本的內(nèi)容應(yīng)社會(huì)的開展趨勢。當(dāng)代教育應(yīng)以培養(yǎng)學(xué)生具有從實(shí)際問題中獲取信息，建立數(shù)學(xué)模型，分析問題與解決問題的能力作為主要任務(wù)。關(guān)鍵詞：建模思想；數(shù)學(xué)建模；數(shù)學(xué)應(yīng)用；實(shí)際性問題A

2、bstract: Mathematics, as a number of real-world relations and space forms of De science, Zai it produces and the development of river Zhong Li Shi, Yi Zhi yes, and its Shi Ji Sheng Huo relevant to the needs. Mathematical methods of mathematical modeling as the first step in solving practical problem

3、s, it also has a long history of mathematics. 2000 years ago founded the Euclidean geometry, the seventeenth century Newton discovered the law of gravity, are the scientific development in the history of mathematical modeling was successful example. Mathematical modeling is the use of mathematical i

4、deas, methods and process knowledge to solve practical problems, different levels of mathematics education has become an important and basic content of the social trends. Modern education should train students with access to information from the actual problem, a mathematical model to analyze the pr

5、oblems and problem-solving skills as the main task.Key words: modeling; mathematical modeling; mathematical applications; practical issues引言本人參加了“2021高教社杯全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽，并榮獲了貴州賽區(qū)甲組三等獎(jiǎng)。我們小組參賽的題目是“制動(dòng)器試驗(yàn)臺的控制方法，這是一個(gè)物理模擬問題，簡單的說，這是一個(gè)模擬剎車的過程，模擬的原那么是試驗(yàn)臺上制動(dòng)器的制動(dòng)過程與所設(shè)計(jì)的路試時(shí)車上制動(dòng)器的制動(dòng)過程理論上是一致的。這其中牽涉到數(shù)學(xué)和物理兩科目的相關(guān)專業(yè)知識，其中

6、應(yīng)用到數(shù)學(xué)方面的知識有柯西不等式、積分和數(shù)學(xué)軟件MATLAB等數(shù)學(xué)知識，另外應(yīng)用到的物理方面的知識有瞬時(shí)轉(zhuǎn)速、制動(dòng)扭矩、制動(dòng)時(shí)間等。此次競賽讓我感觸良深，它不僅讓我領(lǐng)略到數(shù)學(xué)建模大賽的魅力，而且讓我知道它對現(xiàn)實(shí)生活的重要意義，建模的思想可用于解決我們實(shí)際生活中的許多問題。其實(shí)數(shù)學(xué)建模就在我們?nèi)粘５纳钪?，與我們息息相關(guān)。1.數(shù)學(xué)建模和解決數(shù)學(xué)應(yīng)用性問題的意義1.1 什么是數(shù)學(xué)建模數(shù)學(xué)建模就是建立數(shù)學(xué)模型的過程，數(shù)學(xué)模型是近似表達(dá)現(xiàn)象特征的一種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。也就是說，數(shù)學(xué)建模是將某一領(lǐng)域或者某一問題，經(jīng)過抽象、簡化、明確變量和參數(shù)，并根據(jù)某種規(guī)律建立變量和參數(shù)間的一個(gè)明確的數(shù)學(xué)模型，然后求解該問題，

7、并對此結(jié)果進(jìn)行解釋和驗(yàn)證。簡單地說數(shù)學(xué)建模就是用數(shù)學(xué)作工具來解決現(xiàn)實(shí)生活中的實(shí)際問題的過程。1.2 研究數(shù)學(xué)建模對解決數(shù)學(xué)應(yīng)用性問題的意義進(jìn)入20世紀(jì)以來，隨著數(shù)學(xué)以空前的廣度和深度向一切領(lǐng)域滲透，以及電子計(jì)算機(jī)的出現(xiàn)與飛速開展，數(shù)學(xué)建模越來越受到人們的重視。各領(lǐng)域的各種問題都可以歸結(jié)為數(shù)學(xué)問題的求解，其求解大都依靠數(shù)學(xué)模型的建立，研究數(shù)學(xué)建模對解決數(shù)學(xué)應(yīng)用性問題有著重要的意義。1.2.1 在一般工程技術(shù)領(lǐng)域，數(shù)學(xué)建模仍然大有用武之地在以聲、光、熱、力、電這些物理學(xué)科為根底的諸如機(jī)械、電機(jī)、土木、水利等工程技術(shù)領(lǐng)域中，數(shù)學(xué)建模的普遍性和重要性不言而喻，雖然這里的根本模型是已有的，但是由于新技術(shù)

8、、新工藝的不斷涌現(xiàn)，提出了許多需要用數(shù)學(xué)方法解決的新問題；高速、大型計(jì)算機(jī)的飛速開展，使得過去即便有了數(shù)學(xué)模型也無法求解的課題如大型水壩的應(yīng)力計(jì)算，中長期天氣預(yù)報(bào)等迎刃而解；建立在數(shù)學(xué)模型和計(jì)算機(jī)模擬根底上的CAD技術(shù)，以其快速、經(jīng)濟(jì)、方便等優(yōu)勢，大量地替代了傳統(tǒng)工程設(shè)計(jì)中的現(xiàn)場實(shí)驗(yàn)、物理模擬等手段。1.2.2 在高新技術(shù)領(lǐng)域，數(shù)學(xué)建模幾乎是必不可少的工具無論是開展通訊、航天、微電子、自動(dòng)化等高新技術(shù)本身，還是將高新技術(shù)用于傳統(tǒng)工業(yè)去創(chuàng)造新工藝、開發(fā)新產(chǎn)品，計(jì)算機(jī)技術(shù)支持下的建模和模擬都是經(jīng)常使用的有效手段。數(shù)學(xué)建模、數(shù)值計(jì)算和計(jì)算機(jī)圖形學(xué)等相結(jié)合形成的計(jì)算機(jī)軟件，已經(jīng)被固化于產(chǎn)品中，在許多高

9、新技術(shù)領(lǐng)域起著核心作用，被認(rèn)為是高新技術(shù)的特征之一。在這個(gè)意義上，數(shù)學(xué)不再僅僅作為一門科學(xué)，它是許多技術(shù)的根底，而且直接走向了技術(shù)的前臺。國際上一位學(xué)者提出了“高技術(shù)本質(zhì)上是一種數(shù)學(xué)技術(shù)的觀點(diǎn)。 數(shù)學(xué)迅速進(jìn)入一些新領(lǐng)域，為數(shù)學(xué)建模開拓了許多新的處女地隨著數(shù)學(xué)向諸如經(jīng)濟(jì)、人口、生態(tài)、地質(zhì)等所謂非物理領(lǐng)域的滲透，一些交叉學(xué)科如計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)、人口控制論、數(shù)學(xué)生態(tài)學(xué)、數(shù)學(xué)地質(zhì)學(xué)等應(yīng)運(yùn)而生。一般地說，不存在作為支配關(guān)系的物理定律，當(dāng)用數(shù)學(xué)方法研究這些領(lǐng)域中的定量關(guān)系時(shí)，數(shù)學(xué)建模就成為首要的、關(guān)鍵的步驟和這些學(xué)科開展與應(yīng)用的根底。在這些領(lǐng)域里建立不同類型、不同方法、不同深淺程度模型的余地相當(dāng)大，為數(shù)學(xué)建模提

10、供了廣闊的新天地。馬克思說過，一門科學(xué)只有成功地運(yùn)用數(shù)學(xué)時(shí)，才算到達(dá)了完善的地步。展望21世紀(jì)，數(shù)學(xué)必將大踏步地進(jìn)入所有學(xué)科，數(shù)學(xué)建模將迎來蓬勃開展的新時(shí)期。1.2.4 數(shù)學(xué)建模對數(shù)學(xué)教學(xué)的意義開展數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)是促進(jìn)數(shù)學(xué)教育改革，實(shí)現(xiàn)從應(yīng)試教育向的素質(zhì)轉(zhuǎn)變的切實(shí)可行的改革之路，是培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用意識和創(chuàng)新精神的有效途徑；是人類探索自然和社會(huì)的運(yùn)行機(jī)理中所運(yùn)用的有效方法；是數(shù)學(xué)應(yīng)用于數(shù)學(xué)和社會(huì)的最根本的途徑。新的課程標(biāo)準(zhǔn)中對各年段數(shù)學(xué)課程的教學(xué)要求都專門列出了問題解決能力的標(biāo)準(zhǔn)，并特別強(qiáng)調(diào)了數(shù)學(xué)建模作為問題解決的一個(gè)側(cè)面的重要性。2. 建立數(shù)學(xué)建模的一般方法及根本思路建立數(shù)學(xué)模型的方法和步驟并沒有一

11、定的模式，但一個(gè)理想的模型應(yīng)能反映系統(tǒng)的全部重要特征，即：模型的可靠性和模型的實(shí)用性。2.1 數(shù)學(xué)建模的一般方法數(shù)學(xué)建模的方法很多，但從理論上講，主要有兩種方法：機(jī)理分析方法和測試分析方法。機(jī)理分析：根據(jù)對現(xiàn)實(shí)對象特性的認(rèn)識，分析其因果關(guān)系，找出反映內(nèi)部機(jī)理的規(guī)律，所建立的模型常有明確的物理或現(xiàn)實(shí)意義。測試分析方法：將研究對象視為一個(gè)“黑箱系統(tǒng)，內(nèi)部機(jī)理無法直接尋求，通過測量系統(tǒng)的輸入輸出數(shù)據(jù)，并以此為根底運(yùn)用統(tǒng)計(jì)分析方法，按照事先確定的準(zhǔn)那么在某一類模型中選出一個(gè)數(shù)據(jù)擬合得最好的模型。測試分析方法也叫做系統(tǒng)辯識。將這兩種方法結(jié)合起來使用，即用機(jī)理分析方法建立模型的結(jié)構(gòu)，用系統(tǒng)測試方法來確定模

12、型的參數(shù)，也是常用的建模方法。在實(shí)際過程中用那一種方法建模主要是根據(jù)我們對研究對象的了解程度和建模目的來決定。機(jī)理分析法建模的具體步驟大致如下：1、 實(shí)際問題通過抽象、簡化、假設(shè)，確定變量、參數(shù)；2、 建立數(shù)學(xué)模型并數(shù)學(xué)、數(shù)值地求解、確定參數(shù)；3、 用實(shí)際問題的實(shí)測數(shù)據(jù)等來檢驗(yàn)該數(shù)學(xué)模型；4、 符合實(shí)際，交付使用，從而可產(chǎn)生經(jīng)濟(jì)、社會(huì)效益；不符合實(shí)際，重新建模。數(shù)學(xué)模型方法的操作程序大致上為： 3 數(shù)學(xué)實(shí)際性問題中常見的建模及實(shí)例分析實(shí)際問題是復(fù)雜多變的，數(shù)學(xué)建模需要較多的探索和創(chuàng)造性，下面僅以初中數(shù)學(xué)應(yīng)用性問題常見的建模方法規(guī)律進(jìn)行歸納總結(jié)。數(shù)學(xué)常見的建模方法有：涉及圖形的位置性質(zhì)，建立幾何

13、模型；涉及對現(xiàn)實(shí)生活中物體的測量，建立解直角三角形模型；涉及現(xiàn)實(shí)生活中普遍存在的等量關(guān)系不等量關(guān)系，建立方程不等式模型；涉及現(xiàn)實(shí)生活中的變量關(guān)系，建立函數(shù)模型；涉及對數(shù)據(jù)的收集、整理、分析，建立統(tǒng)計(jì)模型等。3.1 建立幾何模型諸如臺風(fēng)、航海、三角測量、邊角余料加工、工程定位、拱橋計(jì)算、皮帶傳動(dòng)、坡比計(jì)算，作物栽培等傳統(tǒng)的應(yīng)用問題，涉及一定圓形的性質(zhì)，常需要建立相應(yīng)的幾何模型，轉(zhuǎn)化為幾何或三角函數(shù)問題求解。 例1：假設(shè)學(xué)生座位到黑板的距離是5米，老師在黑板上寫字，究竟要寫多大，才能使學(xué)生望去時(shí)，同他書桌相距30厘米的課本字感覺相同即視角相同？分析：看黑板上的字和看課本的字有遠(yuǎn)與近的區(qū)別，假設(shè)雙眼

14、去看，有一個(gè)調(diào)整視力焦距的問題，現(xiàn)在考慮二者的視角相等，要視角相等，只要兩三角形相似。解：量得幾何課本正文字的大小為高寬。如圖，假設(shè)看垂直課本和垂直黑板上一個(gè)字的視角相等，于是有: 那么 即這里 ，字高度： ，字寬度： ，因此，老師的黑板字大小應(yīng)為寬*高。說明：相似三角形對應(yīng)線段之比等于相似比，這一性質(zhì)應(yīng)用較多。例如利用影長計(jì)算大樹或建筑物的高度；利用某種物質(zhì)的固定長度，計(jì)算該物體與觀測者的距離等等。例：暑假里，小強(qiáng)幫母親到魚店去買魚。魚店里有一種竹簍魚，個(gè)個(gè)都長得非常相似，現(xiàn)有大小兩種不同的價(jià)錢，如下圖，魚長10cm的每條10元；魚長13cm的每條15元，小強(qiáng)不知道買哪種更好些，你們看怎么辦

15、？ 分析：這里要用到“立體相似的知識，兩個(gè)相似的立體，假設(shè)相似比對應(yīng)線段長度之比為，那么體積之比是。解：設(shè)兩條相似的魚A、B的長分別為和，即 B 對于A的相似比是13/10，那么體積之比就是。而A是10元，B是15元，這樣B對于 A 的價(jià)格比是。這里，論體積B是A的2.197倍，但價(jià)格B才是A的1.5倍，很顯然，買日比買A更合算。 3.2 建立直角坐標(biāo)系與函數(shù)模型當(dāng)變量的變化具有近似函數(shù)關(guān)系，或物體運(yùn)動(dòng)的軌跡具有某種規(guī)律時(shí)，可通過建立平面直角坐標(biāo)系，轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象問題討論。例3 某建筑的屋頂設(shè)計(jì)成橫截面為拋物線型曲線AOB的薄殼屋頂它的拱寬AB為，拱高CO為施工前要先制造建筑模板，怎樣畫出模板

16、的輪廓線呢？分 析：為了畫出符合要求的模板，通常要先建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，再寫出函數(shù)的關(guān)系式，然后根據(jù)這個(gè)關(guān)系式進(jìn)行計(jì)算，放樣畫圖例4：6月以來，我省普降大雨，時(shí)有山體滑坡災(zāi)害發(fā)生。北峰小學(xué)教學(xué)樓后面緊鄰著一個(gè)土坡，坡上面是一塊平地，如下圖：AFBC，斜坡AB長30米，坡角ABC 。為了防止滑坡，保障平安，學(xué)校決定對該土坡進(jìn)行改造，經(jīng)過地質(zhì)人員勘測，當(dāng)坡角不超過時(shí)，可以確保山體不滑坡。1求坡頂與地面的距離AD等于多少米？精確到0.1米2為確保平安，學(xué)校方案改造時(shí)保持坡腳B不動(dòng)，坡頂A沿AF削進(jìn)到E點(diǎn)處，求AE至少是多少米？精確到0.1米解：1在RtADB中，AB30m，ABC ，sinABC

17、2在 RtADB中連結(jié)BE、過E作ENBC于NAEBC四邊形AEND為矩形 NEAD在RtENB中，由當(dāng) AENDBNBD14.5m 說明：此題取材于學(xué)生身邊常見的自然現(xiàn)象，以銳角三角函數(shù)、解直角三角形知識為主體而設(shè)計(jì)探索題。通過它把學(xué)習(xí)與自然、生活結(jié)合在一起，能自覺地喚起學(xué)生學(xué)習(xí)思考的興趣，增強(qiáng) 探索大自然的信心。3.3 建立方程不等式模型對現(xiàn)實(shí)生活中廣泛存在的不等量關(guān)系：如投資決策等可挖掘?qū)嶋H問題隱含的數(shù)量關(guān)系，轉(zhuǎn)化為不等式組的求解式，目標(biāo)函數(shù)在閉區(qū)間的最正確問題。例5：某機(jī)床廠生產(chǎn)中所需墊片可外購，也可自己生產(chǎn)。如外購每個(gè)價(jià)格是1.10元，如自己生產(chǎn)，那么每月的固定本錢將增加800元，并

18、且生產(chǎn)每個(gè)墊片的材料和勞力費(fèi)用需0.60元，試決定該廠墊片外購或自產(chǎn)的決策轉(zhuǎn)折點(diǎn)。分析：在固定本錢增加800元不變的條件下，決定墊片外購還是自產(chǎn)的關(guān)鍵在于量的多少，設(shè)該廠每月需要墊片個(gè)，那么外購費(fèi)用為元，自產(chǎn)費(fèi)用為元，當(dāng)外購費(fèi)用大于自產(chǎn)費(fèi)用時(shí)那么自產(chǎn)，否那么便外購，問題轉(zhuǎn)化為求不等式的解，解得；當(dāng)該廠墊片需要量在1600個(gè)以上時(shí)，自產(chǎn)較為合算；少于1600個(gè)時(shí)以外購為好，而恰為1600個(gè)時(shí)外購與自產(chǎn)一樣，都需花費(fèi)元。3.4 建立函數(shù)模型例6：盧浦大橋拱形可以近似看作拋物線的一局部。在大橋截面111000的比例圖上，跨度，拱高，線段DE表示大橋拱內(nèi)橋長，DEAB，如圖1。在比例圖上，以直線 AB

19、 為軸，拋物線的對稱軸為軸，以作為數(shù)軸的單位長度，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖2。圖一圖二1求出圖2上以這一局部拋物線為圖象的函數(shù)解析式，寫出函數(shù)定義域；2如果DE與AB的距離，求盧浦大橋拱內(nèi)實(shí)際橋長備用數(shù)據(jù)： ，計(jì)算結(jié)果精確到1米。解：1由于頂點(diǎn)C在軸上，所以設(shè)以這局部拋物線為圖象的函數(shù)解析式為。 因?yàn)辄c(diǎn)或 ,在拋物線上，所以，得 。因此所求函數(shù)解析式為。2因?yàn)辄c(diǎn)的縱坐標(biāo)為 ， 所以 ，得 。所以點(diǎn) D 的坐標(biāo)為，點(diǎn) E 的坐標(biāo)為。 。因此盧浦大橋拱內(nèi)實(shí)際橋長為：米說明：解決此類問題時(shí)，要善于選擇函數(shù)表達(dá)方式，并建立二次函數(shù)模型求解，找準(zhǔn)解題的突破口。3.5 建立統(tǒng)計(jì)概率模型例7：下列圖反映了被

20、調(diào)查用戶對甲、乙兩種品牌空調(diào)售后效勞的滿意程度以下稱：用戶滿意程度，分為很不滿意、不滿意、較滿意、很滿意四個(gè)等級，并依次記為1分、2分、3分、4分。1分別求甲、乙兩種品牌用戶滿意程度分?jǐn)?shù)的平均值計(jì)算結(jié)果精確到0.01分；2根據(jù)條形統(tǒng)計(jì)圖及上述計(jì)算結(jié)果說明哪個(gè)品牌用戶滿意程度較高？該品牌用戶滿意程度分?jǐn)?shù)的眾數(shù)是多少？解：1甲品牌被調(diào)查用戶數(shù)為：50100200100450戶甲品牌滿意程度分?jǐn)?shù)的平均值：乙品牌滿意程度分?jǐn)?shù)的平均值：答：甲、乙品牌滿意程度分?jǐn)?shù)的平均值分別是2.78分、3.04分。2用戶滿意程度較高的品牌是乙品牌。因?yàn)橐移放茲M意程度分?jǐn)?shù)的平均值較大，且由統(tǒng)計(jì)圖知，乙品牌“較滿意、 “很

21、滿意的用戶數(shù)較多；該品牌用戶滿意程度的眾數(shù)是3分。 例8：小明拿著一個(gè)罐子來找小華做游戲，罐子里有四個(gè)一樣大小的玻璃球，兩個(gè)黑色，兩個(gè)白色。小明說：“使勁搖晃罐子，使罐子中的小球位置打亂，等小球落定后，如果是黑白相間地排列如下圖，就算甲方贏，否那么就算乙方贏。他問小華要當(dāng)甲方還是乙方，請你幫小華出主意，并說明理由。解：小華當(dāng)乙方。理由：設(shè)表示第一個(gè)黑球，表示第二個(gè)黑球，表示第一個(gè)白球，表示第二個(gè)白球。有24種可能結(jié)果可以利用樹狀圖或表格解釋，黑白相間排列的有8種。因此，甲方贏的概率為 ，乙方贏的概率為 ,故小華當(dāng)乙方。說明：這兩道例題將統(tǒng)計(jì)、概率知識應(yīng)用于解決日常生活中的問題，培養(yǎng)學(xué)生觀察、思

22、考問題的能力，表達(dá)數(shù)學(xué)的價(jià)值。4、建模在實(shí)際問題中的應(yīng)用例9：投籃命中問題題目：老喬丹在38歲時(shí)第二次復(fù)出 ，表現(xiàn)依然神勇，在全場比賽還剩最后一秒時(shí)，華盛頓奇才仍以2分落后于紐約尼克斯，在這關(guān)鍵時(shí)刻，喬丹在三分線外出手了!籃球的飛行路線為拋物線，喬丹出手高度為2.37米，籃球在飛行了4米后到達(dá)最高3.37米，問喬丹此次能否力挽狂瀾。(三分線是以籃框中心在地面的投影為圓心，6.25米為半徑的半圓；籃框的高度為3.05米)分析：引入的好壞在很大程度上關(guān)系到課堂教學(xué)的成敗，上面選擇多數(shù)同學(xué)關(guān)心的問題，構(gòu)造問題懸念，激發(fā)學(xué)生的興趣，引入新課，使學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)的樂趣和無窮的魅力。進(jìn)而引導(dǎo)學(xué)生分析：(1)

23、籃球的運(yùn)行軌跡是什么形狀?(拋物線)(2)研究拋物線還需要什么?(平面直角坐標(biāo)系)(3)怎樣建立平面直角坐標(biāo)系?教師演示投籃動(dòng)作，引導(dǎo)學(xué)生設(shè)想喬丹投籃時(shí)身體、籃球、籃框中心同在一個(gè)豎直的平面內(nèi)，并說明要建立平面直角坐標(biāo)必須有兩條互相垂直的坐標(biāo)軸，此時(shí)學(xué)生可能會(huì)有很多建立坐標(biāo)系的方法，教師肯定這些方法在理論上都是可行的，不妨選取過喬丹的腳和籃框在地面的投影的直線為軸，喬丹身體所在直線為軸，建立坐標(biāo)系。引導(dǎo)學(xué)生將題目中的提供的數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)為化點(diǎn)的坐標(biāo)，利用頂點(diǎn)式求出拋物線的解析式，進(jìn)而分析“投中的含義：拋物線經(jīng)過點(diǎn) ，驗(yàn)證發(fā)現(xiàn)：時(shí)， ，喬丹投籃命中!問題(3)是解答此題的難點(diǎn)和關(guān)鍵，教師可進(jìn)一步說明建立坐標(biāo)系的多種方法，并通過比擬說明建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系可減少運(yùn)算，到達(dá)事半功倍的效果。最后，引導(dǎo)學(xué)生回憶分析和解答過程，得到解決實(shí)際問題的一般思維策略。例10：洗衣問題題目：給你一桶水，洗一件衣服，如果我們直接將衣服放入水中就洗；或是將水分