理論力學(xué)-第二章第三章

1、第二章 作用于剛體上的力系等效與簡化2-1 力矩2-2 力偶的概念和性質(zhì)2-3力偶系的合成與平衡2-4 力的平移定理2-5 空間力系簡化及合成結(jié)果討論2-1 力矩力對點(diǎn)之矩是度量一個(gè)力使物體繞某點(diǎn)轉(zhuǎn)動的作用。在平面力系的情況下，力對點(diǎn)之矩用代數(shù)量表示。O 矩心； h 力臂;MO（F ) =Fh力矩的正負(fù)號規(guī)定“+”表示逆鐘向；“-”表示順鐘向；MO（F ) =2OAB面積平面內(nèi)力對點(diǎn)之矩空間力對點(diǎn)之矩平面力系中，力對點(diǎn)之矩用代數(shù)量表示已足夠但是在空間力系中，有必要用一個(gè)矢量 O（F）表示空間任一力對點(diǎn)之矩O（F）F h 2 (OAB 面積） 空間力對軸之矩度量力F 使剛體繞此軸轉(zhuǎn)動的作用。定義

2、: Z(F )|O(Fxy)|Fxy h即：力對Z 軸之矩等于此力在垂直與該軸的平面上的投影Fxy 對該軸與此平面交點(diǎn)之矩 。式中： x, y, z 力F 作用點(diǎn)的坐標(biāo)； Fx，F(xiàn)y,Fz 力F 沿三軸的投影。力對軸之矩等于力對點(diǎn)O 之矩矢量在相應(yīng)軸上的投影。 xzyO空間力對軸之矩推論：1、力沿作用線滑動后，F(xiàn)xy 與h 不變，故力對軸之矩不變；2、力F 與軸共面（相交或平衡）時(shí)，力對軸之矩為零。熟練計(jì)算力對軸之矩！空間力對軸之矩練習(xí)1：計(jì)算圖示力F對三軸之矩。 受力情況如圖所示，求（1）F1力對 x，y，z 軸的矩，（2）F2力 對 z軸的矩。OBF1AabcyxzzF2練習(xí)2：OB F1

3、AabcyxzzF21. 求F1力對 x，y，z 軸的矩。F1xyF1z解：如圖所示OBF1AabcyxzzF22.求F2力 對 z軸的矩。 應(yīng)用力矩關(guān)系定理，先求力F2對點(diǎn)A的矩。然后再投影到 z軸上。 思考題力偶：大小相等、方向相反而不共線的兩個(gè)平行力所組成的力系，稱為力偶。力偶作用面：由力偶的兩個(gè)力的作用線所決定的平面；力偶臂：力偶的兩個(gè)力的作用線間的垂直距離，一般用 d 表示。力偶的轉(zhuǎn)向：力偶使靜止剛體轉(zhuǎn)動的方向；力偶矩：在平面力偶的情況下，力偶矩用代數(shù)量表示， = d “”表示逆時(shí)鐘方向；“”表示順時(shí)鐘方向。2-2 力偶的概念和性質(zhì)力偶矩矢量在空間力偶系的情況下，力偶矩需要用一個(gè)矢量

4、M 表示，矢量M 的長度：表示力偶矩的大?。籑 的方位：垂直于力偶的作用面；指向：按右手螺旋規(guī)則，可表示力偶的轉(zhuǎn)向。同一平面內(nèi)兩力偶的等效條件是：力偶矩大小相等，轉(zhuǎn)向相同;力偶矩矢量是一自由矢量，而力矢量對剛體來說是一滑動矢量！ 同一平面內(nèi)兩力偶的等效條件是：力偶矩大小相等，轉(zhuǎn)向相同;力偶矩矢量同一平面內(nèi)兩力偶的等效條件是：力偶矩大小相等，轉(zhuǎn)向相同;2、不同平面內(nèi)兩力偶的等效條件是：力偶作用面平行（即作用面方位相同）、力偶矩大小相等以及力偶轉(zhuǎn)向相同?；蚝唵螖⑹鰹椋?兩力偶矩矢量相等.力偶矩矢量是一自由矢量，而力矢量對剛體來說是一滑動矢量！力偶系的合成及平衡條件 力偶系可以合成為一合力偶，合力偶

5、矩矢量等于各分力偶矩矢量的矢量和，即：幾何法表示：合力偶矩矢量等于各分力偶矩矢量所構(gòu)成的矢量多邊形的封閉邊矢量。平衡條件：力偶系平衡的必要與充分條件是合力偶矩矢量等于零，即力偶矩矢量多邊形自行封閉例 一簡支梁AB=d，作用一力偶 M ，求二支座約束力。 解：研究AB梁，受力分析如圖dMBAFA因?yàn)榱ε贾荒芘c力偶平衡 FA = FBM FAd = 0 FB由即FA = FB = M/d解：桿AB為二力桿。 例 如圖所示的鉸鏈四連桿機(jī)構(gòu)OABD，在桿OA和BD上分別作用著矩為 M1 和 M2 的力偶，而使機(jī)構(gòu)在圖示位置處于平衡。已知OA= r，DB= 2r，= 30，不計(jì)桿重，試求 M1 和 M2

6、 間的關(guān)系。DM2BFDFBAFOFABOM1AOBDM1M2AAO桿與BD桿的受力如圖所示。M1 r FAB cos= 0 M2 = 2 M1 DM2BFDFBAOM1FOFABA分別寫出桿AO和BD的平衡方程： M2 + 2r FBA cos= 0由FAB = FBA 得因?yàn)閯t得解：桿AB為二力桿。 AO桿與BD桿的受力如圖所示。 例 如圖所示機(jī)構(gòu)的自重不計(jì)。圓輪上的銷子A放在搖桿BC上的光滑導(dǎo)槽內(nèi)。圓輪上作用一力偶，其力偶矩為M1=2 kNm ， OA = r =0.5 m。圖示位置時(shí)OA與OB垂直,角=30o , 且系統(tǒng)平衡。求作用于搖桿BC上的力偶的矩 M2 及鉸鏈O，B處的約束力。

7、BOrACM2M1先取圓輪為研究對象。解得解：OAM1FOFABOrACM2M1 因?yàn)榱ε贾荒芘c力偶平衡，所以，力FA 與FO 構(gòu)成一力偶，故 FA= FO。再取搖桿BC為研究對象。其中解得BCAFBM2OAM1FOFABOrACM2M1力對點(diǎn)的矩與力偶矩的區(qū)別？不同處：力對點(diǎn)的矩可隨矩心的位置改變而改變，但一個(gè)力偶的矩是常量。相同處：力矩的量綱與力偶矩的相同。問題:兩者的作用效果相同嗎? 力的平移定理:作用在剛體上的力，可以平行于原來的作用線搬移到剛體內(nèi)的任意指定點(diǎn)而不改變該力對剛體的作用但需在該力和指定點(diǎn)所決定的平面內(nèi)附加一個(gè)力偶，其力偶矩等于該力對指定點(diǎn)之矩。2-3 力的平移定理力的平移

8、定理說明：1.力的平移定理是“力系向一點(diǎn)簡化”方法的理論基礎(chǔ)； 2.力的平移定理一方面說明了一個(gè)力可以平行搬移的條件；另一方面指出：一個(gè)力和一個(gè)力偶可以進(jìn)一步合成為一個(gè)力。 2-4 力系向一點(diǎn)簡化任一空間力系向一點(diǎn)簡化空間匯交力系空間力偶系合成為一個(gè)力偶合成為一個(gè)力FR=Fi=FiMO=Mi =MO(F)力系的主矢和主矩主矢：力系各力的矢量和稱為該力系的主矢,用 FR表示，即FR=Fi。主矩：力系各力對簡化中心之矩的和稱為該力系對簡化中心的主矩，O 表示,即 O =O （F） 。 結(jié)論：力系向簡化中心簡化，可以得到一個(gè)力和一個(gè)力偶，這個(gè)力的大小和方向與力系的主矢相同，作用于簡化中心；這個(gè)力偶的

9、力偶矩矢量等于力系對簡化中心的主矩 。主矢與簡化中心的選擇無關(guān)，主矩與簡化中心的選擇有關(guān)。同一力系向不同簡化中心簡化，結(jié)果之間有何關(guān)系？力系簡化結(jié)果討論空間力系合成結(jié)果：1、合成為一個(gè)力偶 2、合成為一個(gè)力3、合成為一個(gè)力螺旋 、平衡 、當(dāng)FR0 ，00 時(shí)，空間力系合成為一個(gè)力偶力系簡化結(jié)果討論2.1、FR0，0 0時(shí)，空間力系合成為一個(gè)力。FR=F 作用線過O點(diǎn)2.2、FR0，0 0且FR0 時(shí)，空間力系仍合成為一個(gè)力力系簡化結(jié)果討論3、當(dāng)FR0，0 0且FR0 時(shí)合成為力螺旋。力螺旋：（FR，0） 力系合成為一個(gè)力（作用于簡化中心）和一個(gè)力偶，且這個(gè)力垂直于這個(gè)力偶的作用面。這樣的一個(gè)力

10、和一個(gè)力偶的組合稱為力螺旋。右手螺旋：力矢F與力偶矩MO指向相同（圖a）。 左手螺旋：力矢F與力偶矩MO指向相反（圖b）。4、當(dāng)FR=0，0 =0，空間力系平衡6個(gè)獨(dú)立的平衡方程平面力系的合成結(jié)果主矢主矩合成結(jié)果0合力非0合力非0力偶0平衡 平面力系的合力對作用面內(nèi)任一點(diǎn)的矩，等于這力系中的各力對同一點(diǎn)的矩的代數(shù)和。 表達(dá)式： MO(FR)=MO(Fi)證明：因?yàn)?MO=MO(Fi) ,MO =FRd=MO(FR)所以 MO(FR)=MO(Fi)合力矩定理F1F2F3F4OABC xy2m3m3060 例 在長方形平板的O，A，B，C點(diǎn)上分別作用著有四個(gè)力：F1=1 kN，F(xiàn)2=2 kN，F(xiàn)3

11、=F4=3 kN（如圖），試求以上四個(gè)力構(gòu)成的力系對點(diǎn)O的簡化結(jié)果，以及該力系的最后的合成結(jié)果。解：取坐標(biāo)系Oxy。1、求向O點(diǎn)簡化結(jié)果。 求主矢FR 。F1F2F3F4OABC xy2m3m3060FOABC xy 求主矩。 2. 求合成結(jié)果。F1F2F3F4OABC xy2m3m3060FOABC xyMOFd合成為一個(gè)合力F，F(xiàn)的大小、方向與FR相同。其作用線與O點(diǎn)的垂直距離為 例 鉛直桅桿AB受彼此互相垂直的兩個(gè)水平力F1和F2的作用，并由張索CD維持平衡。已知尺寸l，力F1和F2，向D點(diǎn)簡化的結(jié)果是力螺旋，試求D點(diǎn)的位置。 令BD=s,將力F1和F2向D點(diǎn)簡化得主矢FR和主矩MD 在

12、坐標(biāo)軸x1，y1上的投影：解： 因?yàn)橄駾點(diǎn)簡化是力螺旋，即有FR/MD ,故從而解得所求距離問題簡化結(jié)果與主矢主矩之間的關(guān)系？同一力系向不同點(diǎn)簡化的結(jié)果之間有什么關(guān)系？常見力系簡化結(jié)果？第三章 平面力系的平衡問題3-1 平面力系平衡方程3-2 剛體系統(tǒng)的平衡問題、靜定、靜不定問題3-1平面力系的平衡方程力系平衡的充要條件是主矢主矩同時(shí)等于零。Fx 0 Fy 0 O（F ）0平面力系的平衡方程（基本形式）即：力系中各力在任選的兩直角坐標(biāo)軸上投影的代數(shù)和都等于零，以及力系中各力對任一點(diǎn)之矩的代數(shù)和也等于零平面力系平衡方程的其它形式兩矩一投影：A（F ）0B（F ）0Fx0附加條件：X 軸不垂直于A

13、、B 二點(diǎn)的連線。三矩式：A（F ）0 B（F ）0 C（F ）0附加條件：A、B、C 三點(diǎn)不共線。平面力系的平衡方程只有三個(gè)獨(dú)立方程，因此只能 求解三個(gè)未知量！平面平行力系平面平行力系（設(shè)各力作用線是平行于 y 軸），平衡方程兩種形式：一矩一投影：Fy0O（F ）0兩矩式：A（F ）0B（F ）0附加條件：A、B兩點(diǎn)的連線不與各力平行平面匯交力系平面力偶系其中例已知求：固定端 處約束力.解：取 型剛架，畫受力圖.根據(jù)平衡條件列方程習(xí)題已知：梁AD 的支承及受力如圖所示。F 500 N，F(xiàn)A1000 N，q 1000 N/m，2000 N m，a =2m 求：座B、C 的約束反力 解：取起重機(jī)

14、，畫受力圖.滿載時(shí)，為臨界狀況解得已知：例求：（1）起重機(jī)滿載和空載時(shí)不翻倒，平衡載重 ；（2） ，軌道 給起重機(jī)輪子的約束力。空載時(shí)，為臨界狀況解得 時(shí)內(nèi) 力 物體系內(nèi)部各物體間互相作用的力。 物體系平衡方程的數(shù)目 物體系 由若干個(gè)物體通過約束組成的系統(tǒng)。外 力 物體系以外任何物體作用于該系統(tǒng)的力。 由n個(gè)物體組成的物體系，總共有不多于3n個(gè)獨(dú)立的平衡方程。3-2 剛體系統(tǒng) 的平衡、靜定、靜不定概念靜定靜不定靜不定靜不定靜定問題 當(dāng)系統(tǒng)中未知量數(shù)目等于獨(dú)立平衡方程數(shù)目時(shí)的問題。靜不定問題 當(dāng)系統(tǒng)中未知量數(shù)目多于獨(dú)立平衡方程數(shù)目時(shí)，不能求出全部未知量的問題。判斷下面結(jié)構(gòu)是否靜定？例已知:F=2

15、0kN,q=10kN/m,l=1m;求:A, B處的約束力.解:取CD梁,畫受力圖.FB=45.77kN取整體,畫受力圖.例求:A,E支座處約束力及BD桿受力.已知:DC=CE=CA=CB=2l, R=2r=l, ,各構(gòu)件自 重不計(jì),取整體,畫受力圖.解:取DCE桿,畫受力圖.(拉)例已知: P2=2P1， P=20P1 ，r, R=2r,求:物C勻速上升時(shí)，作用于小輪上的力偶矩 軸承A，B處的約束力.解:取塔輪及重物 ,畫受力圖.由取小輪，畫受力圖. 例 如圖已知 q=3 kN/m，F(xiàn)=4 kN， M=2 kNm。 CD=BD, AC=4 m，CE=EA=2 m。各桿件自重不計(jì)，試求A和B處

16、的支座約束力。 22ABqC22FMDE30解：1.取BC為研究對象，受力分析如圖。FB= 2.89 kN22BCFMD30FCxFCyFB2. 取整體為研究對象，受力分析如圖。22ABqC22FMDE30FAxFAyMA30FAy= 0.58 kNFAx= 47.5 kNMA= -2 kNm或也可以取桿為AC研究對象, MC=0。22ABqC22FMDE30FAxFAyMA30例已知：構(gòu)架如圖所示,重物重P 10kN,AD DB 2m，CD DE 1.5m，不計(jì)摩擦及桿、滑輪的重量。求：桿BC 所受的力和桿AB 作用于銷釘D 的力。 如圖已知 F=15 kN， M =40 kNm。各桿件自重不計(jì)，試求D和B處的支座約束力。 討論題AMBEDCF4m4m2m2m2m2m60MDCFC4m2mFD解：1.先取CD為研究對