點、線、面的投影和經典例題

1、點、線、面的投影和經典例題 4.1 點的投影 4.2 直線的投影 4.3 兩直線的相對位置 4.4 平面的投影 4.5 換面法 4.6 直線與平面、平面與平面的相對位置4.1 點的投影 點的單面投影 .1. 點的三面投影及其特性 .1. 特殊點的三面投影 .1. 兩點的相對位置 .1. 重影點的可見性判別PaA點的單面投影 若點的位置確定，點的投影是確定的。Pa(b)B 若點的一個投影確定，點的位置是不確定的。A點的單面投影4.1.1 點的三面投影及其特性VWHXZYOAaaaaXaYaZ 空間點AH面投影aV面投影aW面投影a4.1.1 點的三面投影及其特性XZYWOYHHWVaHaWa移去

2、空間點 V面不動H面連同水平投影繞X軸向下旋轉W面連同側面投影繞Z軸向右旋轉VWHXZYOAaaaaxayaz4.1.1 點的三面投影及其特性VWHXZYOAaaaaXaYaZVWHXZYWYHOaaaaXaZaYHaYW點的投影連線垂直于相應的投影軸點的H面投影與V面投影的連線垂直于OX軸aa OX 點的V面投影與W面投影的連線垂直于OZ軸a aOZ4.1.1 點的三面投影及其特性VWHXZYOAaaaaXaYaZXZYWYHOaaaaXaZaYHaYW某一投影到投影軸的距離等于該點到相應投影面的距離aaZ = aaYH =Aa,點到W面的距離X坐標aaX = aaZ =Aa ,點到V面的距

3、離Y坐標aaX = aaYW=Aa ,點到H面的距離Z坐標【例4-1】已知A點的H面投影a和V面投影a，求A點的W面投影a。XZYWYHOaaaYWbXZbbOYHZXYO特殊點的三面投影WVaBHAaabbbCcccaaaccc投影面上的點 在該投影面上的投影與空間點自身重合， 另外兩個面上投影在相應的坐標軸上。YXHVWO特殊點的三面投影feddDeEfFdefZ投影軸上的點 在與該投影軸相關的兩個投影面上的投影與空間點自身重合， 另一投影面上的投影與坐標原點重合。dddXOZYHYWfffeee4.1.3 兩點的相對位置AOVWHZYXB 根據兩點的坐標差，可以確定兩點的相對位置兩點的左

4、右關系，X坐標大在左，小的在右；兩點的前后關系，Y坐標大在前，小的在后；兩點的上下關系，Z坐標大在上，小的在下。 bbbaaaYWXZYHOaaabbb4.1.4 重影點的可見性判別b( ) 當空間兩點位于同一條投射線上時，則該兩點在對應的投影面上的投影重合為一點，這兩點稱為對此投影面的重影點。OVWHZYXBbbAaaa4.1.4 重影點的可見性判別b( )OVWHZYXBbbAaaaYWXZYHOaaabbb( )不可見的投影字母加括號（ ）表示 判斷的基本原則看第三坐標，大者可見4.1.4 重影點的可見性判別Xb( c )OVWHZYXBCbccbYWZYHObbccb( c )前遮后上

5、遮下左遮右4.2 直線的投影 直線的傾角和分類 .2. 投影面垂直線 .2. 投影面平行線 .2. 一般位置直線 .2. 直線上的點直線的傾角OVWHZYXA傾角:空間直線對投影面的夾角 對 H 面的傾角 對 V 面的傾角 對 W 面的傾角 BOYWXZYHbbbaaaaaabbb直線的分類直線一般位置直線特殊位置直線投影面垂直線投影面平行線4.2.1 投影面垂直線 鉛垂線H，/V、W 正垂線V，/H、W 側垂線W，/H、V 垂直于一個投影面，平行于另外兩個投影面 4.2.1 投影面垂直線鉛垂線TLTLa(b)OYWXZYHaabba(b)bOVWHZYXBAbaaa(b)投影特性 H 積聚為

6、一點V、W 反映實長，/OZ傾角9004.2.1 投影面垂直線正垂線dOVWHZYXDCc(d)cdcTLTLOYWXZYHcdcdc(d)投影特性 V 積聚為一點H、W 反映實長，/OY傾角9004.2.1 投影面垂直線側垂線OVWHZYXFEee(f)fefTLTLOYWXZYHefefe(f)投影特性 W 積聚為一點V、H 反映實長，/OX傾角9004.2.1 投影面垂直線側垂線OVWHZYXFEee(f)fefTLTLOYWXZYHefefe(f)投影面垂直線的投影特性：在所垂直的投影面上的投影積聚為一點在另外兩個投影面上的投影平行于相關的投影軸，并反映直線實長TL4.2.2 投影面平

7、行線 水平線/H，V、W 正平線/V，H、W 側平線/W，H、V 平行于一個投影面，傾斜于另外兩個投影面 4.2.2 投影面平行線水平線TLOVWHZYXBAbbbaaaOYWXZYHaaabbb投影特性 H 反映實長,反映、傾角V、W 長度小于實長,OZ4.2.2 投影面平行線正平線OVWHZYXcccddd投影特性 V 反映實長,反映、傾角H、W 長度小于實長,OYOYWXZYHdddcccTL4.2.2 投影面平行線側平線OVWHZYXFEffeOYWXZYHeeefffTL投影特性 W 反映實長,反映、傾角V、H 長度小于實長,OX投影面平行線的投影特性：在所平行的投影面上的投影反映實

8、長，反映直線與另兩個相關的投影面的傾角另外兩個投影垂直于相關的投影軸，投影長度小于實長4.2.2 投影面平行線側平線OVWHZYXFEffeOYWXZYHeeefffTL4.2.3 一般位置直線與三個投影面均傾斜O(jiān)YWXZYHaaabbbOVWHZYXBAbbbaaa4.2.3 一般位置直線OYWXZYHbbbaaaOVWHZYXABaaabbb投影特性：三個投影均傾斜于投影軸投影長度小于實長babaZZTLZBAbabaA1TLOVHZYXOX4.2.3 一般位置直線直角三角形法求實長和4.2.3 一般位置直線直角三角形法求實長和BAbaaB1YTLOVHZYXbbabaYYTLOX例 已知

9、 線段的實長AB以及ab和a，求它的正面投影ab。2005-10-2揚州大學 孫懷林aXabAOBb0bb0bb0b b OVHXaABabbZY4.2.4 直線上的點CcccW從屬性 若點在直線上，則點的投影必在該直線的同面投影上。YWOXZYHbbbaaaabccc定比性 若點將直線分為兩段，則兩段的實長之比等于其投影長度之比。AC:CB = ac:cb = a c : c b = a c : c b 【例4-2】已知直線段AB的兩面投影ab和ab， 在直線AB上求作一點K,使AK:KB=2:3。kkXbaOab12345【例4-3】已知側平線AB和M、N兩點的H面和V面投影， 判斷M點和

10、N點是否在AB上。baa b abmmm 從屬性nnn OXYWZYH【例4-3】已知側平線AB和M、N兩點的H面和V面投影， 判斷M點和N點是否在AB上。baabmm定比性nnOX3124.3 兩直線的相對位置 .3. 兩直線平行 .3. 兩直線相交 .3. 兩直線交叉 .3. 兩直線垂直4.3.1 兩直線平行WacZVCaOAdDbcdbYcbBdaHXZcdbadbccdabXYWaOYH投影特性兩直線的同面投影相互平行；兩直線的長度之比和同面的投影長度之比相等。4.3.1 兩直線平行WacZVCaOAdDbcdbYcbBdaHXZcdbadbccdabXYWaOYH已知AB/CD，則a

11、b/cd , a b / c d , a b / c dAB:CD = ab:cd = a b : c d = a b : c d4.3.1 兩直線平行判斷兩直線是否平行對于兩一般位置直線，若有兩個同面投影均互相平行，則空間兩直線平行；對于平行于同一投影面的兩直線，若兩個同面投影均互相平行，并且其中一投影反映直線實長，則兩直線平行。baabdcdcXObcbda caOXdbac d abdcdca b 【例4-4】（a）已知兩側平線AB和CD,判斷AB和CD是否平行?！窘庖弧孔鞒龅谌队啊窘舛孔帜疙樞蛞粯?投影長度成比例ZXYWOYHfeg h efhgghe f 【例4-4】（b）已知兩

12、側平線EF和GH,判斷EF和GH是否平行。ZXYWOYH【解一】作出第三投影【解二】 EF和GH的V、H投影字母順序不一樣，EF和GH的指向不一致4.3.2 兩直線相交空間兩直線相交 三個同面投影均相交， 并且交點符合點的投影特性。XdbcacbadabdckkkYWYHOZVHAZYBDCdacbWcdbadcabkkkKOXcdd c dcbabaa b kkk ZXYWOYH【例】已知兩直線AB和CD,判斷AB和CD是否相交?！窘庖弧孔鞒龅谌队啊窘舛縜k: kb ak: kb4.3.3 兩直線交叉兩直線既不平行又不相交，稱為交叉二直線VHDBCAddccaabbOXYZbabacdc

13、dXO4.3.3 兩直線交叉 可能存在一個或兩個同面投影相互平行，但不存在三個同面投影都平行。 和平行的區(qū)別 可能有一個、兩個或三個同面投影相交，但交點不符合點的投影特性。 和相交的區(qū)別兩直線交叉的投影特性：4.3.3 兩直線交叉VH3 4( )DBCAddccaabb1 23412( )dcdcabab3 434121 2( )( )OXYZ判斷重影點的可見性4.3.4 兩直線垂直直角投影定理： 若空間兩直線垂直，且有一條平行于某一投影面，那么在該投影面上的投影仍然反映直角。 AB BC AB Bb AB 平面 BbcC有 AB bc又 AB ab故 ab bcHACBacb4.3.4 兩直

14、線垂直直角投影定理的逆定理： 若相交兩直線的同面投影反映直角，且有一條直線平行于該投影面，則兩直線必垂直。HACBacb cO a b c a b X【例4-5】已知直線AB和點C的兩面投影,求C點到AB的距離。XOaabbccdd距離【例4-6】求交叉直線AB和CD的距離MN實長及其投影。XOababccddnnmm距離例 如圖，矩形的一邊AB為水平線，試畫全矩形ABDC的二投影。 解： 按對邊平行關系畫全abdc; 按鄰邊垂直關系畫出ac;按對邊平行關系畫全abdc。單擊開始自動演播已知 作圖2005-10-2揚州大學 孫懷林例 作三角形ABC，ABC為直角，使BC在MN上，且BCAB=2

15、3。bbcABab|yA-yB|bc=BCcnmaaXmnO4.4 平面的投影 .4. 平面的表示法 .4. 各種位置平面 .4. 平面內的點和直線4.4.1 平面的表示法用幾何元素表示平面有五種形式：不在一直線上的三個點；一直線和直線外一點；相交兩直線；平行兩直線；任意平面圖形。cabbacabbcacabbcacbbacac幾何元素表示法abcabcdd4.4.1 平面的表示法跡線表示法跡線：平面和投影面的交線。VWHZYOXPPWPHPVXZYWYHOPWPVPH4.4.1 平面的表示法跡線表示法跡線：平面和投影面的交線。VWHZYOXQWQHQVXZYWYHOQQVQWQH4.4.2

16、各種位置平面平面一般位置平面特殊位置平面投影面垂直面投影面平行面4.4.2 各種位置平面 水平面/H，V、W 正平面/V， H、W 側平面/W， H、V 平行于某一投影面，并與另兩個投影面垂直 投影面平行面投影特性 H 反映實形V、W 積聚成一直線，OZ傾角0904.4.2 各種位置平面投影面平行面水平面VWHZYOXpppPXZYWYHOppp（TS）投影特性 V 反映實形H、W 積聚成一直線，OY傾角0904.4.2 各種位置平面投影面平行面正平面VWHZYOXqQqqXZYWYHOqqq （TS）投影特性 W 反映實形H、V 積聚成一直線，OX傾角0904.4.2 各種位置平面投影面平行

17、面?zhèn)绕矫鎂WHZYOXrrXZYWYHOrrr（TS）rR4.4.2 各種位置平面投影面平行面?zhèn)绕矫鎂WHZYOXrrXZYWYHOrrr（TS）rR投影面平行面的投影特性：在所平行的投影面上的投影反映實形在另外兩個投影面上積聚成直線，且垂直于相關的投影軸4.4.2 各種位置平面 鉛垂面H，V、W 正垂面V，H、W 側垂面W，H、V 垂直于某一投影面，并傾斜于另外兩個投影面投影面垂直面pp投影特性 H積聚成一直線，反映、傾角V、W反映類似形4.4.2 各種位置平面投影面垂直面鉛垂面VWHZYOXXZYWYHOppcpPpP4.4.2 各種位置平面投影面垂直面正垂面投影特性 V積聚成一直線，反映

18、、傾角H、W反映類似形VWHZYXqXZYWYHOqqqOQqqrr4.4.2 各種位置平面投影面垂直面?zhèn)却姑嫱队疤匦?W積聚成一直線，反映、傾角H、V反映類似形VWHZYOXRXZYWYHOrrrrrr4.4.2 各種位置平面投影面垂直面?zhèn)却姑鎂WHZYOXRXZYWYHOrrrr投影面垂直面的投影特性：在所垂直的投影面上的投影積聚成直線，該直線與投影軸的夾角反映平面與相關的投影面的傾角在另兩個投影面上的投影是類似圖形4.4.2 各種位置平面一般位置平面VWHZYOX一般位置平面 對三個投影面都傾斜的平面baacacbbcXZYWYHObbbacacacABC4.4.2 各種位置平面一般位置

19、平面VWHZYOXbaacacbbcXZYWYHObbbacacacABC一般位置平面的投影特性：三個投影均與平面是類似圖形，且面積小于實形面積不反映平面對投影面的傾角平面內的點點在平面內的某一條直線上平面內的直線通過平面內兩個點過平面內一點，且平行于平面內的某一條直線4.4.3 平面內的點和直線AbcHaCBMNmnAbcHaCBMmEe存在條件【例4-7】判斷點D是否在平面ABC內。XcabbacOeedd例 2005-10-2揚州大學 孫懷林已知ABC 給定一平面，（1）判斷點K是否屬于該平面。（2）已知平面上一點E的正面投影e作出水平投影。k kabcabcddee11XO例 2005

20、-10-2揚州大學 孫懷林已知點E 在ABC平面上，且點E距離H面15，距離V 面10，試求點E的投影。Xabcbacmnmnrsrs1015ee4.4.3 平面內的點和直線VWHZYOXPPWPHPVCD正平線AB水平線EF側平線平面內的投影面平行線平面上的水平線（ H ）平面上的正平線（ V ）平面上的側平線（ W）【例】過A、B、C分別作平面ABC內的水平線、正平線和側平線。abcabddXOc【例】過A、B、C分別作平面ABC內的水平線、正平線和側平線。abcabeeXOc【例】過A、B、C分別作平面ABC內的水平線、正平線和側平線。abcabffXOc 補充知識點： 平面上投影面的最

21、大斜度線2005-10-2揚州大學 孫懷林 (1)平面對投影面的最大斜度線必定垂直于平面上對該投影面的平行線；最大斜度線在該投影面上的投影必定垂直于平面上該投影面平行線的同面投影。 (2) 最大斜度線對投影面的角度最大。最大斜度線的幾何意義:用來測定平面對投影面的角度HPCDaSAE例152005-10-2揚州大學 孫懷林求 ABC平面與水平投影面的夾角 。be BEddeeabcabc4.5 換面法 .5. 基本概念 .5. 六個基本問題 換面法指空間幾何元素位置不變，對投影面進行更換，使空間幾何元素對更換的新投影面處于有利于解題的特殊位置。4.5.1 基本概念一般位置直線變換為投影面平行線

22、投影面垂直面變換為投影面平行面4.5.1 基本概念一般位置直線變換為投影面平行線投影面垂直面變換為投影面平行面進行投影變換時，新投影面的位置必須符合下列兩個條件：新投影面必須垂直于一個原有投影面，即新的投影體系仍是直角投影體系新投影面必須和空間幾何元素處于便于解題的特殊位置4.5.1 基本概念點的一次變換aaa1aX1a1aX1XVHVH1VHAaaXX1H1新的投影連線垂直于新的投影軸，a1aO1X1新投影到新投影軸的距離，等于被替換的舊投影到舊投影軸的距離，a1aX1=aaX不變舊新舊投影面新投影面不變投影面【例4-8】已知點A的兩個投影a和a，舊投影軸OX和新投影軸O1X1, 求點A的新

23、投影a1。O1O1OXXH2AHaVaa1X1ax1axX2a2V1ax2OO1O24.5.1 基本概念點的二次變換XVHX1HV1V1H2X2aaa1a2舊不變新舊不變新舊投影面新投影面不變投影面不變投影面新投影面舊投影面每次只能變換一個投影面，而且新投影面和不變投影面構成直角投影體系多次換面時，V和H應交替更換OO1O24.5.2 六個基本問題1）一般位置直線變換成投影面平行線b1a1ababX1X實長一般位置線換V面“正平線 ”（實長，）一般位置線換H面“水平線 ”（實長，）OO1VHHV14.5.2 六個基本問題2）投影面平行線變換成投影面垂直線XVX1aaHbbABa1(b1)aba

24、ba1(b1)XX1水平線“正垂線”換V面正平線“鉛垂線”換H面H1OO1VHVH1OO14.5.2 六個基本問題3）一般位置直線變換成投影面垂直線a1a2 b2AH2HaVaX1XX2V1Bbb1bXVHHV1V1H2X2X1bbb1b2(a2)aaa1OOO1O2O1O24.5.2 六個基本問題3）一般位置直線變換成投影面垂直線XVHHV1V1H2X2X1bbb1b2(a2)aaa1OO1O2一般位置線“正平線”（實長，）換V面換H面“鉛垂線”一般位置線“水平線”（實長，）換H面換V面“正垂線”2005-10-2揚州大學 孫懷林X2H2V1X1HV1a2b2d2c2b1a1d1c11121

25、21babdcaXVHdc211222 例 求兩直線AB與CD的公垂線 。 H24.5.2 六個基本問題4）一般位置平面變換成投影面垂直面aabebeccXX1b1c1一般位置面取水平線“正垂面”（）換V面一般位置面“鉛垂面”（）取正平線換H面OVHa1(e1)O1HV12005-10-2揚州大學 孫懷林a c b bac enken ddX1VH1b1a1c1d1k1ke1 例 已知E到平面ABC的距離為N，求E點的正面投影e。4.5.2 六個基本問題5）投影面垂直面變換成投影面平行面b1a1XX1aabbccc1TS正垂面“水平面”（實形）換H面鉛垂面“正平面”（實形）換V面OVHO1HV

26、14.5.2 六個基本問題6）一般位置平面變換成投影面平行面Xaa1a2bbb1c1c2b2ccTSa一般位置面“正垂面”（）取水平線換V面“水平面”（實形）換H面X1X2OO1VHHV1O2V1H2一般位置面“鉛垂面”（）取正平線換H面“正平面”（實形）換V面2005-10-2揚州大學 孫懷林 例 已知點E在平面ABC上，距離A、B為15，求E點的投影。a cXVHbbac d db1 a1c1d1X1H1Va2c2b2d2X2V2H11515eee1e24.6 直線與平面、平面與平面的相對位置 .6. 平行問題 .6. 相交問題 .6. 垂直問題4.6.1 平行問題直線和平面平行 若平面外

27、一直線平行于平面內任一直線，則該直線和平面互相平行。PCDAB【例4-9】已知ABC和M點，作過M點的水平線MN/ ABC。nnmmabcdabcdXO【例4-10】判斷直線MN與平面ABCD是否平行。efefOnmXmadbccdabn例3、過點M作直線MN平行于V面和ABC。2005-10-2揚州大學 孫懷林解：正平線abcmmabc ABC為正垂面，直線MN的正面投影mn必定平行于abc。又MN為正平線，mn平行于OX軸。nn有唯一解有多少解？4.6.1 平行問題直線和平面平行ObbXappa 當平面的某一投影具有積聚性時，則該投影可反映平面和直線的平行關系。4.6.1 平行問題平面和平

28、面平行 若兩平面內分別有一對相交直線對應平行，則兩平面互相平行。BCAPQEDF【例4-11】已知ABC和M點，過M點作平面平行于ABC 。abcabcmmeeffXO【例4-12】判斷ABC和平面DEFG是否平行。XOcbaabcdgffedemnnmg例 已知定平面由平行兩直線AB和CD給定。試過點K作一平面平行于已知平面 。2005-10-2揚州大學 孫懷林emnmnfefsrsrddcaacbbkkXO4.6.1 平行問題平面和平面平行pqqpXO 當兩平面均垂直于某投影面時，它們有積聚性的投影可直接反映平行關系。4.6.2 相交問題PABKABCMN交 點 直線和平面的共有點交 線

29、兩平面的共有線（兩個共有點）P直線和平面相交平面和平面相交4.6.2 相交問題直線和平面相交（1）一般位置直線和特殊位置平面相交 若平面處于特殊位置，其某一投影具有積聚性，則直線與平面的交點可利用直線與平面的積聚性投影相交而直接求得。ABKPHabkabpabpkk【例4-13】一般位置直線AB與鉛垂面P相交，求作交點K。直觀判別法可見性判別OX4.6.2 相交問題直線和平面相交（2）投影面垂直線和一般位置平面相交 直線與平面相交，當直線的投影有積聚性時，交點的一個投影已知，另一投影用面上取點的方法求出。Kkdm(n)bABHaCcDMNm(n)bacdmabcndkk121 2( )ee【例

30、4-14】鉛垂線MN與平面ABCD相交，求作交點K。可見性判別重影點判別法XO4.6.2 相交問題直線和平面相交（3）一般位置直線和一般位置平面相交HMNPACBEFK輔助平面法包含一般位置直線作一輔助平面，通常作投影面的垂直面作輔助平面和一般位置平面的交線求作此交線和一般位置直線的交點k【例4-15】一般位置直線MN和一般位置平面ABC相交，求交點K，并判別可見性。12effenmHMNPABCEFKcamncabbPHk1 2( )3 3 4( )4【解一】【解二】換面法將ABC變換成投影面垂直面OX4.6.2 相交問題平面和平面相交（1）兩特殊位置平面相交 兩平面相交，且均垂直于某一投影面，其交線必垂直于該投影面。則兩平面的交線可利用平面的積聚性投影求得?！纠?-16】鉛垂面P和Q相交，求作交線KL，并判別可見性。OXppqqklkl4.6.2 相交問題平面和平面相交（2）一般位置平面與特殊位置平面相交bABPHaCcMNmn 兩平面的交線可利用特殊位置平面的積聚性投影求得?！纠?-17】求一般位置平面ABC與鉛垂面Q的交線KL。abqabqccklklOX4.6.2