擬合與最小二乘法

1、當(dāng)問題的機(jī)理非常不清楚難以直接利用其他知識來建模時，一個較為自然的方法是利用數(shù)據(jù)進(jìn)行曲線擬合，找出變量之間的近似依賴關(guān)系即函數(shù)關(guān)系。擬合與最小二乘法實驗?zāi)康膶嶒瀮?nèi)容2、掌握用數(shù)學(xué)軟件求解擬合問題。1、直觀了解擬合基本內(nèi)容。1、擬合問題引例及基本理論。3、實驗作業(yè)。2、用數(shù)學(xué)軟件求解擬合問題。最小二乘法設(shè)經(jīng)實際測量已得 到n組數(shù)據(jù)（xi , yi），i=1, n。將數(shù)據(jù)畫在平面直角坐標(biāo)系中，見 圖。如果建模者判斷 這n個點很象是分布在某條直線附近，令 該直線方程 為y=ax+b，進(jìn)而利用數(shù)據(jù)來求參 數(shù)a和b。由于該直線只是數(shù)據(jù)近似滿足的關(guān)系式，故 yi-(axi+b)=0一般不成立，但我們希望

2、最小此式對a和b的偏導(dǎo)數(shù)均 為0，解相應(yīng)方程組，求得： y=ax+byO(xi ,yi)x其中 和 分別為xi和yi的平均值 如果建模者判斷變量間的關(guān)系并非線性關(guān)系而是其他類型的函數(shù)，則可作 變量替換使之轉(zhuǎn)化為線性關(guān)系或用類似方 法擬合。顯然，運動員體重越大，他能舉起的重量也越大，但舉重成績和運動員體重到底是怎樣關(guān)系的，不同量級運動員的成績又如何比較優(yōu)劣呢？運動成績是包括生理條件、心理因素等等眾多相關(guān)因素共同作用的結(jié)果，要建立精確的模型至少現(xiàn)在還無法辦到。但我們擁有大量的比賽成績紀(jì)錄，根據(jù)這些數(shù)據(jù)不妨可以建立一些經(jīng)驗?zāi)Ｐ?。為簡單起見，我們不妨取表中的?shù)據(jù)為例。例1（舉重成績的比較）舉重是一種一

3、般人都能看懂的運動，它共分九個重量級，有兩種主要的比賽方法：抓舉和挺舉。 表中給出了到1977年底為止九個重量級的世界紀(jì)錄。255200110以上237.518511022118090207.517082.5195157.575180141.567.5161.513060151120.55614110952挺舉（公斤）抓舉（公斤）成績重量級（上限體重）模型1（線性模型） 將數(shù)據(jù)畫在直角坐標(biāo)系中可以發(fā)現(xiàn)，運動成績與體量近似滿足線性關(guān)系，只有110公斤級有點例外，兩項成績都顯得較低。應(yīng)用前面敘述的方法可求出近似關(guān) 系式L=kB+C，其中B為體重，L為舉重成績。你在作圖 時L軸可以放 在50公斤或5

4、2公斤處，因為沒有更輕級別的比賽，具體計算留給讀者自己去完成。 模型2（冪函數(shù)模型） 線性模型并未得到廣泛的接受，要改進(jìn)結(jié)果，能夠想到的自然首先是冪函數(shù)模型，即令L=kBa，對此式取對數(shù)，得 到lnL=lnk+a lnB。將原始數(shù)據(jù)也取對數(shù)，問題即轉(zhuǎn)化了線性模型，可用最小二乘法求出參數(shù)。幾十年前英國和愛爾蘭采用的比較舉重成績優(yōu)劣 的Austin公式：L=L/B3/4就是用這一方法求得的。 模型3（經(jīng)典模型） 經(jīng)典模型是根據(jù)生理學(xué)中的已知結(jié)果和比例關(guān)系推導(dǎo)出來的公式，應(yīng)當(dāng)說，它并不屬于經(jīng)驗公式。為建立數(shù)學(xué)模型，先提出如下一些假設(shè)： (1)舉重成績正比于選手肌肉的平均橫截 面積A，即L=k1A(2

5、)A正比于身高 L的平方，即 A=k2L2(3)體重正比于身高 L的三次方， 即B=k3L3根據(jù)上述假設(shè)，可得 顯然，K越大則成績越好，故可用 來比較選手比賽成績的優(yōu)劣。 模型4（O Carroll公式） 經(jīng)驗公式的主要依據(jù)是比例關(guān)系，其假設(shè)條件非常粗糙，可信度不大，因而大多數(shù)人認(rèn)為它不能令人信服。1967年，O Carroll基于動物學(xué)和統(tǒng)計分析得出了一個現(xiàn)在被廣泛使用的公式。O Carroll模型的假設(shè)條件是： (1) L=k1Aa, a1 (2) A=k2Lb, b2 (3) B-Bo =k3L3 假設(shè)(1)、(2)是解剖學(xué)中的統(tǒng)計規(guī)律，在假設(shè) （3）中O Carroll將體重劃分成兩部

6、分：B=B0+B1，B0為非肌肉重量。 故有： 根據(jù)三條假設(shè)可 得L=k(B-B0),k和為兩個常數(shù)， 此外，根據(jù)統(tǒng)計結(jié)果，他 得出B035公斤， k越大成績越好。因而建議根據(jù)的大小 來比 較選手成績的優(yōu)劣。 模型5（Vorobyev公式） 這是一個前蘇聯(lián)使用的公式。建模者認(rèn)為舉重選手舉起的不光是重物，也提高了自己的重心，故其舉起的總重量為L+B，可以看出，他們更重視的是腿部肌肉的爆發(fā)力。應(yīng)用與模型4類似的方法，得出了按 的大小比較成績優(yōu)劣的建議。 上述公式具有各不相同的基準(zhǔn)，無法相互比較。為了使公式具有可比性，需要對公式稍作處理。例如，我們可以要求各公式均滿足在 B=75公斤時有 L=L，則

7、上述各公式化為：（1）Austin公式：（2）經(jīng)典公式：（3）O Carroll公式：（4）Vorobyev公式：將公式（1）（4）用來比較1976年奧運會的抓舉成績，各公式對九個級別冠軍成績的優(yōu)劣排序如表 所示，比較結(jié)果較為一致，例如，對前三名的取法是完全一致的，其他排序的差異也較為微小。 138.5(8)141.9(7)135.6(7)131.8(8)175110150.3(2)152.9(2)150.5(2)148.3(2)17090152.1(1)153.5(1)152.2(1)151.3(1)162.542.5145.0(6)145.0(5)145.0(3)145.0(6)14575

8、145.8(5)144.7(6)144.8(5)146.1(5)13567.5147.7(3)146.2(3)145.0(3)147.8(3)12560146.6(4)145.7(4)142.8(6)146.3(4)117.556138.8(7)139.7(8)134.0(8)138.2(7)10552VorobyevO Carroll經(jīng)典公式Austin抓舉成績(公斤)體重(公斤)我們希望建立一個 體重與身高之間的關(guān)系式，不難看出兩者之間的關(guān)系不易通過機(jī)理的分析得出，不妨可以采取 統(tǒng)計方法，用數(shù)據(jù)來擬合出與實際情況較為相符的經(jīng)驗公式。 為此，我們先作一番抽樣調(diào)查，測量了十五個不同高度的人的體

9、重，列成了 下表，在抽樣時，各高度的人都需經(jīng)適當(dāng)挑選，既不要太胖也不要太瘦。例2 體重與身高的 關(guān)系將表中的數(shù)畫 到h-w平面上，你會發(fā)現(xiàn)這些數(shù)據(jù)分布很接近某一指數(shù)曲線。為此， 對h和w均取對數(shù)，令x=lnh，y=lnw，將（xi，yi）再畫到x-y平面中去（i=1,15），這次你會發(fā)現(xiàn)這些點幾乎就分布在一條直線附近，令此直線的 方程為y=ax+b，用最小二乘法求 得a2.3,b2.82，故可取y=2.32x+2.84，即lnw=2.32lnh+2.84，故有w=17.1h2.327566595451體重 w（公斤）1.851.781.711.671.63身高 h（米）5048413527體重

10、 w（公斤）1.601.551.511.351.26身高 h（米）2017151210體重 w（公斤）1.121.080.960.860.75身高 h（米）用MATLAB解擬合問題1、線性最小二乘擬合2、非線性最小二乘擬合用MATLAB作線性最小二乘擬合1. 作多項式f(x)=a1xm+ +amx+am+1擬合,可利用已有程序:a=polyfit(x,y,m)2. 對超定方程組可得最小二乘意義下的解。，用3.多項式在x處的值y可用以下命令計算： y=polyval（a，x）輸出擬合多項式系數(shù)a=a1, am , am+1 (數(shù)組)）輸入同長度的數(shù)組X，Y擬合多項式次數(shù)即要求 出二次多項式:中

11、的使得:例 3 對下面一組數(shù)據(jù)作二次多項式擬合1）輸入以下命令：x=0:0.1:1; y=-0.447 1.978 3.28 6.16 7.08 7.34 7.66 9.56 9.48 9.30 11.2; R=(x.2) x ones(11,1)； A=RyMATLAB(zxec1)解法1用解超定方程的方法2）計算結(jié)果： = -9.8108 20.1293 -0.03171）輸入以下命令： x=0:0.1:1; y=-0.447 1.978 3.28 6.16 7.08 7.34 7.66 9.56 9.48 9.30 11.2; A=polyfit(x,y,2) z=polyval(A,x

12、); plot(x,y,k+,x,z,r) %作出數(shù)據(jù)點和擬合曲線的圖形2）計算結(jié)果： = -9.8108 20.1293 -0.0317解法2用多項式擬合的命令MATLAB(zxec2)1. lsqcurvefit已知數(shù)據(jù)點： xdata=（xdata1，xdata2，xdatan）， ydata=（ydata1，ydata2，ydatan） 用MATLAB作非線性最小二乘擬合 Matlab的提供了兩個求非線性最小二乘擬合的函數(shù)：lsqcurvefit和lsqnonlin。兩個命令都要先建立M-文件fun.m，在其中定義函數(shù)f(x)，但兩者定義f(x)的方式是不同的,可參考例題. lsqcu

13、rvefit用以求含參量x（向量）的向量值函數(shù)F(x,xdata)=（F（x，xdata1），F(xiàn)（x，xdatan）T中的參變量x(向量),使得 輸入格式為: (1) x = lsqcurvefit (fun,x0,xdata,ydata); (2) x =lsqcurvefit (fun,x0,xdata,ydata,options); (3) x = lsqcurvefit (fun,x0,xdata,ydata,options,grad); (4) x, options = lsqcurvefit (fun,x0,xdata,ydata,); (5) x, options,funval

14、= lsqcurvefit (fun,x0,xdata,ydata,); (6) x, options,funval, Jacob = lsqcurvefit (fun,x0,xdata,ydata,);fun是一個事先建立的定義函數(shù)F(x,xdata) 的M-文件, 自變量為x和xdata說明：x = lsqcurvefit (fun,x0,xdata,ydata,options);迭代初值已知數(shù)據(jù)點選項見無約束優(yōu)化 lsqnonlin用以求含參量x（向量）的向量值函數(shù) f(x)=(f1(x),f2(x),fn(x)T 中的參量x，使得 最小。 其中 fi（x）=f（x，xdatai，yda

15、tai） =F(x,xdatai)-ydatai 2. lsqnonlin已知數(shù)據(jù)點： xdata=（xdata1，xdata2，xdatan） ydata=（ydata1，ydata2，ydatan）輸入格式為： 1） x=lsqnonlin（fun，x0）； 2） x= lsqnonlin （fun，x0，options）； 3） x= lsqnonlin （fun，x0，options，grad）； 4） x，options= lsqnonlin （fun，x0，）； 5） x，options，funval= lsqnonlin （fun，x0，）；說明：x= lsqnonlin （fu

16、n，x0，options）；fun是一個事先建立的定義函數(shù)f(x)的M-文件，自變量為x迭代初值選項見無約束優(yōu)化 例4 用下面一組數(shù)據(jù)擬合 中的參數(shù)a，b，k該問題即解最優(yōu)化問題：MATLAB(fzxec1) 1）編寫M-文件 curvefun1.m function f=curvefun1(x,tdata) f=x(1)+x(2)*exp(-0.02*x(3)*tdata) %其中 x(1)=a; x(2)=b；x(3)=k;2）輸入命令tdata=100:100:1000cdata=1e-03*4.54,4.99,5.35,5.65,5.90,6.10,6.26,6.39,6.50,6.5

17、9; x0=0.2,0.05,0.05; x=lsqcurvefit (curvefun1,x0,tdata,cdata) f= curvefun1(x,tdata) F(x，tdata)= ，x=(a，b，k)解法1. 用命令lsqcurvefit3）運算結(jié)果為：f =0.0043 0.0051 0.0056 0.0059 0.0061 0.0062 0.0062 0.0063 0.0063 0.0063 x = 0.0063 -0.0034 0.25424）結(jié)論：a=0.0063, b=-0.0034, k=0.2542MATLAB(fzxec2) 解法 2 用命令lsqnonlin f(

18、x)=F(x,tdata,ctada)= x=（a，b，k）1）編寫M-文件 curvefun2.m function f=curvefun2(x) tdata=100:100:1000; cdata=1e-03*4.54,4.99,5.35,5.65,5.90, 6.10,6.26,6.39,6.50,6.59; f=x(1)+x(2)*exp(-0.02*x(3)*tdata)- cdata2）輸入命令: x0=0.2,0.05,0.05;x=lsqnonlin(curvefun2,x0)f= curvefun2(x)函數(shù)curvefun2的自變量是x，cdata和tdata是已知參數(shù)，故

19、應(yīng)將cdata tdata的值寫在curvefun2.m中3）運算結(jié)果為 f =1.0e-003 *(0.2322 -0.1243 -0.2495 -0.2413 -0.1668 -0.0724 0.0241 0.1159 0.2030 0.2792 x =0.0063 -0.0034 0.2542可以看出,兩個命令的計算結(jié)果是相同的.4）結(jié)論：即擬合得a=0.0063 b=-0.0034 k=0.2542溫度t(0C) 20.5 32.7 51.0 73.0 95.7電阻R() 765 826 873 942 10322.由數(shù)據(jù)擬合R=a1t+a2實驗作業(yè)例2中，試用Matlab編程計算體重

20、與身高的擬合函數(shù)的 參數(shù)a,b擬合應(yīng)用問題實例 估計水塔的流量2、解題思路3、算法設(shè)計與編程1、問題 某居民區(qū)有一供居民用水的園柱形水塔，一般可以通過測量其水位來估計水的流量，但面臨的困難是，當(dāng)水塔水位下降到設(shè)定的最低水位時，水泵自動啟動向水塔供水，到設(shè)定的最高水位時停止供水，這段時間無法測量水塔的水位和水泵的供水量通常水泵每天供水一兩次，每次約兩小時.水塔是一個高12.2米，直徑17.4米的正園柱按照設(shè)計，水塔水位降至約8.2米時，水泵自動啟動，水位升到約10.8米時水泵停止工作表1 是某一天的水位測量記錄，試估計任何時刻（包括水泵正供水時）從水塔流出的水流量，及一天的總用水量流量估計的解題

21、思路擬合水位時間函數(shù)確定流量時間函數(shù)估計一天總用水量 擬合水位時間函數(shù) 測量記錄看，一天有兩個供水時段（以下稱第1供水時段和第2供水時段），和3個水泵不工作時段（以下稱第1時段t=0到t=8.97，第2次時段t=10.95到t=20.84和第3時段t=23以后）對第1、2時段的測量數(shù)據(jù)直接分別作多項式擬合，得到水位函數(shù)為使擬合曲線比較光滑，多項式次數(shù)不要太高，一般在36由于第3時段只有3個測量記錄，無法對這一時段的水位作出較好的擬合 2、確定流量時間函數(shù) 對于第1、2時段只需將水位函數(shù)求導(dǎo)數(shù)即可，對于兩個供水時段的流量，則用供水時段前后（水泵不工作時段）的流量擬合得到，并且將擬合得到的第2供水

22、時段流量外推，將第3時段流量包含在第2供水時段內(nèi)3、一天總用水量的估計 總用水量等于兩個水泵不工作時段和兩個供水時段用水量之和，它們都可以由流量對時間的積分得到。算法設(shè)計與編程1、擬合第1、2時段的水位，并導(dǎo)出流量2、擬合供水時段的流量3、估計一天總用水量4、流量及總用水量的檢驗 1、擬合第1時段的水位，并導(dǎo)出流量 設(shè)t，h為已輸入的時刻和水位測量記錄（水泵啟動的4個時刻不輸入），第1時段各時刻的流量可如下得：1） c1=polyfit（t（1：10），h（1：10），3）； %用3次多項式擬合第1時段水位，c1輸出3次多項式的系數(shù)2）a1=polyder（c1）； % a1輸出多項式（系數(shù)為

23、c1）導(dǎo)數(shù)的系數(shù) 3）tp1=0：0.1：9； x1=-polyval（a1，tp1）； % x1輸出多項式（系數(shù)為a1）在tp1點的函數(shù)值（取負(fù)后邊為正值），即tp1時刻的流量 MATLAB(llgj1)4）流量函數(shù)為： 2、擬合第2時段的水位，并導(dǎo)出流量 設(shè)t，h為已輸入的時刻和水位測量記錄（水泵啟動的4個時刻不輸入），第2時段各時刻的流量可如下得：1） c2=polyfit(t(10.9:21),h(10.9:21),3)； %用3次多項式擬合第2時段水位，c2輸出3次多項式的系數(shù)2） a2=polyder(c2)； % a2輸出多項式（系數(shù)為c2）導(dǎo)數(shù)的系數(shù) 3）tp2=10.9:0.

24、1:21; x2=-polyval(a2,tp2); % x2輸出多項式（系數(shù)為a2）在tp2點的函數(shù)值（取負(fù)后邊為正值），即tp2時刻的流量MATLAB(llgj2)4）流量函數(shù)為： 3、擬合供水時段的流量 在第1供水時段（t=911）之前（即第1時段）和之后（即第2時段）各取幾點，其流量已經(jīng)得到，用它們擬合第1供水時段的流量為使流量函數(shù)在t=9和t=11連續(xù)，我們簡單地只取4個點，擬合3次多項式（即曲線必過這4個點），實現(xiàn)如下： xx1=-polyval（a1，8 9）； %取第1時段在t=8,9的流量 xx2=-polyval（a2，11 12）； %取第2時段在t=11,12的流量 x

25、x12=xx1 xx2； c12=polyfit（8 9 11 12，xx12，3）； %擬合3次多項式 tp12=9：0.1：11； x12=polyval（c12，tp12）； % x12輸出第1供水時段 各時刻的流量MATLAB(llgj3)擬合的流量函數(shù)為： 在第2供水時段之前取t=20，20.8兩點的流水量，在該時刻之后（第3時段）僅有3個水位記錄，我們用差分得到流量，然后用這4個數(shù)值擬合第2供水時段的流量如下： dt3=diff（t(22：24)）； %最后3個時刻的兩兩之差 dh3=diff（h(22：24)）； %最后3個水位的兩兩之差 dht3=-dh3./dt3； %t(22)和t(23)的流量 t3=20 20.8 t(22) t(23)； xx3=-polyval(a2，t3(1：2)，dht3)； %取t3各時刻的流量 c3=poly