巧用輔助圓解題

1、PAGE PAGE 4巧用輔助圓解題河南省安陽市梅園中學(xué)（455004） 張立界 圓是很美麗的幾何圖形，它既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形.關(guān)于圓有很多定理和概念，可簡(jiǎn)化解題步驟.學(xué)習(xí)圓以后，證明線段和角相等，可以不用證三角形全等.思路比以前更多了，思維更開闊了.當(dāng)我們解決幾何問題時(shí)，可以考慮用圓的知識(shí)解決.下面舉兩例說明，和大家分享.例1.如圖，在四邊形ABCD中，AC、BD是對(duì)角線，AB=AC=AD，如果BAC=70o 那么BDC= . 思路分析：因?yàn)锳B、AC、AD，都是從A出發(fā)的線段，關(guān)鍵是AB=AC=AD，所以可想到如果以A為圓心，AB為半徑畫圓，那么B、C

2、、D三點(diǎn)均在同一個(gè)圓上.圓已作好，自然會(huì)用關(guān)于圓的定理，此時(shí)問題會(huì)迎刃而解.解：以A為圓心，AB為半徑作A，AB=AC=AD，則B、C、D均在A上. BAC=70o，BDC=35o.解題感悟：解答本題很容易想到用等腰三角形知識(shí)去解，但求出一些角后，發(fā)現(xiàn)不易求出最后答案.也很容易誤用平行四邊形或菱形性質(zhì)去做，這就增加了條件，得到錯(cuò)誤答案.從本題我們應(yīng)得到啟示，當(dāng)遇到兩條線段，特別是三條線段相等時(shí)，可想到圓是一個(gè)很好的解題工具.例2.如圖，在梯形ABCD中，ADBC，對(duì)角線ACBD，若AD=3，BC=7，則梯形ABCD面積的最大值 . 思路分析：梯形的上下底已知，當(dāng)高最大時(shí)，梯形的面積最大.怎么求

3、高呢？顯然高是可以變化的.當(dāng)梯形的對(duì)角線互相垂直時(shí)，可以平移對(duì)角線，把梯形問題轉(zhuǎn)化成直角三角形問題.此時(shí)用“圓的直徑所對(duì)的圓周角是直角”這個(gè)結(jié)論，就可知道何時(shí)直角三角形的高（梯形的高）最大.問題迎刃而解.解：如圖，過D作DEAC，以BE為直徑作O.ADBC，四邊形ACED為平行四邊形.ACBD，BDDE.即BDE=90o.點(diǎn)D在O上.過D作DHBE，當(dāng)H與O重合時(shí)，在RtBED中，BE邊上的高最大，即梯形的高最大.DH=BE=5.S梯形ABCD最大=（AD+BC）DH=（3+7）5=25. 解題感悟：當(dāng)D在O上運(yùn)動(dòng)時(shí)，RtBED中，BE邊上的高在變，而直徑BE不變，BDE=90o不變.由此很好

4、的解決了最大高問題.這就啟示我們，直角三角形的最值問題，可考慮用“圓的直徑所對(duì)圓周角是90o”這個(gè)結(jié)論.例3.已知：如圖，CACBCD，過三點(diǎn)A，C，D的O交AB于點(diǎn)F求證：CF平分BCD思路分析：由CACBCD，我們可想到：以C為圓心，CA為半徑作圓，則點(diǎn)A、B、D均在C上.此時(shí)可用圓周角定理，同弧所對(duì)圓周角和圓心角關(guān)系，得到結(jié)論.解答過程如下： 解：以點(diǎn)C為圓心，OA為半徑作圓，DAF是DCF弧DF所對(duì)的圓周角，DAF=DCF.DAB=DCB，DAB=DAF，DCF=DCB. DCF=BCF.CF平分BCD解題感悟：圓的問題很靈活，深刻理解圓的概念定理會(huì)有助于解題，本題由三條線段構(gòu)造輔助圓，解法很創(chuàng)新.圓的內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)，結(jié)合圓周角、圓心角定理，多思考，有時(shí)會(huì)得到意想不到的效果.現(xiàn)在就練.如圖，RtABC中，C=90，ABC=30，AB=6點(diǎn)D在AB邊上，點(diǎn)E是BC邊上一點(diǎn)（不與點(diǎn)B、C