高數(shù)下冊(cè)課件全微分

1、第四節(jié)全微分一元函數(shù) y = f (x) 的微分xox 近似計(jì)算 估計(jì)誤差 x)x應(yīng)用本節(jié)內(nèi)容:一、全微分的定義二、可微的條件第九章一、全微分的定義定義: 如果函數(shù)z f ( x, y 在點(diǎn) x, y)的全增量可表示為x By o( ),其中A、B僅與x、y有關(guān), 而不依賴于 、 ,z f ( x, y) 在點(diǎn) ( x(x)2 (y)2 , 則稱函數(shù)Ay 稱為函y 處可微分,( xy數(shù)z在點(diǎn)(處的全微分.記作即x By.d函數(shù)若在某平面區(qū)域D內(nèi)處處可微時(shí),這函數(shù)在D內(nèi)的可微函數(shù).則稱P x, y 處的偏增量注1：y 0時(shí)，函數(shù)在 x z f x x, y f x, y x z A x o x可

2、表為稱A x為函數(shù)f x, y 在點(diǎn) x, y關(guān)于x 的偏微分類似的，稱B y為函數(shù)f x, y在點(diǎn) x, y關(guān)于 y 的偏微分（全微分=各偏微分之和，疊加原理）注2：記 dx x,dy y,則 dz Adx Bdy.函數(shù) f x, y滿足什么條件時(shí)可微？函數(shù)可微時(shí)A ?, B ?可微與可偏導(dǎo)、連續(xù)的關(guān)系？二、可微的條件定理1(必要條件)若函數(shù)z = f (x, y) 在點(diǎn)(x, y) 可微 ,則(1)函數(shù)在該點(diǎn)連續(xù)；(2)函數(shù)在該點(diǎn)偏導(dǎo)數(shù)必存在，且有z A, z B.xy證：請(qǐng)看黑板！注1: dz z x z y x注2： 函數(shù)可微 y函數(shù)在該點(diǎn)連續(xù)不連續(xù)的函數(shù)一定是不可微的.偏導(dǎo)數(shù)存在函數(shù)

3、可微即:注意: 定理1 的逆定理不成立.!偏導(dǎo)數(shù)存在函數(shù)不一定可微xy y2 0 x2,y2x2f ( x, y) 反例:函數(shù) y2 0 x20,fx(0, 0) f y(0, 0) 0 , 但 x y z f ( 0, 0) x f ( 0, 0) y xy( x)2 ( y)2 x y0( x)2 ( y)2 o( )因此,函數(shù)在點(diǎn) (0,0) 不可微 .z f x, y在 x0 , y0 可微的步驟注:判定1.判定f x, y在( x0 , y0 ) 是否連續(xù)若不連續(xù)，則不可微，否則轉(zhuǎn)下一步；2.判定f ( x , y )、f ( x , y )是否存在，x00y00若不存在，則不可微，

4、否則轉(zhuǎn)下一步；z f ( x, y )x f ( x, y )y=0 x00y003.判定lim 0若為0，則可微，否則不可微。一元函數(shù)可導(dǎo)可微多元函數(shù)各偏導(dǎo)數(shù)存在 全微分存在f ( x, y) 在( x0 , y0 ) 可微z fx x0 , y0 x f y x0 , y0 yz 0lim x y x0 y022說(shuō)明的偏導(dǎo)數(shù) z, z定理2 (充分條件)若函數(shù) x y在點(diǎn)( x, y) 連續(xù)， 則函數(shù)在該點(diǎn)可微分.證：z f ( x x, y y) f ( x, y) f ( x x, y y) f ( x, y y) f ( x, y y) f ( x, y)fx( x 1 x, y y

5、) x f y( x, y 2 y) y fx( x, y) x f y( x, y) ylim 0,lim 0 x0 y0 x0 y0(0 1 , 2 1 )z fx( x, y) x f y( x, y) y x ylim 0,lim 0 x0 y0 x0 y0 x y 注意到, 故有fx( x, y) x f y( x, y) y o( )z 所以函數(shù)在點(diǎn)可微.注： 偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)函數(shù)可微1( x, y) (0,0)xy sin,y2x2f ( x, y) 反例函數(shù)( x, y) (0,0)0,在點(diǎn) (0,0) 連續(xù)且偏導(dǎo)數(shù)存在, 但偏導(dǎo)數(shù)在點(diǎn) (0,0) 不連續(xù), 而 f ( x, y)在

6、點(diǎn) (0,0) 可微 .y2x21證: 1)因xyxy sin2y2x2lim f ( x, y) 0 所以f (0,0)x0 y0故函數(shù)在點(diǎn) (0, 0) 連續(xù) ;f y(0,0) 0. fx(0,0) 0 ;f ( x,0) 0,2) 3) 當(dāng)(x, y 0,0)時(shí),1x2 y1f ( x, y) ysincosxy2x2( x2 y2 )3y2x2沿射線 y ( x, y)當(dāng)點(diǎn)P(xyx趨于(0,0時(shí)(311x lim( x sincos)2 | x |2 | x |22 | x |3x0極限不存在 , f x( x, y) 在點(diǎn)(0,0)不連續(xù) ;f y( x, y) 在點(diǎn)(0,0)也

7、不連續(xù).同理 ,題目目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束(, y在點(diǎn) 0,0)可微 :4)下面證明 (x)2 (y)2, 則f f x(0,0)x f y(0,0)yx y sin 10 x0 f (x, y在點(diǎn) 0,0) 可微.說(shuō)明:此題表明, 偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)只是可微的充分條件.題目目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束三元及三元以上函數(shù)的可微性問(wèn)題.推廣:類似可例如, 三元函數(shù) u f ( x, y, z) 的全微分為d u u x u y u z x yz上把自變量的增量用微分表示, 于是u d zd u u d xx記作 d x uzd z ud x d,y d,z u稱為偏微分. 故有下述疊加原理 du dz u例1.

8、計(jì)算函數(shù)在點(diǎn) (2,1) 處的全微分.zzxy y xexy x ye,解:zz e2 , 2e2 x y(2,1)(2,1)例2. 計(jì)算函數(shù)的全微分.)d y yeyz dz( 1 cos y zeyz du 解:22例 3 求函數(shù)z y cos( x 2 y)，當(dāng)x ， y ，4dx ，dy 時(shí)的全微分.4zx y sin( x 2 y),解z cos( x 2 y) 2 y sin( x 2 y),y zdx z2 (4 7).dy dz(,)x ( ,)y ( ,)84441. 微分定義:z o ( ) f y( x, y)d y()d z fx( x, y)dx 2. 重要關(guān)系:偏導(dǎo)

9、數(shù)連續(xù)函數(shù)可微函數(shù)可偏導(dǎo)函數(shù)連續(xù)內(nèi)容小結(jié)練習(xí)題1、設(shè)z y2 在0, 0 是否可微？x2xy x, y 0, 0 x, y 0, 0在0, 0 是否可微？x y222、設(shè)fx, y03、函數(shù)f x, y 在a, b 處的偏導(dǎo)數(shù)存在，則lim f a x, b f a x, b (C)xfx a, b;x0fx 2a, b;(B)（A)fx a, b.2 f a, b;(D)(C)x24、z f x, y 在 x0 , y0 可微的充分條件是( D).f x, y 在 x0 , y0 連續(xù)；(A)(B) fx x, y , f y x, y 在 x0 , y0 的某鄰域內(nèi)存在；(C) z f x x0 , y0 x f y x0 , y0 yx2 y2 0時(shí)是無(wú)窮??；當(dāng) (D) z f x x0 , y0 x f y x0 , y0 yx 2 y2x2 y2 0時(shí)是無(wú)窮小 當(dāng) 5.二元函數(shù)f(x, y)在點(diǎn) (x0, y0)處兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)fx(x0, y0), f y(x0, y0)存在是 f (x, y) 在該點(diǎn)連續(xù)的().D充分條件而非必要條件必要條件而非充分條件充分必要條件既非充分條件又非必要條件6.考慮二元函數(shù) f (x, y)的