不完全信息靜態(tài)博弈

1、不完全信息靜態(tài)博弈STATIC GAME OF INCOMPLETE INFORMATION1摘自莊子子非魚, 安知魚之樂？子非我, 安知我不知魚之樂？2不完全信息在前面的分析中，我們假定支付函數(shù)是所有參與人的共同知識(Common Knowledge)如果在博弈中至少有一個參與人不知道其他參與人的支付函數(shù)，則稱該博弈為不完全信息博弈。不完全信息博弈又被稱為貝葉斯博弈不完全信息一些不完全信息的例子與一個陌生人打交道購買一幅藝術(shù)品一個企業(yè)想進入某個市場參與投標(biāo)的各個廠商一個簡例：市場進入博弈一個企業(yè)決定是否進入一個新的產(chǎn)業(yè)，但不知道在為企業(yè)的成本函數(shù)，也不知道一旦進入，在位者決定默許還是斗爭。假

2、定在位者有兩種可能成本函數(shù)：高成本和低成本。對應(yīng)兩種不同成本的不同策略組合的支付矩陣如表3-1所示。一個簡例：市場進入博弈表3-1 市場進入博弈：不完全信息在位者 高成本情況 低成本情況默許 斗爭 默許 斗爭 進入者進入不進入40. 50-10, 030, 80-10, 1000, 3000, 3000, 4000, 400如果在位者是高成本一個簡例：市場進入博弈在位者 高成本情況 低成本情況默許 斗爭 默許 斗爭 進入者進入不進入40. 50-10, 030, 80-10, 1000, 3000, 3000, 4000, 400進入者最優(yōu)行為是進入，在位者最優(yōu)行為是默許。表3-1 市場進入博

3、弈：不完全信息一個簡例：市場進入博弈在位者 高成本情況 低成本情況默許 斗爭 默許 斗爭 進入者進入不進入40. 50-10, 030, 80-10, 1000, 3000, 3000, 4000, 400如果在位者是低成本表3-1 市場進入博弈：不完全信息一個簡例：市場進入博弈在位者 高成本情況 低成本情況默許 斗爭 默許 斗爭 進入者進入不進入40. 50-10, 030, 80-10, 1000, 3000, 3000, 4000, 400進入者最優(yōu)行為是不進入，在位者最優(yōu)行為是斗爭（一旦低成本者進入）。表3-1 市場進入博弈：不完全信息一個簡例：市場進入博弈在位者 高成本情況 低成本情

4、況默許 斗爭 默許 斗爭 進入者進入不進入40. 50-10, 030, 80-10, 1000, 3000, 3000, 4000, 400但進入者不知道在位者究竟是高成本還是低成本，因此，進入者的最優(yōu)選擇依賴于他對在位者成本的信念。表3-1 市場進入博弈：不完全信息一個簡例：市場進入博弈假定進入者認(rèn)為在位者是高成本的概率是p,則是低成本的概率是(1-p)。進入者進入的期望支付是p(40)+(1-p)(-10)進入者不進入的期望支付是0比較上面兩個表達式，可知進入者的最優(yōu)選擇為如果p1/5，進入；如果p1/5，不進入。在前面市場進入博弈中，進入者似乎是在與兩個不同的在位者博弈，一個是高成本的

5、在位者，一個是低成本的在位者。一般地，如果在位者有T種可能的不同成本函數(shù)，進入者似乎是在與T個不同在位者博弈。海薩尼(Harsanyi)轉(zhuǎn)換如果一個參與人并不知道他在與誰進行博弈，博弈的規(guī)則無法進行定義。海薩尼通過引入虛擬的參與人”自然”(Nature)，將不完全信息博弈轉(zhuǎn)換為完全但不完美信息的博弈，從而可用完全信息博弈論進行處理，這就是著名的“海薩尼轉(zhuǎn)換”(Harsanyi Transformation)海薩尼(Harsanyi)轉(zhuǎn)換圖4.1就是市場進入博弈問題，經(jīng)過海薩尼轉(zhuǎn)換后，得到的博弈樹。0高低P1-P進入者不進入進入不進入進入合作斗爭合作斗爭(0, 300)(0, 400)(40,

6、50)(-10, 0)(30, 80)(-10, 100)圖3-1 市場進入博弈海薩尼(Harsanyi)轉(zhuǎn)換不完全信息靜態(tài)博弈中，參與人i的行動空間Ai可能依賴于他的類型i,或者說行動空間是類型依存的(type-contingent)。比如，一個企業(yè)選擇什么價格依賴于其實力；一個人能干什么事情依賴于其能力，等等。海薩尼(Harsanyi)轉(zhuǎn)換因此，行動空間可以表示為Ai(i)，一個特定行動可表示為集合Ai(i)中的一個元素 。類似的，參與人i的支付函數(shù)也是類型依存的（比如不同成本函數(shù)的企業(yè)利潤各不相同。），用ui(ai, a-i; i)表示參與人i的效用函數(shù)。于是可以用上述參數(shù)表示一個靜態(tài)貝

7、葉斯博弈。海薩尼(Harsanyi)轉(zhuǎn)換更為一般地，自然在博弈的開始選擇還可包括參與人的戰(zhàn)略空間、信息集、支付函數(shù)等。海薩尼(Harsanyi)轉(zhuǎn)換我們將一個參與人所擁有的所有個人信息稱為他的類型(Types)不完全信息意味著，至少有一個參與人有多個類型（否則就成為完全信息博弈）。海薩尼(Harsanyi)轉(zhuǎn)換一般地，用i表示參與人i的一個特定類型，i表示參與人i的所有類型的集合，即i i假定，只有參與人i知道自己的類型i 海薩尼(Harsanyi)轉(zhuǎn)換根據(jù)海薩尼公理(Harsanyi Doctrine)，假定各參與人類型的分布函數(shù)P(1, , n )是共同知識。以市場進入博弈為例，在位者高成

8、本的概率p是共同知識意味著：進入者知道在位者是高成本的概率為p,在位者知道進入者認(rèn)為在位者是高成本的概率是p海薩尼(Harsanyi)轉(zhuǎn)換用-i=(1, i-1, i+1, , n )表示除了i之外的所有參與人的類型組合。=（i, -i ）表示所有參與人的類型組合。根據(jù)條件概率規(guī)則海薩尼(Harsanyi)轉(zhuǎn)換N人靜態(tài)貝葉斯博弈的戰(zhàn)略式表述包括：參與人的類型空間i，條件概率p1,pn,類型依存戰(zhàn)略空間為Ai(i)， 類型依存支付函數(shù)ui(ai,a-i; i)， i=1,n。參與人i知道自己的類型i（屬于i），條件概率pi=pi(-i| i)描述給定自己屬于i的情況下，參與人i關(guān)于其他參與人類型

9、的一個估計。可以用G=Ai; i;pi; ui; i=1,n表示這個博弈。靜態(tài)貝葉斯博弈定義給定參與人i只知道自己的類型i,而不知道其他參與人的類型-i，參與人i將選擇ai(i)以最大化自己的期望效用。參與人i的期望效用函數(shù)定義為靜態(tài)貝葉斯博弈定義參與人的類型空間i，條件概率p1,pn,類型依存戰(zhàn)略空間為Ai(i)， 類型依存支付函數(shù)ui(ai,a-i; i)， i=1,n。參與人i知道自己的類型i（屬于i），條件概率pi=pi(-i| i)描述給定自己屬于i的情況下，參與人i關(guān)于其他參與人類型的一個估計?？梢杂肎=Ai; i;pi; ui; i=1,n表示這個博弈。N人靜態(tài)貝葉斯博弈戰(zhàn)略式表

10、述N人靜態(tài)貝葉斯博弈的戰(zhàn)略式表述給定參與人i只知道自己的類型i,而不知道其他參與人的類型-i，參與人i將選擇ai(i)以最大化自己的期望效用。參與人i的期望效用函數(shù)定義為貝葉斯納什均衡(Bayesian Nash Equilibrium)N人不完全信息靜態(tài)博弈的純戰(zhàn)略貝葉斯納什均衡是一個類型依存的戰(zhàn)略組合ai*, i=1,n，其中每個參與人i在給定自己類型i和其他參與人類型依存戰(zhàn)略a-i*(-i)的情況下，最大化自己的期望效用函數(shù)vi。貝葉斯納什均衡(Bayesian Nash Equilibrium)換言之，戰(zhàn)略組合a*=(a1*(1), an*(n)是一個貝葉斯納什均衡，如果對于所有的i，

11、以及ai屬于Ai,有下式成立。類似地，可以定義混合策略貝葉斯納什均衡。此處從略。均衡的存在形式納什均衡存在性定理的推廣，此處從略。通過海莎尼轉(zhuǎn)換，不完全信息靜態(tài)博弈就轉(zhuǎn)化成完全但不完美信息博弈貝葉斯納什均衡(Bayesian Nash Equilibrium)在不完全信息古諾模型中，參與人的類型是成本函數(shù)。假定市場出清價格為P=a-q1-q2,每個企業(yè)都有不變的單位成本。令ci為企業(yè)i的單位成本，那么，企業(yè)i的利潤為Zi=qi(a-q1-q2-ci)，i =1,2應(yīng)用舉例1：不完全信息古諾模型假定企業(yè)1的單位成本c1是共同知識，企業(yè)2的單位成本可能是C2L也可能是C2H。 C2L C2H;企業(yè)

12、2知道自己的成本是C2L還是C2H，但企業(yè)1只知道企業(yè)2的成本概率為(p, 1-p)；為更具體進行分析，可假設(shè)a=2, c1=1, C2L=3/4, C2H=5/4, p=1/2，并記應(yīng)用舉例1：不完全信息古諾模型給定企業(yè)2知道企業(yè)1的成本，企業(yè)2將選擇q2，實現(xiàn)利潤（記為Z2 ）的最大化。記a - c2 = t.由Z2=q2 (t - q1* - q2)，可以求出q2*(q1;t)=(1/2)(t-q1)上式表明，企業(yè)2的最優(yōu)產(chǎn)量不僅依賴于企業(yè)1的產(chǎn)量，還依賴于自己的成本。應(yīng)用舉例1：不完全信息古諾模型令q2L為t=5/4時企業(yè)2的最優(yōu)產(chǎn)量， q2H為t=3/4時企業(yè)2的最優(yōu)產(chǎn)量，那么，q2

13、L=（1/2）(5/4-q1); q2H=(1/2)(3/4-q1)企業(yè)1不知道企業(yè)2的真實成本，因而不知道企業(yè)2的最優(yōu)反應(yīng)究竟是q2L還是q2H,因此，企業(yè)1將選擇q1,以最大化下列期望利潤（假設(shè)效用函數(shù)與期望利潤函數(shù)相同）。應(yīng)用舉例1：不完全信息古諾模型E Z1=(1/2) q1(1- q1- q2L) + (1/2)q1(1-q1- q2H)解最優(yōu)化一階條件，得企業(yè)1的反應(yīng)函數(shù)為：q1*=(1/2)(1-(1/2) q2L-(1/2) q2H)=(1/2)(1-E q2)均衡意味著兩個反應(yīng)函數(shù)同時成立，解兩個反應(yīng)函數(shù)，可得到貝葉斯均衡為q1*=1/3； q2L*=11/24； q2H=5

14、/24作為練習(xí)，請與完全信息下的古諾模型產(chǎn)量進行對比。應(yīng)用舉例1：不完全信息古諾模型應(yīng)用舉例2：不完全信息下公共產(chǎn)品的提供兩個參與人，i=1,2，同時決定是否提供公共產(chǎn)品，每個參與人面臨兩個決策：提供 ( ai=1)或不提供 ( ai=0)。如果至少有一個人提供，每人至少得到1單位的好處，如果沒有人提供，每人得到0單位的支付。參與人提供公共產(chǎn)品的成本是 ci?？梢杂帽?-2表示。1- c1, 1- c21- c1,11, 1- c20, 0表3-2 公共產(chǎn)品博弈參與人2 提供 不提供提供不提供參與人1應(yīng)用舉例2：不完全信息下公共產(chǎn)品的提供假定公共產(chǎn)品的好處是共同知識，但每個人提供的成本只有自己

15、知道（提供成本ci是參與人i的類型）。假定ci (i=1,2)具有相同的、獨立的定義在a,b上的分布函數(shù) P(.)，其中a 1 b，該分布函數(shù)是共同知識。該博弈的純戰(zhàn)略ai(ci)是從 a,b到0，1的一個函數(shù)，其中0表示不提供，1表示提供。參與人i的支付函數(shù)為ui (ai, aj,ci) = max (a1,a2) ai ci應(yīng)用舉例2：不完全信息下公共產(chǎn)品的提供貝葉斯均衡是一組戰(zhàn)略組合(a1*(.), a2*(.)使得對于每一個i和每一個可能的ci,策略ai*(.)最大化參與人i的期望效用。令zj為均衡狀態(tài)下參與人j提供的概率。最優(yōu)化行為意味著，只有當(dāng)參與人i預(yù)期參與人j不提供時，參與人i

16、才會提供。應(yīng)用舉例2：不完全信息下公共產(chǎn)品的提供應(yīng)用舉例2：不完全信息下公共產(chǎn)品的提供因為參與人j不提供的概率是1-zj,參與人i提供的預(yù)期收益是1.(1-zj)，因此，只有當(dāng)ci 1-zj時，參與人i才會提供。因此可推出，存在一個分割點mi,當(dāng)a ci mi時，參與人i才會提供。同理，存在一個mj,當(dāng) a cj mj時，參與人j才會提供。因為zj=Prob (a cj mj)= P(mj)，均衡分割點mi必須滿足 mi= 1- P(mj)，應(yīng)用舉例2：不完全信息下公共產(chǎn)品的提供因為zj=Prob (a cj 2, K為整數(shù))。The first-price sealed auction。考慮

17、只有2個投標(biāo)人情況，i=1,2。令bi 0是投標(biāo)人i的報價，vi為拍賣物品對投標(biāo)人i的價值。假定vi只有i自己知道（是參與人i的類型）,但兩個投標(biāo)人都知道vi獨立地服從于0，1上的均勻分布。一級密封價格拍賣投標(biāo)人i的支付情況為：假定投標(biāo)人i的出價bi(vi)是其價值vi的嚴(yán)格遞增可微函數(shù)。由于兩個競買者是對稱的，因此，他們具有對稱的報價策略。設(shè)最優(yōu)報價策略為b*(v)。給定v和b，投標(biāo)人i的期望支付為ui=(v-b) Prob (bjb)一級密封價格拍賣一級密封價格拍賣根據(jù)對稱性，bj=b*(vj)，所以 Probbj b=Probb*(vj) b令b-1(bj)表示參與者j在選擇投標(biāo)價格bj

18、時所持有的估價，即如果bj=b (vj)，則b-1(bj)=vj一級密封價格拍賣于是 Prob b*(vj) b=Prob vj 0, then the licenses are complements this bidder and c is the maximum premium the bidder is willing to pay to acquire the pair. 拍賣實踐2：FCC頻譜拍賣實例分析1（互補性）A problem arises when the same pair of licenses may be substitutes for a second bidd

19、er that competes effectively for the licenses individually, but not for the pair. 拍賣實踐2：FCC頻譜拍賣實例分析1（互補性）For example, that bidder may be willing to pay up to a+d for license A, b+d for license B, and, a+b+d for the pair, where c/2 d c. Consider bidder 1s preference (a, b, a+b+c)拍賣實踐2：FCC頻譜拍賣實例分析1（互補

20、性）In this case, the value-maximizing assignment assigns the pair of licenses to the first bidder. But, for this to be an outcome of a market equilibrium, the market clearing prices must be high enough to drive the second bidders demands to zero.拍賣實踐2：FCC頻譜拍賣實例分析1（互補性） That is, the price of license A

21、 must be at least a+d and that of license B must be at least b+d, so the sum of the two prices exceeds the first bidders value of a+b+c. The first bidder would not want to buy the license pair at these prices, so there are no prices for the two licenses individually that clear the two markets simult

22、aneously.拍賣實踐2：FCC頻譜拍賣實例分析2（勾結(jié)）在拍賣進行過程中，出現(xiàn)了勾結(jié)現(xiàn)象。其中最主要的方法是：利用報價的最后三位數(shù)字傳遞信息。拍賣實踐2：FCC頻譜拍賣實例分析2（勾結(jié)）Most market and bidder numbers are two or more digits. If one wanted to signal market 23 and the bidding is at 100,000,000, one could bid 123,000,000. But notice how unclear a signal this is without the l

23、eading zeros to indicate the beginning of a code (as in 100,000,023). 拍賣實踐2：FCC頻譜拍賣實例分析2（勾結(jié)）In this context, $123 million is a reasonable bid, and bidders will not be able to distinguish a code bid from a regular bid. Even when allowed to make bids like 100,000,023, bidders (and their advisers) were

24、 having a hard time making sense of code bids.在拍賣中勾結(jié)的另一種方式是不恰當(dāng)利用報價撤回戰(zhàn)術(shù)。報價撤回戰(zhàn)術(shù)在DEF拍賣中最為明顯，總共被撤回了789份。其中大部分是被用來作為一個策略工具：作為競價者通過放棄一個許可用以交換另一個意愿的信號，或使競價不至于過于嚴(yán)厲的一個合法停止策略。拍賣實踐2：FCC頻譜拍賣實例分析2（勾結(jié)）拍賣實踐2：FCC頻譜拍賣實例分析2（勾結(jié)）A gift withdrawal is used when two bidders (A and B) are competing in two or more markets,

25、say markets X and Y. 拍賣實踐2：FCC頻譜拍賣實例分析2（勾結(jié)）Suppose B is the high bidder on Y at $100 and the minimum bid increment is $5. A submits a high bid on X and a high bid on Y of $105 and immediately withdraws from Y. (Under present rules, A can amplify the message by coding the high bid on Y with Xs market

26、 number, as in $105.xx.) B now knows that A is saying, “I will take X and you can have Y.”拍賣實踐2：FCC頻譜拍賣實例分析2（勾結(jié)） After the withdrawal, the minimum bid on Y falls back to $100, so B can take over Y without having to increase its bid. This is an important feature of the gift withdrawal it is a clear a

27、nd effective way to let your competitor know how licenses should be split up. 拍賣實踐2：FCC頻譜拍賣實例分析2（勾結(jié)）為了消除Gift withdrawalsA bidder who withdraws a bid from a market area may not subsequently bid again for that license or any equivalent license covering the same market area. The sole exception is that

28、a bidder can re-bid at the minimum bid level on the license from which it has withdrawn after two or more rounds have passed since its withdrawal provided the FCC has been the high bidder in every intervening round.” 目前電信仍在堅持產(chǎn)業(yè)壟斷；政府采用博弈論進行市場設(shè)計將是必然趨勢；企業(yè)應(yīng)用博弈論也是未來必然的事情。拍賣實踐2：FCC頻譜拍賣對我國的啟示拍賣實踐3：二氧化碳許可證拍

29、賣背景“The vast majority of the worlds climate scientists have concluded that if the countries of the world do not work together to cut the emission of greenhouse gases, then temperatures will rise and will disrupt the climate. In fact, most scientists say the process has already begun.” President Clin

30、ton, October 22, 1997At the Climate Change Summit in Kyoto in December 1997, a large group of developed countries agreed to restrict their carbon emissions to, on average, 5% below 1990 levels by 2008 2012. The United States agreed to a target of 7% reductions (subject to ratification).The question

31、at hand is how best to achieve domestically the carbon emission targets. CO2 is the major current contributor to climate change.拍賣實踐3：二氧化碳許可證拍賣背景Instead of auctioning, the government could give the permits away to specific groups. This alternative is known as “grandfathering.” 拍賣實踐3：二氧化碳許可證拍賣背景拍賣實踐3

32、：二氧化碳許可證拍賣背景An auction is preferred to grandfathering (giving companies permits based on historical output or emissions), because it allows reduced tax distortions, provides more flexibility in distribution of costs, provides greater incentives for innovation, and reduces the need for politically co

33、ntentious arguments over the allocation of rents.The political desire to grandfather may also lead to an administratively cumbersome downstream system with exemptions for some sectors and inefficient command and control type regulation for others. The potential cost of this inefficient system is tre

34、mendous. If auctioned permits were accepted, much of the rationale for choosing these inefficient options would disappear. 拍賣實踐3：二氧化碳許可證拍賣背景CO2 is a uniformly mixed, accumulative pollutant. Neither the source of emissions nor their timing is important from an environmental standpoint. Thus, permits

35、are ideally defined in a homogeneous way over space and time. Ideally permits would be fully tradeable internationally.拍賣實踐3：二氧化碳許可證拍賣背景To minimize administrative costs, permits would be required at the level of oil refineries, natural gas pipe lines, liquid sellers, and coal processing plants. 拍賣實踐

36、3：二氧化碳許可證拍賣背景To maximize liquidity in secondary markets, permits would be fully tradable and bankable.The government would conduct quarterly auctions.拍賣實踐3：二氧化碳許可證拍賣背景who, on efficiency grounds, should get the permits and at what prices? The best answer to these questions depends on the governments

37、goals. A secondary goal is revenue maximization.拍賣實踐3：二氧化碳許可證拍賣目標(biāo)拍賣實踐3：二氧化碳許可證拍賣目標(biāo)To minimize regulatory transaction costs, permits are required by oil refineries, natural gas pipelines, natural-gas liquid sellers, and coal processing plants. Such an “upstream” system is comprehensive and minimizes

38、the number of parties that need permits.In addition, permits can and should be auctioned not only for the current years but also for future issue years. 拍賣實踐3：二氧化碳許可證拍賣目標(biāo)Market power should not be a concern in an auction for carbon permits. Even in an upstream program, there would still be more than

39、 1,700 permit buyers.拍賣實踐3：二氧化碳許可證拍賣方式Ways to auction many identical itemsA standard ascending-clock auction in which price is gradually raised until there is no excess demand would provide reliable price discovery.拍賣實踐3：二氧化碳許可證拍賣方式The ascending-clock auction offers a simpler approach. The clock indicates the current price. In each round, the bidders submit the quantity they are willing to buy at that price. If the total quantity bid exceeds the quantity available the clock is increased. The bidding continues until the quantity bid is less than the quantity available. T