2023屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)課時(shí)過關(guān)檢測(62)離散型隨機(jī)變量的數(shù)字特征

1、課時(shí)過關(guān)檢測(六十二) 離散型隨機(jī)變量的數(shù)字特征A級基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)1拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，若出現(xiàn)正面朝上則停止拋擲，至多拋擲ni次，設(shè)拋擲次數(shù)為隨機(jī)變量i，i1,2，若n12，n23，則()AE(1)E(2)，D(1)D(2)BE(1)D(2)CE(1)E(2)，D(1)E(2)，D(1)D(2)解析：A拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，出現(xiàn)正面朝上則停止拋擲，至多拋擲ni次，設(shè)拋擲次數(shù)為隨機(jī)變量i，i1,2，n12，n23，n12，1的分布列為1 1 2Peq f(1,2)eq f(1,2)E(1)1eq f(1,2)2eq f(1,2)eq f(3,2)，D(1)eq blc(rc)(avs4alco1

2、(1f(3,2)2eq f(1,2)eq blc(rc)(avs4alco1(2f(3,2)2eq f(1,2)eq f(1,4)，n23，2的分布列為2 1 2 3Peq f(1,2) eq f(1,4)eq f(1,4)E(2)1eq f(1,2)2eq f(1,4)3eq f(1,4)eq f(7,4)，D(2)eq blc(rc)(avs4alco1(1f(7,4)2eq f(1,2)eq blc(rc)(avs4alco1(2f(7,4)2eq f(1,4)eq blc(rc)(avs4alco1(3f(7,4)2eq f(1,4)eq f(11,16)E(1)E(2)，D(1)D(

3、2)故選A2若隨機(jī)變量的分布列如下表，則E()()101Peq f(1,2)12qq2A1eq f(r(2),2)B1eq f(r(2),2)C1eq r(2)D1eq r(2)解析：C由離散型隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)，得eq blcrc (avs4alco1(012q1，,q21，,f(1,2)12qq21，)解得q1eq f(r(2),2)，E()(1)eq f(1,2)0(12q)1q2q2eq f(1,2)1eq r(2)3已知袋子中裝有若干個(gè)大小形狀相同且標(biāo)有數(shù)字1,2,3的小球，每個(gè)小球上有一個(gè)數(shù)字，它們的個(gè)數(shù)依次成等差數(shù)列，從中隨機(jī)抽取一個(gè)小球，若取出小球上的數(shù)字X的數(shù)學(xué)期望是2，則

4、X的方差是()Aeq f(1,3)Beq f(2,3) Ceq f(8,3)Deq f(4,3)解析：B因?yàn)槿〕鲂∏蛏系臄?shù)字X的數(shù)學(xué)期望是2，且個(gè)數(shù)依次成等差數(shù)列，設(shè)標(biāo)有數(shù)字1,2,3的小球依次為ad，a，ad個(gè)，則P(X1)eq f(ad,3a)，P(X2)eq f(a,3a)eq f(1,3)，P(X3)eq f(ad,3a)，所以E(X)eq f(ad,3a)eq f(2,3)eq f(ad,3a)32d0，aN*故袋中標(biāo)有數(shù)字1,2,3的小球個(gè)數(shù)相同不妨設(shè)標(biāo)有數(shù)字1,2,3的小球各有1個(gè)，從而隨機(jī)抽取一個(gè)小球的概率皆為eq f(1,3)，方差為eq f(1,3)(12)2eq f(1,

5、3)(22)2eq f(1,3)(32)2eq f(2,3)，故選B4(多選)對于離散型隨機(jī)變量X，它的數(shù)學(xué)期望E(X)和方差D(X)，下列說法正確的是()AE(X)是反映隨機(jī)變量的平均取值BD(X)越小，說明X越集中于E(X)CE(aXb)aE(X)bDD(aXb)a2D(X)b解析：ABC離散型隨機(jī)變量的期望反映了隨機(jī)變量取值的平均水平，方差反映了隨機(jī)變量取值偏離于均值的平均程度，方差越小，說明隨機(jī)變量的取值越集中于均值；即A、B正確；由期望和方差的性質(zhì)可得，E(aXb)aE(X)b，D(aXb)a2D(X)，即C正確，D錯(cuò)誤故選A、B、C5(多選)設(shè)0p1，隨機(jī)變量的分布列如下表所示，則

6、當(dāng)p在(0,1)內(nèi)增大時(shí)，下列說法正確的是()012Peq f(1p,2)eq f(1,2)eq f(p,2)AE()減小BE()增大CD()先減小后增大DD()先增大后減小解析：BD由分布列可得：E()0eq f(1p,2)1eq f(1,2)2eq f(p,2)peq f(1,2)，所以當(dāng)p在(0,1)內(nèi)增大時(shí)，E()增大，故選項(xiàng)B正確；D()eq f(1p,2)eq blc(rc)(avs4alco1(0pf(1,2)2eq f(1,2)eq blc(rc)(avs4alco1(1pf(1,2)2eq f(p,2)eq blc(rc)(avs4alco1(2pf(1,2)2p2peq f

7、(1,4)eq blc(rc)(avs4alco1(pf(1,2)2eq f(1,2)，所以D()在eq blc(rc)(avs4alco1(0，f(1,2)上單調(diào)遞增，在eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)，1)上單調(diào)遞減，先增后減，故選項(xiàng)D正確，故選B、D6已知隨機(jī)變量X的分布列為X012Peq f(1,3)ab若E(X)1，則E(aXb)_解析：由概率分布列的性質(zhì)知abeq f(2,3)E(aXb)aE(X)babeq f(2,3)答案：eq f(2,3)7現(xiàn)有10件商品，其中3件瑕疵品7件合格品，若從這10件商品中任取2件，設(shè)取到X件瑕疵品，則X的數(shù)學(xué)期望是_解析：依

8、題意，X的所有可能值是0,1,2，P(X0)eq f(Coal(2,7),Coal(2,10)eq f(7,15)，P(X1)eq f(Coal(1,7)Coal(1,3),Coal(2,10)eq f(7,15)，P(X2)eq f(Coal(2,3),Coal(2,10)eq f(1,15)，E(X)0eq f(7,15)1eq f(7,15)2eq f(1,15)eq f(3,5)，所以X的數(shù)學(xué)期望是eq f(3,5)答案：eq f(3,5)8(2020浙江高考)盒中有4個(gè)球，其中1個(gè)紅球，1個(gè)綠球，2個(gè)黃球從盒中隨機(jī)取球，每次取1個(gè)，不放回，直到取出紅球?yàn)橹乖O(shè)此過程中取到黃球的個(gè)數(shù)為，

9、則P(0)_，E()_解析：0表示停止取球時(shí)沒有取到黃球，所以P(0)eq f(1,4)eq f(1,4)eq f(1,3)eq f(1,3)隨機(jī)變量的所有可能取值為0,1,2，則P(1)eq f(2,4)eq f(1,3)eq f(2,4)eq f(1,3)eq f(1,2)eq f(1,4)eq f(2,3)eq f(1,2)eq f(1,3)，P(2)eq f(2,4)eq f(1,3)eq f(1,2)eq f(1,4)eq f(2,3)eq f(1,2)eq f(2,4)eq f(1,3)eq f(1,2)eq f(2,4)eq f(1,3)eq f(1,2)eq f(1,3)，所以

10、E()0eq f(1,3)1eq f(1,3)2eq f(1,3)1答案：eq f(1,3)19為踐行“綠水青山就是金山銀山”的發(fā)展理念和提高生態(tài)環(huán)境的保護(hù)意識，某校準(zhǔn)備成立一個(gè)環(huán)境保護(hù)興趣小組該校高二年級有男生400人，女生200人；高三年級有男生100人，女生300人現(xiàn)按男、女用分層隨機(jī)抽樣的方法從高二年級中抽取6人，從高三年級中抽取4人，組成環(huán)境保護(hù)興趣小組，再從這10人的興趣小組中抽出4人參加學(xué)校的環(huán)保知識競賽(1)設(shè)事件A為“選出參加環(huán)保知識競賽的4人中有兩個(gè)男生、兩個(gè)女生，而且這兩個(gè)男生高二、高三年級學(xué)生都有”，求事件A發(fā)生的概率；(2)用X表示抽取的4人中高三年級女生的人數(shù)，求X

11、的分布列及方差解：(1)由題意可得，抽取了高二年級男生4人，女生2人，高三年級男生1人，女生3人所以P(A)eq f(Coal(1,4)Coal(1,1)Coal(2,5),Coal(4,10)eq f(40,210)eq f(4,21)(2)X的可能取值為0,1,2,3，P(X0)eq f(Coal(4,7)Coal(0,3),Coal(4,10)eq f(1,6)，P(X1)eq f(Coal(3,7)Coal(1,3),Coal(4,10)eq f(1,2)，P(X2)eq f(Coal(2,7)Coal(2,3),Coal(4,10)eq f(3,10)，P(X3)eq f(Coal(

12、1,7)Coal(3,3),Coal(4,10)eq f(1,30)，所以X的分布列為X0123Peq f(1,6)eq f(1,2)eq f(3,10)eq f(1,30)所以E(X)0eq f(1,6)1eq f(1,2)2eq f(3,10)3eq f(1,30)eq f(6,5)，所以D(X)eq blc(rc)(avs4alco1(0f(6,5)2eq f(1,6)eq blc(rc)(avs4alco1(1f(6,5)2eq f(1,2)eq blc(rc)(avs4alco1(2f(6,5)2eq f(3,10)eq blc(rc)(avs4alco1(3f(6,5)2eq f(

13、1,30)eq f(14,25)B級綜合應(yīng)用10如圖所示是一個(gè)正方體，現(xiàn)將其六面分別都涂紅、藍(lán)、黃、白、綠、紫6種顏色放干后，再切割為125個(gè)同樣大小的正方體，然后放在足夠大的容器內(nèi)均勻攪拌，若從中隨機(jī)取出一個(gè)小正方體記它的涂有顏色面數(shù)為X，則X的均值為()Aeq f(126,125)Beq f(7,5)Ceq f(168,125)Deq f(6,5)解析：D根據(jù)題意正方體內(nèi)部有33327個(gè)小正方體沒有被涂上顏色，僅有一面被涂上顏色的有6954個(gè)，僅有兩個(gè)面涂上顏色的有31236個(gè)，有三個(gè)面涂上共有8個(gè)，故隨機(jī)變量X的可能取值為0,1,2,3于是P(X0)eq f(27,125)，P(X1)e

14、q f(54,125)，P(X2)eq f(36,125)，P(X3)eq f(8,125)所以期望為E(X)0eq f(27,125)1eq f(54,125)2eq f(36,125)3eq f(8,125)eq f(150,125)eq f(6,5)故選D11(多選)eq f(1,4)p1，隨機(jī)變量X的分布列如下，則下列結(jié)論正確的有()X012Ppp21pp2AP(X2)的值最大BP(X0)eq f(1,4)，A錯(cuò)誤；因?yàn)閑q f(1,4)p1，所以pp2p(1p)1p，即P(X0)P(X1)，B正確；E(X)(1p)2p22eq blc(rc)(avs4alco1(pf(1,4)2eq

15、 f(7,8)，因?yàn)閑q f(1,4)p1，所以E(X)隨著p的增大而增大，C錯(cuò)誤，D正確，故選B、D12一個(gè)袋中共有10個(gè)大小相同的黑球、白球和紅球已知從袋中任意摸出1個(gè)球，得到黑球的概率是eq f(2,5)；從袋中任意摸出2個(gè)球，至少得到1個(gè)白球的概率是eq f(7,9)，則白球的個(gè)數(shù)為_；從袋中任意摸出3個(gè)球，記得到白球的個(gè)數(shù)為，則隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望E()_解析：設(shè)白球的個(gè)數(shù)為y，從袋中任意摸出2個(gè)球，至少得到1個(gè)白球的概率是eq f(7,9)，則eq f(Coal(2,y)Coal(1,y)Coal(1,10y),Coal(2,10)eq f(7,9) ，化簡得y219y700，解得y

16、5或y14(舍)，由題設(shè)知的所有取值是0,1,2,3，P(0)eq f(Coal(3,5),Coal(3,10)eq f(1,12)，P(1)eq f(Coal(1,5)Coal(2,5),Coal(3,10)eq f(5,12)，P(2)eq f(Coal(2,5)Coal(1,5),Coal(3,10)eq f(5,12)，P(3)eq f(Coal(3,5),Coal(3,10)eq f(1,12)則隨機(jī)變量的分布列為0123Peq f(1,12)eq f(5,12)eq f(5,12)eq f(1,12)所以E()eq f(5,12)eq f(5,12)2eq f(1,12)3eq f

17、(3,2)答案：5eq f(3,2)13某投資公司在2023年年初準(zhǔn)備將1 000萬元投資到“低碳”項(xiàng)目上，現(xiàn)有兩個(gè)項(xiàng)目供選擇：項(xiàng)目一：新能源汽車據(jù)市場調(diào)研，投資到該項(xiàng)目上，到年底可能獲利30%，也可能虧損15%，且這兩種情況發(fā)生的概率分別為eq f(7,9)和eq f(2,9)；項(xiàng)目二：通信設(shè)備據(jù)市場調(diào)研，投資到該項(xiàng)目上，到年底可能獲利50%，可能損失30%，也可能不賠不賺，且這三種情況發(fā)生的概率分別為eq f(3,5)，eq f(1,3)和eq f(1,15)針對以上兩個(gè)投資項(xiàng)目，請你為投資公司選擇一個(gè)合理的項(xiàng)目，并說明理由解：若按“項(xiàng)目一”投資，設(shè)獲利為X1萬元，X1的所有可能取值為30

18、0，150則X1的分布列為X1300150Peq f(7,9)eq f(2,9)E(X1)300eq f(7,9)(150)eq f(2,9)200(萬元)，D(X1)(300200)2eq f(7,9)(150200)2eq f(2,9)35 000若按“項(xiàng)目二”投資，設(shè)獲利X2萬元，X2的所有可能取值為500，300,0則X2的分布列為X25003000Peq f(3,5)eq f(1,3)eq f(1,15)E(X2)500eq f(3,5)(300)eq f(1,3)0eq f(1,15)200(萬元)，D(X2)(500200)2eq f(3,5)(300200)2eq f(1,3)

19、(0200)2eq f(1,15)140 000E(X1)E(X2)，D(X1)D(X2)，這說明雖然項(xiàng)目一、項(xiàng)目二獲利相等，但項(xiàng)目一更穩(wěn)妥綜上所述，建議該投資公司選擇項(xiàng)目一投資C級遷移創(chuàng)新14一個(gè)射箭運(yùn)動(dòng)員在練習(xí)時(shí)只記射中9環(huán)和10環(huán)的成績，未射中9環(huán)或10環(huán)就以0環(huán)記該運(yùn)動(dòng)員在練習(xí)時(shí)射中10環(huán)的概率為a，射中9環(huán)的概率為b，既未射中9環(huán)也未射中10環(huán)的概率為c(a，b，c0,1)，如果已知該運(yùn)動(dòng)員一次射箭射中環(huán)數(shù)的期望為9環(huán)，則當(dāng)eq f(10,a)eq f(1,9b)取最小值時(shí)，c的值為_解析：由該運(yùn)動(dòng)員一次射箭射中環(huán)數(shù)的期望為9環(huán)，得10a9b9，所以eq f(10,a)eq f(1,9b)eq blc(rc)(avs4alco1(f(10,a)f(1,9b)eq blc(rc)(avs4alco1(