4概率的公理化定義及概率的性質(zhì)

1、 1.4概率的公理化定義及概率的性質(zhì)、幾何概率一個隨機試驗，如果數(shù)學模型是古典概型，那么描述這個實驗的樣本空間C,文件域F和概率P已在前面得到解決。在古典概型中，試驗的結(jié)果是有限的，受到了很大的限制。在實際問題中經(jīng)常遇到試驗結(jié)果是無限的情況的。例如，若我們在一個面積為SQ的區(qū)域Q中，等可能的任意投點，這里等可能的確切意義是這樣的：在區(qū)域C中有任意一個小區(qū)域 A,若它的面積為SA,則點A落在A中的可能性大小與 SA 成正比，而與 A的位置及形狀無關。如果點A落在區(qū)域 A這個隨機事件仍記為 A,則由P(Q )=1可得P(A)=SA,這一類概率稱為 幾何概率。S,F同樣，如果在一條線段上投點，那么只

2、需要將面積改為長度，如果在一個立方體內(nèi)投點，則只需將面積改為體積。例1:(會面問題)甲乙兩人約定在 6時到7時之間某處會面，并約定先到者應等候另一人一刻鐘，過時即 可離去，求兩人能會面的概率。解：以x和y分別表示甲乙約會的時間，則0 MxM60,0 My M60。兩人能會面的充要條件是 x-y 0),向平面任意投例2蒲豐(Buffon )投針問題。平面上畫有等距離的平行線，平行線間的距離為擲一枚長為l(la)的針，試求針與平行線相交的概率。解：假設x表示針的中點與最近一條平行線的距離，又以中表示針與此直線間的交角，有0Exwg, 0P n2由這兩式可以確定 x,中平面上的一個矩形Q=(,x)0

3、 x|,0P ,這時為了針與平行線相交，其條件為x0P(J) =1nn若A, A.兩兩互不相容，則 P(UA)= P(A)前兩個性質(zhì)與古典概型相同，而有限可加性，則可推廣到可列個事件成立，這個性質(zhì)稱為可列可加性。二、概率的公理化定義到二十世紀，概率論的各個領域已經(jīng)得到了大量的成果，而人們對概率論在其他基礎學科和工程技術 上的應用已出現(xiàn)了越來越大的興趣，但是直到那時為止，關于概率論的一些基本概念如事件，概率卻沒有 明確的定義，這是一個很大的矛盾，這個矛盾使人們對概率客觀含義甚至相關的結(jié)論的可應用性都產(chǎn)生了 懷疑，由此可以說明到那時為止，概率論作為一個數(shù)學分支來說，還缺乏嚴格的理論基礎，這就大大妨

4、礙 了它的進一步發(fā)展。十九世紀末以來，數(shù)學的各個分支廣泛流傳著一股公理化潮流，這個流派主長將假定公理化，其他結(jié) 論則由它演繹導出， 在這種背景下，1933年俄國數(shù)學家柯爾莫哥洛夫在集合與測度論的基礎上提出了概率 的公理化定義這個結(jié)構綜合了前人的結(jié)果，明確定義了基本概念，使概率論成為嚴謹?shù)臄?shù)學分支。對近幾 十年來概率論的迅速發(fā)展起了積極的作用，柯爾莫哥洛夫的公里已經(jīng)廣泛地被接受。在公理化結(jié)構中，概率是針對事件定義，即對于事件域 F中的每一個元素 A有一個實數(shù) P (A)與之 對應。一般的把這種從集合到實數(shù)的映射稱為集合函數(shù)。因此，概率是定義在事件域 F上的一個集合函數(shù)。此外在公理化結(jié)構中也規(guī)定概

5、率應滿足的性質(zhì)，而不是具體給出它的計算公式或方法。概率應具有什么樣的性質(zhì)呢？經(jīng)過概率與頻率之間的關系、古典概型，幾何概型的分析可知，概率 應具有非負性、規(guī)范性、可列可加性。word從而有如下定義：定義：定義在事件域 F上的一個集合函數(shù) P稱為概率。如果它滿足如下三個條件：.非負性：VAf, P(A) 0.規(guī)范性：p(g)=i；nn.可列可加性：若 A WF , i =1,2,且兩兩互不相容。有 P(U A)P(Ai)通過描述一個隨機試驗的數(shù)學模型，應該有幾樣東西1)樣本空間；2)事件域(。-代數(shù))F; 3)概率(F上的規(guī)范測度)P習慣上常將這三者寫成( Q ,F, P ),并稱它是一個概率空間

6、。由此，給出一個隨機實驗， 數(shù)量就可以把它抽象成一個概率空間(C,F ,P)。三、概率的性質(zhì)由概率的非負性、規(guī)范性和可列可加性，可以得出概率的其他一些性質(zhì)：不可能事件的概率為 0,即P2) = 0 ;nn概率具有有限可加性：即若AAj=4 ( 1 Ei, j W n),則P(U A) = P(A);yi對任一隨機事件 A,有P(A) =1 P(A);若 AnB,則 P(A-B) =P(A) -P(B) o證：An B,則 A=A+(A B)又 Be A(A B)=，: P(A) =P(B) + P(A-B),即 P(A-B) = P(A)-P(B)推論 1：若 An B,則 P(A) P(B)

7、；推論2：對任一事件A, P(A) 1 ；推論 3:對 a, BW F ,則 P(A-B) =P(A) -P(AB) o對任意兩個事件 a B,有 P(AUB) = P(A)+P(B) P(AB)推論 1： P(AUB) P(A)十 P(B)；推論2：設A, A2，An為n個隨機事件，則有 nnnnnP(UA)=E P(A)-工 P(AAj) + Z P(AAjAk)-+ +(-1廣P(2A)1i 11 玉，j in1 W；，j ：k ,勿1 此公式稱為概率的一般加法公式。特別地：P( A - B - C )=P( A)+P( B )+P(C)- P( AB )-P( BC )-P( AC )

8、+p( AB C) n推論 3： p(qa)w P(A) + P(A2) + p(a3)+ +P(A)。從性質(zhì)2可知，由可列可加性可以推出有限可加性，但是一般來說由有限可加性并不能推出可列可加性，這兩者之間的差異可以用另一個形式來描述。word An有 lim P(An) = P(lim An),則n )二二n ；.設An w F ( n=1,2,3)且An u An書，則稱 An是F中的一個單調(diào)不減的集合序列。定義：對于F上的集合函數(shù) 巳 若對F中的任一單調(diào)不減的集合序列n一：二稱集合函數(shù)P在F上是下連續(xù)的，其中l(wèi)im An = U An n=1類似可定義上連續(xù)性定理1:若P是F上非負的、規(guī)

9、范的集函數(shù)。則P具有可列可加性的充要條件是P是有限可加的；P在F上是下連續(xù)的，亦稱為連續(xù)性公理定理的證明可參見復旦大學概率論第一冊P50例1:設A, B互不相容，且 P (A) =p, P (B) =q試求 P( A . B),P( A 一 B),P( AB),P( AB ),P( AB )解：P( A B )=P( A)+P( B )=p+q; P( A . B )=P( A)=1-pP( AB )=0; P( AB )=P(B-A)= P( B )-P( AB )=q; P( AB)=1- P( A . B )=1-p-q 例 2：設 P (A) =p, P (B) =q, P( A= B

10、)=r，求 P (AB)、P(A B)、P( A u B )。解： P (AB) =P (A) +P (B) -P (AB) =p+q-rP(AB)=P(A)-P(AB)=p-(p+q-r)=r-q; P(A B )=P(A B )=1-P(AB)=1-p-q+r TOC o 1-5 h z 例3.設ABE三個事彳且ABC。證明P (A)+P(B)-P(C)41證：P (AuB) =P (A) +P (B) -P (AB),又 AB 匚 C, 所以 P (AB) P (C)所以 P(A)+P (B) -P(C)P(AB)1,即 P(A)+P(B)-P(C)111例 4:設 P (A) =P (

11、B) =P (C) =- ,P (AB) =-,P (BQ =P (AC =0,求 A, B, C至少有一個發(fā)生的概率。84解： P(ABuC)=P(A)+P (B)+P(C)-P (AB)-P (BC)-P(AQ+P (ABC因為 AB BC,所以 09P (ABC -P (BQ , 所以 P (ABC =0從而 P (A- B - C) =1/8+1/8+1/8-1/4=1/8例5:設A, B, C為任意三個事件，證明 P (AB) +P (A。-P (B。P (A)證： A =3A (BC),所以 P (A)之P(AC(B= C)=P(ABAC) =P(AB)+P(AC)-P(ABC)又 P (AB。Wp(bC),所以 P (AB) +P (AQ -P (BQ 9P (A)例6:某人一次寫了 n封信，又寫了 n個信封，如果他任意將 n張信紙裝入n個信封中問至少有一封信的信紙和信封是一致的概率是多少?解： 令A=第i張信紙恰好裝進第i個信封, i =1, 2, 3n,則1?P(A)= , P(A)=1n i 1word.、1211P( Ai Aj) =, i=1, 2，3n , 乙 P(AAj)=Cn=-n(n -1)i_i：:j jn(n -1) 2!同理得_ 3、P(A