用第六章第二部分

1、1962含有積分環(huán)節(jié)的開環(huán)系統(tǒng)根據(jù)幅角原理的要求，奈路徑不應穿過輔助函數(shù) F (s) 的極點，即要求系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)的極點不應落于虛軸上。但 I 型以上的系統(tǒng)存在落于原點上的開環(huán)極點；為依舊應用幅角原理建立穩(wěn)定性判據(jù)，需將奈路徑調整為如圖6-46 所示的四個部分：正虛軸 s j ， 從0 變化至 ；半徑為無窮大的右半圓s R ej ， R ， 由 2 順時針變化至 2 ；負虛軸 s j ， 從 變化至0 ；(4) 半徑為無窮小的右半圓 s lim ej ， 0 ， 由 2 逆 0時針變化至 2 。調整后的路徑也稱為廣義奈時，仍包圍幾乎整個右半 s 平面。將GH (s) 表示為式(6-17)的形

2、式，則在曲線 的第(4)部分，成立圖 6-46 廣義奈路徑路徑，其在繞過坐標原點的同 K e jv GH (s) (6-32)s lim ejs lim ejvs 0 0其中，v 為開環(huán)傳遞函數(shù)中串聯(lián)積分環(huán)節(jié)的個數(shù)，即系統(tǒng)的型別。由式(6-32)知，當s 由 j0 沿 ej 的無窮小半圓逆時針變化至 j0 時， 角從90o 經(jīng)0o 逆時針變化至90o ，相應地，在GH (s) 平面上的曲線將沿著半徑為無窮大的圓弧按順時針方向轉過v180o 。當v 0正頻率部分曲線的起點及其負頻率部分鏡像曲線的終點均在無窮遠處；兩點通過式(6-32)所述無窮大圓弧彼此銜接，進而形成封閉的曲線。如圖 6-47(a

3、)、(b)、(c)所示的系統(tǒng)，其正負頻率部分的奈曲線即由圖中半徑無窮大的虛線圓弧連接而成封閉曲線。ImIm 0-Im 0+GH平面GH平面GH平面 0+ ReReRe 0- 0- 0+KKK, (T , T 0), (T 0), (T 0)1 211s(T s 1)(T s 1)s2(T s 1)s(T s 1)1211(a)(b)(c)197ImImImGH平面GH平面GH平面 0+ 0+ Re00Re Re0 0+KKK, (T , T 0), (T 0), (T 0)1 21s(T s 1)(T s 1)s2 (T s 1)1s(T s 1)1111(d)(e)(f)圖 6-47 含積分

4、環(huán)節(jié)系統(tǒng)的奈曲線與輔助線連接而成的封閉曲線由于奈曲線的正、負頻率部分關于實軸互為鏡像，故判斷閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性時，通常只需要繪制 從0 到 時的部分曲線，并增加一條由坐標原點出發(fā)，包含實軸且在無窮遠處順時針繞原點v 4 周至 0 的輔助線，使這半邊奈閉曲線的繪制方法。設正頻率部分奈曲線形成封閉曲線。圖 6-47(d)、(e)、(f)圖示了這種封曲線與輔助線的封閉曲線包圍(1, j0) 點的圈數(shù)為N ，則， N 2N 。此時，需將確定右半 s 平面閉環(huán)特征根個數(shù)的式(6-31)修改為Z 2N P(6-33)若 Z 0 ，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定，否則閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。例 6-8 設反饋系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為K (T

5、1s 1)G (s) Ls2 (T s 1)2其中，K 0， T1 T2 0 ，試用奈解：其正頻率部分奈判據(jù)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。曲線的起點為 180o ，終點為 0180o 。由 T1 T2 0 得arctan(T1) arctan(T2) 0 ，這表明頻率 從0 到 變化過程中，相角GL ( j) 先由180o 逐漸增大，后又逐漸減小為180o 。對應的正頻率部分奈曲線及輔助線如圖 6-48 所示。由圖，N 0 ，又由GL (s) 知 P 0 ，故 Z 2N P 0 。根據(jù)奈判據(jù)可知，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。奈曲線在GH 平面上圍繞(1, j0) 點的圈數(shù)也可以用正頻率部分奈曲線及對應輔助來說，這種線從

6、(1, j0) 點左側正、負穿越負實軸的次數(shù)來表示。對于只給出了正頻率特性的表示法方便了在上使用奈判據(jù)。曲線自上而下(逆時針)從(1, j0) 點左側穿過負實軸，稱隨著 的增大，若正頻率部分奈為正穿越；反之，若曲線自下而上(順時針)從(1, j0) 點左側穿過負實軸，則稱為負穿越；可見，正、負穿越取決于穿越負實軸時相角的增減，相角增大為正穿越，反之為負穿越。圖6-49 所示的正頻率部分奈曲線，負穿越和正穿越各一次后進入圓，其后再次穿過負實軸，根據(jù)正、負穿越的定義，在(1, j0) 點右側不計算穿越次數(shù)。、負穿越的概念，奈曲線在GH 平面上以順198時針圍繞(1, j0) 點的圈數(shù)為負、正穿越次

7、數(shù)之差。圖 6-48 例 6-8 系統(tǒng)正頻率部分奈曲線及輔助線圖 6-49 正、負穿越的定義對于正頻率部分奈曲線及對應輔助線不穿越負實軸的情況，還可進一步引入半次正、負穿越的概念來計算。正頻率部分奈曲線及對應輔助線起始于(1, j0) 點左側負實軸的算半次正穿越(如圖6-45 和圖6-47(f)所示的情況)，反之，終止于(1, j0) 點左側負實軸的算半次負穿越，分別如圖6-50(a)和(b)所示。如果用 N 和 N 分別表示正穿越和負穿越各自次數(shù)的和，則奈包圍(1, j0) 點的圈數(shù)為N 2N 2(N N ) 2(N N )曲線順時針(6-34)其中，N N N 為正頻率部分奈曲線及對應輔助

8、線順時針包圍(1, j0) 點的次數(shù)， N 0 表示奈曲線逆時針包圍(1, j0) 點| N | 圈。圖 6-50 半次穿越的示意圖例 6-9 已知統(tǒng)的穩(wěn)定性。解：作出其奈反饋系統(tǒng)的開環(huán)幅相頻率特性如圖 6-49 所示，其中， P 0 ， v 1 ，試判斷系負頻率部分的曲線，并用半徑為無窮大的右半圓將 0 和 0 處的特性曲線連接起來，形成如圖6-51 所示的閉合曲線。該曲線并未包圍(1, j0) 點。因此，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。下面通過正、負穿越次數(shù)來判斷。由圖6-51 可知其正頻率部分曲線與負實軸有三個交點，從左至199右分別記為 P3 、 P2 和 P1 。，點 P3 和點 P2 處各負穿越和正

9、穿越一次，即 N N 1 。故N 2(N N ) 0 ，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。圖 6-51 例 6-9 系統(tǒng)的奈曲線若將例 6-9 中的系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)表示為GL (s) KG0 (s) s ，則改變傳遞系數(shù) K 時，交點 P1 P3的位置將發(fā)生變化。當 K 縮小到一定范圍時， (1, j0) 將落于點 P3 和 P2 之間，而當 K 增大到一定范圍時， (1, j0) 將落于點 P1 和原點之間。這兩種情況系統(tǒng)的奈曲線均包圍(1, j0) 點，因而系統(tǒng)不穩(wěn)定。這種參數(shù) K 無論增大還是減小都可能不穩(wěn)定的系統(tǒng)稱為條件穩(wěn)定系統(tǒng)。上面介紹了開環(huán)系統(tǒng)具有積分環(huán)節(jié) 非零極點的情況，只要建立合適的廣義奈6.5.

10、4基于對數(shù)頻率特性的奈穩(wěn)定判據(jù)的應用。對于開環(huán)傳遞函數(shù)在虛軸上具有路徑，其分析過程與本節(jié)內容類似。穩(wěn)定判據(jù)在工應用廣泛，因此利用判斷閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性也是奈穩(wěn)定判據(jù)的一種常用形式。由圖6-52 可見極坐標與相應的對數(shù)坐標之間具有以下對應關系：(1) GH 平面上的圓對應上的0 分貝線；在GH 平面上圓內、外區(qū)域分別對應0 分貝線以下和以上的區(qū)域，即 L() 0 和 L() 0 的部分。(2) GH 平面上的負實軸對應根據(jù)上述對應關系就可以在上的180o 線。上判斷正頻率部分奈曲線及對應輔助線從(1, j0) 點左側對負實軸的正、負穿越情況。例如，在 L() 0 的區(qū)間內，() 曲線自下而上通過18

11、0o 線為正穿越，而() 曲線自上而下通過180o 線為負穿越。200圖 6-52上的正、負穿越示意圖只包含了 從0 到 的正頻率部分的奈曲線，判斷正負穿越情況時，還需要在對數(shù)相頻特性曲線上補畫 由 0 變化至 0+的輔助線。如圖6-53所示，在該輔助線上，相角隨 增大迅速減?。槙r針方向），且變化量為v 90o 。計算正、負穿越次數(shù)時，應將補上的輔助線看成對數(shù)相頻特性曲線的一部分。若輔助線穿過180o 線后變化量達到360o 以上則視為再次穿越。這樣，在開環(huán)對數(shù)幅頻特性 L() 0 的所有頻率范圍內，對數(shù)相頻特性曲線對180o 線的正、負穿越次數(shù)之差就等于正頻率部分奈曲線及對應輔助線從(1,

12、 j0) 點左側正、負穿越負實軸的次數(shù)之差 N N 。圖 6-53 在相頻特性曲線 0 處添加輔助線綜上所述，基的奈穩(wěn)定判據(jù)可表述如下：設開環(huán)傳遞函數(shù)GL (s) 在右半s 平面的極點數(shù)為 P ，且在開環(huán)對數(shù)幅頻特性 L() 0 的所有頻率范圍內，相頻特性曲線及對應輔助線對180o 線的正、負穿越次數(shù)之差為 N N 。若2(N N ) P ，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定；否則，閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定，并有 Z 2N P 個特征根落于右半 s 平面。例 6-10 已知一負反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)在右半s 平面無極點，其開環(huán)對數(shù)頻率特性曲線201如圖6-53 所示，其中， v 2 ，試判斷其穩(wěn)定性。解：由題意知P 0 。

13、開環(huán)傳遞函數(shù)有兩個積分環(huán)節(jié)，故應在( 0 , 180o ) 處由下向上補畫一條輔助線，其中 為無窮小的正數(shù)。該輔助線相角總變化量為v 90o 180o 。因此， 沿對數(shù)相頻特性曲線及對應輔助線增大的過程中，相角( ) 的變化范圍為0o 180o 180o ，即負穿越一次，而 0 后無穿越， 2N 2 P ，因此閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定，且在右半 s 平面有兩個極點。6.6穩(wěn)定實際系統(tǒng)的模型一般總存在不確定性，測量誤差、環(huán)境變化、器件老化等各種均會引起參數(shù)變化，甚至可能改變系統(tǒng)的動態(tài)特性。此外，建模過程中的模型簡化也往往會忽略一些次要，比如某些小慣性環(huán)節(jié)或者高頻振蕩環(huán)節(jié)。因此，根據(jù)奈穩(wěn)定判據(jù)所得的絕對穩(wěn)定

14、性結果，對于實際系統(tǒng)來說可能存在偏差。同時，人們也無法一一檢驗各種可能的變化或者被忽略的環(huán)節(jié)以及各種組合對系統(tǒng)穩(wěn)定性有何影響。工往往希望一個已經(jīng)判明為穩(wěn)定的系統(tǒng)本身具有在這些不確定性影響下仍能保持穩(wěn)定的性質，此即為相對穩(wěn)定性的概念，也稱為“ 穩(wěn)定” 。換句話說，工可用的系統(tǒng)不僅要求穩(wěn)定，還應具有相當?shù)姆€(wěn)定。6.6.1幅穩(wěn)定和相穩(wěn)定在第 3 章，穩(wěn)定采用閉環(huán)系統(tǒng)左半s 平面極點與虛軸的最短距離來衡量，即包含相對穩(wěn)定性的概念。當虛部大小不變，該距離越短，則阻尼系數(shù) 越小，超調量 % 越大，因此阻尼系數(shù)和超調量的大小在一定程度上反映了閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定。與此對應，在頻域中對于一個開環(huán)傳遞函數(shù)不包含右半

15、s 平面零、極點的最小相位系統(tǒng)而言， GL ( j) GH ( j) 與臨界點(1, j0) 間的距離往往決定了閉環(huán)控制系統(tǒng)的超調量和調節(jié)時間。一般而言，奈曲線距離(1, j0) 點越近，閉環(huán)系統(tǒng)響應振蕩就越激烈，穩(wěn)定也就越低。換句話說，位于臨界點附近的奈曲線對系統(tǒng)穩(wěn)定性影響很大，故可用曲線靠近(1, j0) 點的程度表征系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性。此外，很顯然對于不穩(wěn)定的系統(tǒng)談穩(wěn)定是沒有意義的。在頻率法中，穩(wěn)定是一種基于開環(huán)頻率特性的指標，包括幅穩(wěn)定和相穩(wěn)定，它們既可以在奈幅值圖中表示，也可以在中表示，兩種表示方式的對應關系如圖6-54 所示。幅值是指系統(tǒng)開環(huán)頻率特性相位為 180o 時，其幅值的倒數(shù)

16、，即KGMGH ( jg )或 LGM 20lg KGM 20 lg GH ( jg ) dB ，其中，滿足GH ( jg ) 180o 的頻率 1KGM g 稱為相位穿越頻率。幅值KGM 的物理意義是：對于閉環(huán)穩(wěn)定的系統(tǒng)，如果系統(tǒng)的開環(huán)傳遞系數(shù)再增大 KGM 倍，則系統(tǒng)將處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)，即 KGMGH ( jg ) 1 。若增大 KGM 倍以上，則閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。顯然，幅值KGM 只對高于二階的系統(tǒng)才有意義；對于二階以下的系統(tǒng)， KGM 為無窮大。相位相位 是指系統(tǒng)開環(huán)頻率特性的幅值為 1 時，其相位與180o 之和， 即 180o GH ( jc ) ，其中，頻率c 滿足| GH ( j

17、c ) | 1 ，因 L(c ) 20lg | GH ( jc ) | 0 且一般對于202 c 有 L( ) 20 lg | GH ( j ) | 0 ，故稱其為截止頻率，也稱幅值穿越頻率或簡稱穿越頻率。圖 6-54 幅值和相位的表示相位 的物理意義是：對于閉環(huán)穩(wěn)定的系統(tǒng)，如果系統(tǒng)開環(huán)相頻特性再滯后 ，則系統(tǒng)將處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。若相位滯后增加量超過 ，則閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。對于最小相位系統(tǒng)，欲使系統(tǒng)穩(wěn)定需保證 0 或KGM 1 。當然，為保證在許多不確定作用下系統(tǒng)仍能保持穩(wěn)定，應使幅值和相位都足夠大。但是，穩(wěn)定過大往往會影響系統(tǒng)的其他性能，比如系統(tǒng)響應的快速性。工一般選擇幅值LGM 為 620

18、dB，相位 為30o 60o 。例 6-11 某反饋系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為GH (s) Kg (s 2)s(s 1)(s 20)試分別求 Kg 100 和 Kg 1000 時，系統(tǒng)的幅值和相位。解：先將系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)轉換為時間常數(shù)表示的形式：0.1Kg (0.5s 1)GH (s) s(s 1)(0.05s 1)(1) 當 Kg 100 時，系統(tǒng)的如圖6-55 所示。無論Kg 如何增大，開環(huán)系統(tǒng)相位GH ( j) 始終大于180o ，因此幅值 。按漸近特LGM性有20 lg(0.1Kg ) 40 lg(2 1) 20 lg(c 2) 0 ，可求得c 5 rad / s ，并易得相位GH ( jc

19、 ) 115o 。因此，相位 65o 。此時，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。(2) 當 Kg 1000 時，系統(tǒng)的如圖6-56 所示。同理，幅值 。按漸近特性易得c 31.6 rad / s ，相應相位約為150o 。因此，相位LGM 30o 。此時，閉環(huán)系統(tǒng)依然穩(wěn)定。開環(huán)增益增大了 10 倍系統(tǒng)穩(wěn)定依然滿足工對相位的一般要求，這在很大程度上得益于零點s 2 抵消了其都很平緩。極點s 1滯后相位對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響，使得相位在相當寬的頻段內下降203令GH ( j) 的虛部為0 ，求出相位穿越頻率 g ，即可按定義計算幅值。相對于截止頻率和相位，相位穿越頻率和幅值的計算稍顯麻煩，因而在數(shù)字計算機尚未普及時，工采

20、取相位值來衡量閉環(huán)系統(tǒng)的性能。不過，現(xiàn)在已有很多現(xiàn)成的計算機輔助，相位穿越頻率和幅的計算其實也很方便，詳見 6.9 節(jié)。圖 6-55 例 6-11 中 Kg 100 時系統(tǒng)的圖 6-56 例 6-11 中 Kg 1000 時系統(tǒng)的例 6-12 設兩個反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)分別為10G (s) 1s(s 1)和10G (s) 2s(s 1)(0.1s 1)試求兩系統(tǒng)的幅值和相位。解：圖6-57 所示為利用得到的，可計算其幅值和相位分別為：LGM 1 ，1 18o ； LGM 2 1.1 ， 2 1.58o 。兩個閉環(huán)系統(tǒng)均穩(wěn)定，但前者的幅值和相位遠大于后者。204圖 6-57 例 6-12 系統(tǒng)

21、的例 6-12 說明忽略開環(huán)小慣性環(huán)節(jié)即便不一定導致系統(tǒng)穩(wěn)定性的誤判，在相對穩(wěn)定性的分析過程中，也容易得到錯誤的結果。另外，若添加延遲環(huán)節(jié)，則其所引入的相位滯后 將隨頻率增大而迅速增大，也會大大削弱閉環(huán)系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性，甚至使相位為負值( 0 )從而導致不穩(wěn)定。由圖6-57 還可以看出，由于相位通常隨頻率增加而減小，故往往可通過減小開環(huán)傳遞系數(shù)，使對數(shù)幅頻特性下移，降低截止頻率c 而得到更高的相位。需要的是，穩(wěn)定一般適用于以下兩類系統(tǒng)：開環(huán)系統(tǒng)是最小相位的系統(tǒng)；含有純時延且不含右半 s 平面零點的開環(huán)穩(wěn)定系統(tǒng)。對于開環(huán)不穩(wěn)定的非最小相位系統(tǒng)和 6.5.3 節(jié)提到的條件穩(wěn)定系統(tǒng)，簡單的穩(wěn)定不再適

22、用。例如，圖 6-58(a)所示的兩個系統(tǒng)的開環(huán)幅相頻率雖然具有相同的幅值，但是曲線G2 ( j) 顯然離臨界點(1, j0) 更遠，因而相應的閉環(huán)系統(tǒng)也就比曲線G1( j) 對應的閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定程度要高。同理，圖6-58(b)給出的兩個系統(tǒng)相位相同，但G1( j) 更為遠離(1, j0) ，因而相對穩(wěn)定性更優(yōu)。注意到，只要添加適當?shù)募儠r延環(huán)節(jié)，圖6-58(a)和(b)中的G1( j) 均可變?yōu)闂l件穩(wěn)定系統(tǒng)。此時不能用簡單的穩(wěn)定來估計系統(tǒng)動態(tài)性能，而需結合仿真或實驗等其他方法檢驗分析結果的有效性。圖 6-58 穩(wěn)定的局限性6.6.2穩(wěn)定與時域性能指標的關系開環(huán)頻域指標穩(wěn)定與閉環(huán)系統(tǒng)時域性能指標之

23、間的定量關系是要研究的一個重要內容。由于最小相位系統(tǒng)的對數(shù)幅頻特性與相頻特性存在唯一確定關系，而純時延環(huán)節(jié)僅影響開環(huán)系統(tǒng)的相位，因此，關于穩(wěn)定與閉環(huán)系統(tǒng)時域性能指標之間的聯(lián)系，通常以研究相位 與時域性能指標之間的量化關系為主。如第四章所述，工一般可將系統(tǒng)的動態(tài)行為降階近似為典型二階系統(tǒng)來處理，因此可基于典型二階系統(tǒng)來建立時、頻域性能指標之間的經(jīng)驗關系。2051典型二階系統(tǒng)典型二階系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為n2T (s) (6-35)2 s 2s 2nn其對應的反饋開環(huán)頻率特性為n2j( j 2n )n2G( j) 90 arctan(6-36)2n 2 4 2n2n2由于 滿足 A( 1 ，可求得截

24、止頻率為c ) cc c2 4 2n2c n4 4 1 2 2(6-37)故系統(tǒng)的相位為c2 arctan 2 180o G( j ) 180o 90o arctan(6-38)c4 1 242n式(6-38)表明，典型二階系統(tǒng)的相位 和阻尼比 存在一一對應關系。由相位 即可求出對應的阻尼比 ，進而求出超調量 % e 1 2 、衰減比nd e21 2 以及最大偏差等時域性能指標。圖6-59 給出了根據(jù)式(6-38)繪制的 曲線，為了便于比較，圖中還包括了時域指標超調量 %與阻尼系數(shù) 的關系曲線。由圖示曲線可知，相位 越小，則阻尼系數(shù) 越小，超調量 % 越大。為了使系統(tǒng)具有良好的動態(tài)性能，一般取

25、 30o 。若調節(jié)時間取為ts 3 (n ) (取 0.05 )，與式(6-37)相乘得 3t 4 4 1 2 2(6-39)s c再將式(6-38)代入式(6-39)，6tan t (6-40)s c將式(6-40)的函數(shù)關系繪成曲線如圖6-60 所示?？梢?，調節(jié)時間ts 與相位 和截止頻率c 都有關。當 一定時，ts 與c 成反比。因此，若兩系統(tǒng)相位等，且c 較大的系統(tǒng)因響應更快而調節(jié)時間較短。相等，而c 不同，則兩者閉環(huán)系統(tǒng)的超調量相206圖 6-59典型二階系統(tǒng) % 、 與 的關系圖 6-60 典型二階系統(tǒng)的 tsc 曲線例 6-13 某隨動系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為KG (s) ,K 0L

26、s(Ts 1)試判斷 K 0.4 T 時，系統(tǒng)階躍響應最大超調量是否小于5，并估計調節(jié)時間ts 。解：該系統(tǒng)開環(huán)對數(shù)幅頻漸近特性曲線如圖6-61 所示。改變 K 值不會影響相頻特性，但會使對數(shù)幅頻特性曲線上下移動，從而改變截止頻率c 的大小，導致相位圖 6-61 例 6-13 系統(tǒng)的和閉環(huán)系統(tǒng)階躍響應超調量發(fā)生變化。為此可通過c 的取值間接判斷。查圖 6-59 知，為使階躍響應的最大超調量 % 5% ，需 65o 。由定義 180o (90oc tan 25o T 0.4663 T 。根據(jù)其對數(shù)幅頻漸近特性，若c 落于1 T 之前， arctan(cT ) 65o則有 L() 20lg K 2

27、0 lg ，解 L(c ) 0 得c K 。因 K 0.4 T 時， c K 必小于0.4663 T ，故系統(tǒng)階躍響應最大超調量小于 5%。由圖 6-60 可知，此時的階躍響應調節(jié)時間ts 7T。2高階系統(tǒng)對于一般的三階或三階以上的高階系統(tǒng)，要準確推導開環(huán)頻域指標與時域指標之間的關系難度較大，即便得到這樣的關系式，使用起來也不方便。此時，可考慮采用下述經(jīng)驗公式： % 0.16 0.41 100%1(6-41) sin 和2 1 1ts 2 1.5 sin 1 2.5 sin 1 (6-42)c 圖 6-62 高階系統(tǒng)時域與頻域性能指標關系207其中，90 35 。圖6-62 給出了按上述兩式繪

28、出的曲線，可見隨著 值的增加，系統(tǒng)超調量 % 和調節(jié)時間ts 都會明顯下降。應的是，按式（6-41）和（6-42）所作的性能估計往往過于保守。在控制系統(tǒng)的分析與設計中，通常依舊按典型二階系統(tǒng)來近似處理，并留有一定的的有效性。，同時通過仿真等來檢驗分析結果6.7基于開環(huán)對數(shù)頻率特性的系統(tǒng)性能分析盡管控制系統(tǒng)分析和設計均以滿足閉環(huán)性能指標為最終目標，但當發(fā)現(xiàn)所設計的系統(tǒng)的性能指標不滿足要求時，改進設計的方式往往是從開環(huán)系統(tǒng)入手，這也是基于開環(huán)頻率特性的分析和設計方法被廣泛采用的重要原因。對于 6.6.1 節(jié)所的、穩(wěn)定分析。設開環(huán)最小相位系統(tǒng)的頻率特性為m1所適用的兩類系統(tǒng)，通常采用進行m1(mm1

29、 ) 2( ji 1)(1 22 2 j )ii iG ( j) GH ( j) KLi1im1 1(6-43)Ls vn1vn1(nvn1 ) 2( jTl 1)(1 Tl22 2 j lTl)l v1lvn11其中， KL 0 為開環(huán)傳遞系數(shù)，也簡稱放大系數(shù)， 0 i 1 、0 l 1 、i 0 和Tl 0 為常數(shù)。對于開環(huán)系統(tǒng)(6-43)中添加了延遲環(huán)節(jié)的情況，因不影響幅頻特性，只需相應考慮延遲環(huán)節(jié)所引起的附加相位滯后即可。本節(jié)利用開環(huán)系統(tǒng)(6-43)的對數(shù)幅頻特性，分別在低頻、中頻和高頻三個頻段分析開環(huán)對數(shù)幅頻特性與閉環(huán)系統(tǒng)性能指標的關系。6.7.1低頻段特性與系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差的關系由于系

30、統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差取決于靜態(tài)誤差系數(shù)，所以如何在上接近 0 處求取靜態(tài)誤差系數(shù)就成為確定系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差的關鍵。對于開環(huán)系統(tǒng)(6-43)，在低頻段有L() 20 lg1 20lg KL 20v lg 20lg KL 20v lg由此低頻段漸近線的斜率為(6-44)dL() 20v(6-45)d lg由式(6-45)可知，由低頻段對數(shù)幅頻特性曲線的斜率可 確 定 開 環(huán) 系 統(tǒng) 的 型 別 v 。 若 記 0 為 使 L(0 ) 20lg KL 20v lg0 0 的頻率，則低頻漸近線或其延長線與貝線的交點如圖6-63 所示。根據(jù)系統(tǒng)的型別可確定系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差如下：(1) 對于 0 型系統(tǒng)( v 0 )，

31、系統(tǒng)的靜態(tài)位置誤圖 6-63 低頻漸近線或其延長線與貝線的交點208差系數(shù)為K p lim GL (s) KL ，而靜態(tài)速度誤差系數(shù) Kv 和靜態(tài)加速度誤差系數(shù) Ka 均為0 。系統(tǒng)位s0置、速度和加速度響應的穩(wěn)態(tài)誤差分別為： essr 1 (1 Kp ) 、essr 1 Kv 和essr 1 Ka 。(2) 對于 型系統(tǒng)( v 1 )，系統(tǒng)的靜態(tài)速度誤差系數(shù)為 Kv lim sGL (s) KL 0 ，靜態(tài)位置誤差s0位置、速度和加速度響應的穩(wěn)態(tài)誤差分別系數(shù)為 Kp ，而靜態(tài)加速度誤差系數(shù)為 Ka 0 。系統(tǒng)為： essr 1 (1 Kp ) 0 、essr 1 Kv 1 0 和essr 1

32、 Ka 。(3) 對于系統(tǒng)，系統(tǒng)的靜態(tài)加速度誤差系數(shù)為 K lim s G (s) K ，而靜態(tài)位( v 2 )22aLL0s0置誤差系數(shù) Kp 和靜態(tài)速度誤差系數(shù) Kv 均為 。系統(tǒng)位置、速度和加速度響應的穩(wěn)態(tài)誤差分別為：。) 0 、e 1 K 0 和e 1 K 1 2e 1 (1 Kssrpssrvssra0結論：在低頻段，開環(huán)對數(shù)幅頻特性 L() 的斜率對應于系統(tǒng)的型別，據(jù)此可方便地確定系統(tǒng)的靜態(tài)誤差系數(shù)，一旦求出靜態(tài)誤差系數(shù)就可根據(jù) 4.6.2 節(jié)給出的表 4-3 迅速獲得閉環(huán)系統(tǒng)相應的穩(wěn)態(tài)誤差。一般來說，反饋控制系統(tǒng)最常見的是要求對階躍響應穩(wěn)態(tài)誤差為零(如恒值調節(jié)系統(tǒng))或要求對速度響

33、應穩(wěn)態(tài)誤差為零(如隨動系統(tǒng))，因此，典型控制系統(tǒng)的 L() 在低頻段常見的斜率為20或40，也就是具有一階或二階無差度(即v 1 或v 2 )。6.7.2中頻段特性與系統(tǒng)瞬態(tài)性能的關系通常將截止頻率c 附近的頻段稱為中頻段，一般為 30 dB 到15 dB 之間的頻段。根據(jù)截止頻率c的定義，一般c 越大，系統(tǒng)的快速性越好，但對于確定的開環(huán)傳遞函數(shù)，截止頻率c 與穩(wěn)定密切相關，通常不能單獨調整。因此，閉環(huán)系統(tǒng)的瞬態(tài)響應的好壞主要依賴于 L() 的中頻段所確定的穩(wěn)定，瞬態(tài)性能要求系統(tǒng)具有 定的相對穩(wěn)定性來保證，而這正是采用穩(wěn)定分析和設計控制系統(tǒng)的合理性所在。數(shù)學上可以證明，（前邊已經(jīng)提到過兩者之間

34、存在一一對應關系，此處可不重復）對于最小相位系統(tǒng)，對數(shù)幅頻特性與相頻特性存在唯 的確定關系，并且兩者之間存在嚴格的換算公式。當 L() 在某個頻率a 附近前后相當寬的頻段內斜率保持不變時，則在頻率a 處的相位可近似為m ( ) 90 4.5 m (o )o(6-46)a20其中，m （建議用別的符號表示，因為m文已多次用于表示傳遞函數(shù)分子的階次）為頻率a 附近前后一段頻段所保持的常斜率，為dB/dec 。需要注意的是，式(6-46)的準確度取決于a 附近前后常斜率保持的頻段是否足夠寬。一般情況下，截止頻率c 處相位與整個對數(shù)幅頻特性曲線各段斜率有關，除了L() 在中頻段本身的斜率外，離截止頻率

35、c 越近的頻段斜率對相位影響越大。通常可基于式(6-46)給出的相位近似關系再結合 L() 的中頻段寬度和中頻段前后頻段的斜率來估計相位 180o (c ) ，一旦獲圖 6-64 例 6-14 中的開環(huán)對數(shù)幅頻漸近特性209得了相位下面舉例 估計值，根據(jù)其與時域性能指標的關系，就可估算出確定系統(tǒng)瞬態(tài)性能的時域指標。中頻段開環(huán)對數(shù)幅頻特性 L() 與系統(tǒng)相位 的關系。例 6-14 設系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性為KL ( jT1 1)GH ( j) , T T （ T T 0 ）(6-47)1212( j)2 ( jT 1)2試分析相位 與系統(tǒng)結構參數(shù)的關系。解：首先，繪制出系統(tǒng)開環(huán)對數(shù)幅頻漸近特性曲線如

36、圖6-64 所示。(1) L() 的中頻段斜率與相位 的關系。系統(tǒng)的相位為 180o (c ) 180o (180o arctan(T1c ) arctan(T2c ) arctan(T1c ) arctan(T2c )(6-48) arctan c arctan c12式中，1 1 T1 ，2 1 T2 。由式(6-48)可知：若c 不變，則1 增加和2 減小均使得 L() 的中頻段斜率為20的區(qū)間減小。中頻段寬度減小意味著前后頻段的影響加大，而其前后頻段的斜率均為40，這將導致相位大，從而相位 減小。同理可知，1 減小和2 增加都使 L() 的中頻段斜率為20的區(qū)間寬度增 增加。(2) 開

37、環(huán)放大系數(shù) KL 與相位 的關系。若改變開環(huán)放大系數(shù) KL ，則整個對數(shù)幅頻特性 L() 會相應上下平移，而對相頻特性無影響。當 KL增加時， L() 上移，截止頻率c 向右移而向2 靠近，此時斜率為40的高頻段影響是使相位滯后增加，從而導致相位 減小。反之，當 KL 減小時， L() 下移，截止頻率c 向而向1 靠近，此時斜率為40的低頻段影響也是增加相位滯后，從而也導致相位 減小。由于中頻段兩端頻段的斜率均為40，這種對稱性意味著改變開環(huán)放大系數(shù) KL 能使相位到最大值。例如，令達 arctan c arctan c ,h 2 1(6-49)1h11根據(jù)d d(c 1) 11 h 0(6-

38、50)1 (c 1)21 (c h1)2由此解得h (c ) ，進一步得 h22 ，即21c11 2lg 1 (lg lg )(6-51)c122可見，此時截止頻率c 落在對數(shù)坐標lg1和lg2 的幾何中心，系統(tǒng)的相位達到最大值 max ，即210 arctan c arctan c arctan h arctan1h(6-52)maxh11式(6-52)也證實了 L() 的中頻段越寬( h 越大)， max 越大。換句話說，L() 的中頻段保持斜率為20不變的區(qū)段越寬，斜率20所對應的相位越有保證，即(c ) 越靠近90o ，而 max 越靠近90o 。結論：根據(jù)式(6-46)給出的近似關系

39、可以估算，具有合適相位的控制系統(tǒng)( 30o 60o )，其 L() 在中頻段穿過數(shù)常?？色@得最大相位影響。貝線的斜率應為20，并且具有足夠的寬度。另外，調變開環(huán)放大系，也可以改變增加截止頻率c ，但相位 與截止頻率c 兩者會互相6.7.3高頻段特性與閉環(huán)頻率特性的關系在中頻段之后就是高頻段。由于時間常數(shù)較大的環(huán)節(jié)在開環(huán)對數(shù)頻率特性的中頻段作用突出，故高頻段對數(shù)幅頻特性一般取決于小時間常數(shù)環(huán)節(jié)。又因小時間常數(shù)環(huán)節(jié)的轉折頻率均遠離截止頻率c ，所以通?？珊雎云鋵Ψ€(wěn)定指標的作用。 L() 的高頻段特性主要是影響系統(tǒng)的抗高頻干擾的能力，這也是高頻段對系統(tǒng)性能影響的實際意義所在。設系統(tǒng)的閉環(huán)頻率特性為T

40、 ( j) G( j)(6-53)1 GH ( j)在高頻段，一般 20lg GH ( j ) 0 ，即 GH ( j ) 1 ，由此得T ( j) G( j) G( j)(6-54)1 GH ( j)式(6-54)意味著一般在高頻段閉環(huán)對數(shù)頻率特性近似等于系統(tǒng)前向通道的對數(shù)頻率特性；或者對于單位反饋系統(tǒng)( GH ( j) G( j) )，在高頻段閉環(huán)頻率特性近似等于開環(huán)頻率特性。因此，系統(tǒng)前向通道在高頻段的幅值直接地反映了閉環(huán)系統(tǒng)對高頻輸入信號的抑制能力，其高頻段分貝值越小，抑制高頻信號的衰減作用越大，系統(tǒng)抗高頻干擾的能力就越強。應的是，為實現(xiàn)快速而準確的測量，傳感器的帶寬通常比前向通道的帶

41、寬高得多，其幅值在相當寬的頻段內近似保持恒定。在這些頻段內，開環(huán)頻率特性的幅值近似正比于前向通道頻率特性的幅值。故此，開環(huán)頻率特性在高頻段的分貝值亦可反映系統(tǒng)的抗高頻干擾能力，該值越小，閉環(huán)系統(tǒng)抑制高頻噪聲的能力越強。結論：在高頻段，系統(tǒng)前向通道的對數(shù)幅頻特性或者開環(huán)對數(shù)幅頻特性(反饋時)與閉環(huán)對數(shù)幅頻特性近似相等，因而決定了該高頻段的閉環(huán)對數(shù)幅頻特性。一般地說，反饋控制系統(tǒng)均有要求，這決定了 L() 在高頻段通常呈現(xiàn)較大的負斜率。6.8閉環(huán)頻率特性與系統(tǒng)性能指標反饋控制系統(tǒng)的性能也可以用閉環(huán)頻率特性來分析，并采用閉環(huán)頻率特性的綜合設計方法。限于篇幅，關于閉環(huán)頻率特性本節(jié)僅介紹兩個方面的內容：

42、1）如何從開環(huán)頻率特性求取閉環(huán)頻率特性；2）閉環(huán)頻率特性的特征量與系統(tǒng)時域性能指標之間的關系。2116.8.1閉環(huán)頻率特性的求取1利用向量法求閉環(huán)頻率特性考慮圖 6-65 所示的反饋系統(tǒng)，其開環(huán)和閉環(huán)頻率特性G( j) 和T ( j) G( j) 均為復數(shù)。1 G( j)在極坐標中可采用向量形式描述開環(huán)和閉環(huán)頻率特性兩者間的幾何關系，如圖 6-66(a)所示。圖 6-65反饋系統(tǒng)圖 6-66 利用向量法求閉環(huán)頻率特性記G( j ) uuur uuuruur u urOA | OA | ej 和1 G( j ) PA | PA | ej 。系統(tǒng)的閉環(huán)頻率特性可化為：11uuruuur G( j

43、) | OA | OA |j ) j1 e uuur eT ( juuur(6-55)11 G( j )| PA | PA |1即閉環(huán)頻率特性的幅值等于向量 uuur 和uur 的幅值比，而相位等于 。根據(jù)式(6-55)就可以在OAPA (0, ) 范圍內逐點圖解計算出閉環(huán)頻率特性曲線，如圖 6-66(b)所示。若G( j) 在1 附近非常接近于(1, j0) 點， | T ( j1) | 會因| PA | 值過小而取一非常大的數(shù)值，表明閉環(huán)系統(tǒng)將會顯著放大1 附近頻段的信號，其階躍響應亦將表現(xiàn)為該頻率的振蕩。這也解釋了第 6.6 節(jié)中為什么以開環(huán)頻率特性接近(1, j0) 點的程度來衡量系統(tǒng)

44、的相對穩(wěn)定性。2利用等 M 圓圖和等 N 圓圖求閉環(huán)頻率特性對于圖 6-65 所示的反饋系統(tǒng)，記T ( j) M ()ej () ，其中， M () 和 () 分別為閉環(huán)幅頻特性和相頻特性，分別簡記為 M 和 。若記G( j) P jQ ，則有G( j) 1 G( j)P2 Q2P jQM T ( j) (6-56)1 P jQ(1 P)2 Q2和G( j)P jQ T ( j) (6-57)1 G( j)(1 P) jQ1) 等 M 圓圖212對式(6-56)進行開方并整理P2 (1 M 2 ) 2M 2P M 2 (1 M 2 )Q2 0(6-58)當 M 1 時，由式(6-58)P 1

45、0.5 ，即所有 M 1 的點在復平面上連接成一條通過2(0.5, j0) 點且平行于虛軸的直線。當 M 1 時，用1 M 2 除以式(6-58)各項并配方處理22M 2M Q2 P (6-59)1 M 2 1 M 2 故在復平面上，除了M 1 外，所有M 值相等的點一條圓心在 ，半徑為M 2M的, j0 21 M1 M 2封閉圓周曲線，如圖6-67 所示。2) 等 N 圓圖Q1 P由式(6-57) arctan。若令 N tan ，則有PQ Q P 1 P QN tan arctan1P2 P Q2P 1 PP1即P2 P Q2 Q 0N對此式進行配方處理1 2 22111 P 2 Q 2N

46、 42N(6-60)式(6-60) 表明，在復平面上，所有 N tan 值相等的點均在圓心為 1 ,j ，而半徑為12N 2211的圓周上，如圖6-68 所示。 42N213圖 6-67 等 M 圓圖圖 6-68 等 N 圓圖3) 求閉環(huán)頻率特性在繪有等 M 圓圖和等 N 圓圖的圖紙上，以相同比例繪出開環(huán)系統(tǒng)的正頻率部分奈曲線G( j) ，如圖 6-69(a)和(b)所示。由G( j) 曲線與等M 圓和等 N 圓的交點可讀出頻率值 以及在此頻率下閉環(huán)頻率特性的幅值 M () 和相位 () 。用光滑曲線描點即到閉環(huán)頻率特性曲線。3利用圖求閉環(huán)頻率特性對于圖 6-65 所示的反饋系統(tǒng)，將等M 圖(

47、一般以 dB 為，即20 lg M )和以角度為的等 圖合并繪制在同一張采用對數(shù)幅相特性曲線坐標系 20 lg A() ( ) 的圖紙上，則出兩簇以頻率 為參變量的20 lg M () 和 () 曲線，分別用實線和虛線表示，如圖 6-70 所示的圖線。由于采用對數(shù)刻度，此時的等M 曲線發(fā)生變形不再是圓周。由圖6-70 可見，圖線對稱于180o 軸線。臨界點(1, j0到點(0dB, 180o ) 周圍。圖線上就是點(0 dB, 180o ) ，等M 軌跡環(huán)繞在臨界214圖 6-69 利用等 M 和等 N 圓圖繪制閉環(huán)頻率特性采用圖線，由開環(huán)頻率特性確定閉環(huán)系統(tǒng)頻率特性時，可以相同比例尺先在一張

48、透明的紙上繪制出開環(huán)系統(tǒng)的對數(shù)幅相特性曲線，即 6.3.3 節(jié)介紹的曲線，然后將其在圖上，開環(huán)對數(shù)幅相特性曲線與等M 曲線和等 曲線的交點，就給出了該頻率點上閉環(huán)系統(tǒng)頻率特性的幅值M 和相角 的數(shù)值。若開環(huán)對數(shù)幅相特性曲線與等M 軌跡相切，則切點就是閉環(huán)頻率響應的諧振峰值 Mr ，切點處頻率就是諧振頻率r 。215圖 6-70圖線例 6-15 設反饋控制系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性為Kj( j 1)(0.5 j 1)G( j) 若 K 1 ，試用圖線繪制閉環(huán)系統(tǒng)頻率特性；若 K 增大，試分析對閉環(huán)系統(tǒng)性能的影響。解：首先，繪制出開環(huán)對數(shù)幅相特性曲線，并將其于圖上，如圖6-71(a)中粗實線所示；然后，由

49、開環(huán)對數(shù)幅相特性曲線與圖上等M 軌跡和等 軌跡的交點，分別求出各頻率下閉環(huán)對數(shù)幅值M 和相角 的數(shù)值，并分別繪制閉環(huán)對數(shù)幅頻特性曲線M () 和閉環(huán)對數(shù)相頻特性曲線 () ，如圖 6-71(b)所示。最后，讀圖r 0.8 rad / s 。諧振峰值為 20 lg Mr 5 dB ，對應的諧振頻率為當 K 增大時， L( ) 20lg A( ) 也增大，但相角() 不變，在圖 6-71 中表現(xiàn)為開環(huán)幅相特性曲線向上平移。由圖可知，此時開環(huán)對數(shù)幅相特性曲線與等M 軌跡相切點的M 值增大，即M r 值增大，閉環(huán)系統(tǒng)階躍響應的超調量增大。216圖 6-71 利用圖繪制閉環(huán)4非反饋控制系統(tǒng)的閉環(huán)頻率特性

50、注意到前面考慮的均為反饋情況，對于非反饋控制系統(tǒng)可按圖6-72 進行結構圖變換。圖 6-72 非反饋系統(tǒng)變換為反饋系統(tǒng)即將閉環(huán)系統(tǒng)的頻率特性寫成T ( j) G( j)H ( j) 1(6-61)1 G( j)H ( j) H ( j)可見，非反饋控制系統(tǒng)的閉環(huán)頻率特性就是G( j)H ( j) 1 G( j)H ( j) 和1 H ( j) 的積。因此，可按通常的方法對兩者分別處理，然后再將兩者的對數(shù)頻率特性疊加即可。閉環(huán)頻域指標與時域性能指標的關系可用若干特征量來描述閉環(huán)幅頻特性曲線的特點，這些特征量在很大程度上能間接地反映閉環(huán)系統(tǒng)時域響應的品質，故也稱為閉環(huán)頻域性能指標?，F(xiàn)根據(jù)圖6-7

51、所示的反饋控制系統(tǒng)典型幅頻特性，詳細說明如下。零頻振幅比M (0) ：指在 0 時閉環(huán)幅頻特性的數(shù)值。若閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定，則系統(tǒng)階躍響應的穩(wěn)態(tài)值與輸入成比例。穩(wěn)態(tài)誤差為零意味著輸出穩(wěn)態(tài)值應等于輸入，即M (0) 1 。因此， M (0) 的大小直接反映了系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)精度， M (0) 越接近于 1，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)精度越高。諧振峰值M r ：指閉環(huán)系統(tǒng)幅頻特性的最大值，表明系統(tǒng)對頻率為r 處的輸入信號具有最大增益。通常，M r 的值越大，系統(tǒng)阻尼系數(shù)越小，階躍響應的超調量 % 越大，因而系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性也越差。(3) 諧振頻率r ：指閉環(huán)系統(tǒng)幅頻特性出現(xiàn)諧振峰值時所對應的頻率，為rad / s ，它在一定

52、程度上反映了系統(tǒng)瞬態(tài)響應的速度。一般而言， r 值越大，系統(tǒng)瞬態(tài)響應越快。(4) 帶寬頻率b ：當閉環(huán)系統(tǒng)頻率特性的幅值由初始值M (0) 減小到 0.707 M (0) (或零頻率分貝值以下 3 dB)時，所對應的頻率b 稱為帶寬頻率，為rad / s 。而 0b 的頻率范圍稱為系統(tǒng)的帶寬或通頻帶。系統(tǒng)的帶寬反映了系統(tǒng)對噪聲的濾波特性，同時也反映了系統(tǒng)的響應速度。一般情況下，帶寬越大，瞬態(tài)響應速度越快，但對高頻噪聲的抑制能力也越差。與開環(huán)頻域性能指標一樣，閉環(huán)頻域性能指標與時域性能指標之間的經(jīng)驗關系通常也是基于典型二階系統(tǒng)而建立的。2171典型二階系統(tǒng)典型二階閉環(huán)系統(tǒng)的頻率特性為2T ( j

53、) n(6-62)( j) 22 ( j) 2nn則其幅頻特性為2M () T ( j) n(6-63)(2 2 )2 (2 )2nn令d(M () d 0 求得M1r2 1 2(6-64) 1 2 2rn式(6-64)表明，諧振峰值M r 和諧振頻率r 均與阻尼系數(shù) 存在對應關系。阻尼系數(shù) 越小， Mr 越大，諧振峰形狀越尖，而諧振頻率r 越高，振蕩越激烈。當 0.707 時，不出現(xiàn)諧振峰值M r 。當M r較高時，系統(tǒng)的超調量往往較大，收斂慢，平穩(wěn)性和快速性都較差。一般常用值為M r 1.2 1.8，對應的階躍響應最大超調量 % 20% 40%，此時系統(tǒng)動態(tài)過程振蕩幅度適度，平穩(wěn)性和快速性

54、較好。按定義，令 M () 0.707M (0) 0.707 可求得帶寬為b n 1 2 2 2 4 2 4 4若取ts 3 (n ) (取 0.05 )，則根據(jù)式(6-64)和式(6-65)分別得(6-65) 3 t1 2 2(6-66)r s 和 3 t1 2 2 2 4 2 4 4(6-67)b s 由式(6-64)式(6-67)可知，對于二階系統(tǒng)，給定諧振峰值M r ，則阻尼系數(shù) 確定，調節(jié)時間ts 與諧振頻率r 和帶寬b 均成反比，即帶寬越大，諧振頻率r 越高，調節(jié)時間越短。2高階系統(tǒng)對于高階系統(tǒng)，很難找出頻域性能指標與時域指標之間的一般性關系式，常用下列兩個經(jīng)驗公式進行估算： %

55、0.16 0.4(M r 1)100%(6-68)和t 2 1.5(M 1) 2.5(M 1)2 (6-69)srrc式中，1.8 Mr 1，c 為截止頻率。以上兩式表明，M r 增大，則超調量 % 和調節(jié)時間ts 都會增加，218因此M r 在很大程度上決定了系統(tǒng)的動態(tài)性能。應說明的是，按式(6-68)和式(6-69)估算高階系統(tǒng)的時域指標一般偏于保守，實際性能往往會比估算結果要好。工按典型二階系統(tǒng)來估算。更為常用的方法還是預留足夠的，頻域指標和時域指標之間的關系通常不是精確的，根據(jù)這些頻域指標估算的系統(tǒng)性能還應通過仿真等方式加以檢驗。6.9利用進行控制系統(tǒng)的頻率特性分析6.9.1繪制奈給定

56、傳遞函數(shù)，借助圖和可以迅速繪出系統(tǒng)的奈圖和，并可確定相位、幅值等性能指標。例 6-16 已知一負反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為10G(s) s(s 1)試繪制其奈圖和，并確定系統(tǒng)的穩(wěn)定。解：編寫 M 文件 ex6_16 m 如下：clear clc K=10; z=;p=-1, 0;sys=zpk(z, p, K); figure(1) nyquist(sys);axis(-10,1,-10,10);%清空工作空間(變量)%清屏幕%開環(huán)零點%開環(huán)極點%建立開環(huán)傳遞函數(shù)%繪制系統(tǒng)奈曲線title( Nyquist Diagram of G(s)=10/s(s+1); figure(2)%在對數(shù)空間定義

57、頻率范圍：0.1100w=logspace(-1,2); bode(sys, w); grid on;%繪制系統(tǒng)曲線title( Bode Diagram of G(s)=10/s(s+1);Lg,Y,Wg,Wc=margin(sys) %Lg 幅值在命令窗口中輸入： ex6_16 (按回車鍵)命令窗口將輸出：Lg = InfY =17.9642、Y 相位、Wg 相位穿越頻率、%Wc 截止頻率219Wg = InfWc =3.0842生成的曲線分別如圖6-73 和圖6-74 所示。分析控制系統(tǒng)的性能單回路系統(tǒng)例 6-17 考慮一個結構圖如圖6-75 所示的小功率角度隨動系統(tǒng)，忽略電的電磁慣性、

58、功率放大器的慣性。設各環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)分別為電壓放大器G1(s) K ，功率放大器G2 (s) 2 ，傳載G3 (s) 0.5 s(s 1) ，角度傳感器與濾波電路 H (s) 1 (T1s 1) 。(1) 忽略傳感器與濾波電路慣性，即令T1 0 。設 K 10 ，試判斷系統(tǒng)是否穩(wěn)定。構及負(2) 令T1 0 ，試判斷是否可通過調整 K 值，使系統(tǒng)相位 30 。(3) 若濾波電路慣性、電電磁慣性和功率放大器慣性的總效應不能忽略，可將其影響合并等效為一個一階慣性環(huán)節(jié)1 (0.2s 1) ，此時開環(huán)傳遞函數(shù)為 K s(s 1)(0.2s 1) 。試判斷是否可通過調整K 值，使系統(tǒng)相位 30 。圖 6-

59、73 例 6-16 的奈曲線圖 6-74 例 6-16 的曲線220圖 6-75 角度隨動系統(tǒng)的結構圖解：分步求解如下。(1) 由于開環(huán)傳遞函數(shù)為GH (s) G1 (s)G2 (s)G3 (s) 10 s(s 1) ，其奈其中，點(1, j0) 以符號“ +” 標出，由于曲線不包圍該點，因此閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。曲線如圖6-73 所示，(2) 繪制曲線需要給定 K 。由于 K 的取值不會影響相頻特性，因此可先令 K 10 。如圖 6-74 所示，相位約為18o ，不滿足要求。減小 K 可以使對數(shù)幅頻特性下降，截止頻率c，從而增大相位。以鼠標單擊對數(shù)相頻特性曲線，即顯示相應點頻率和相位；在其相頻特性曲

60、線上按下鼠標左鍵，并沿曲線移動，找到相位為150o 的點，其對應頻率約為1.7 rad/s 。該頻率下幅值約為9.4 dB ，故應將 20lg K 減小9.4 dB ，此時 K 3.3 ，則截止頻率落于1.7 rad/s 左方，相位大于30o 。將文件 ex6_16 m 中 K 10 改為 K 3.3 ，重新執(zhí)行，(3) 編寫 M 文件 ex6_17_3.m 如下：clear clc K=3.3;Kg=K/0.2;%Kg 為零、極點形式時的放大系數(shù)z=;p=-1, 0, -1/0.2;sys=zpk(z, p, Kg); w=logspace(-2,1); bode(sys,w);grid o