20講第七章力法的基本體系選擇及典型方程

1、結(jié) 構(gòu) 力 學(xué)Structural Mechanics孟昭博 聊城大學(xué) 建筑工程學(xué)院7.3力法典型方程及基本體系的選擇一、力法的典型方程1、兩次超靜定結(jié)構(gòu)的力法方程FPqFPq(1)基本體系X1ACABBC基本體系(2)位移條件BH=1=0A=2= 0(3)疊加原理的應(yīng)用=FPqX1+=1X1X2X2=1X2112112221P2P1= 11 X1+12 X2 +1P2= 21 X1+22 X2 +2P1= 11 X1+12 X2 +1P2= 21 X1+22 X2 +2P1= 11 X1+12 X2 +1P2= 21 X1+22 X2 +2P(4)力法基本方程11 X1+12 X2 +1P

2、=021 X1+22 X2 +2P =0含義：基本結(jié)構(gòu)在多余未知力和荷載共同作用下，在每一個(gè)多余約束處沿多余未知力方向上的位移與原結(jié)構(gòu)相應(yīng)的位移相等。即實(shí)質(zhì)上是位移條件。FPqFPq(1)基本體系X1ACABBC基本體系(2)位移條件BH=1=0A=2= 0(3)疊加原理的應(yīng)用=X21、兩次超靜定結(jié)構(gòu)的力法方程（7-3）1、兩次超靜定結(jié)構(gòu)的力法方程FPqFPqX1ACABBC基本體系=X2說明： 同一結(jié)構(gòu)可用不同的方式撤除多余約束，因此同一結(jié)構(gòu)的力法基本結(jié)構(gòu)和力法基本未知量具有非唯一性。ACBX2X1ACBX1X2X2ACBX1X2無論選擇哪種基本體系，變形條件仍寫為： D1=0D2=0據(jù)此，

3、可按前述推導(dǎo)方法得到在形式上與式（7-3）完全相同的力法基本方程。因此，式（7-3）稱為兩次超靜定結(jié)構(gòu)的力法典型方程。須注意，不同的基本體系中基本未知量本身的含義不同，因此變形條件及典型方程中的系數(shù)和自由項(xiàng)的實(shí)際含義也不相同。 ACBX2X1ACBX1X2X22、n次超靜定結(jié)構(gòu)的力法方程基本未知量：n個(gè)多余未知力X1、X2、Xn；基本結(jié)構(gòu)：原結(jié)構(gòu)去掉n個(gè)多余約束后所得到的靜定結(jié)構(gòu)；基本體系：基本結(jié)構(gòu)在n個(gè)多余未知力X1、X2、Xn和原荷載共同作用下的體系；位移條件：基本體系在每一個(gè)多余約束處沿多余未知力方向的位移與原結(jié)構(gòu)相應(yīng)的位移相等，共有n個(gè)：i= 0(i=1、2、n)應(yīng)用疊加原理：i =i

4、1X1i2X2inXniP+(i=1、2、n)將疊加結(jié)果代入位移條件并展開，得：11 X1 +12X2 + +1nXn +1P=021 X1 +22X2 + +2nXn +2P=0 n1 X1 +n2X2 + +nnXn +nP=02、n次超靜定結(jié)構(gòu)的力法方程2、n次超靜定結(jié)構(gòu)的力法方程11 X1 +12X2 + +1nXn +1P=021 X1 +22X2 + +2nXn +2P=0 n1 X1 +n2X2 + +nnXn +nP=011 X1 +12X2 + +1nXn +1P=021 X1 +22X2 + +2nXn +2P=0 n1 X1 +n2X2 + +nnXn +nP=0力法方程

5、的典型形式(力法典型方程) ij 力法基本結(jié)構(gòu)由單位力Xj =1單獨(dú)作用所引起的Xi 作用點(diǎn)沿Xi 方向的位移；(柔度系數(shù))iP力法基本結(jié)構(gòu)由原荷載單獨(dú)作用所引起的Xi 作用 點(diǎn)沿Xi 方向的位移。 ii 主系數(shù)0 ij (i j) 副系數(shù)= ji iP自由項(xiàng)0 = 002、n次超靜定結(jié)構(gòu)的力法方程11 X1 +12X2 + +1nXn +1P=021 X1 +22X2 + +2nXn +2P=0 n1 X1 +n2X2 + +nnXn +nP=011 X1 +12X2 + +1nXn +1P=021 X1 +22X2 + +2nXn +2P=0 n1 X1 +n2X2 + +nnXn +nP

6、=0力法方程的典型形式(力法典型方程)力法方程也可表示為矩陣形式：11 12 1n21 22 2nn1 n2 nnX1X2Xn1P2PnP+=000柔度矩陣(對稱矩陣)柔度方程力法也稱柔度法方程中每個(gè)系數(shù)都是基本結(jié)構(gòu)在某單位多余未知力作用下的位移。結(jié)構(gòu)的剛度愈小，單位力作用下這些位移的數(shù)值愈大。2、n次超靜定結(jié)構(gòu)的力法方程典型方程中的各系數(shù)和自由項(xiàng)，都是基本結(jié)構(gòu)（靜定結(jié)構(gòu)）在已知力作用下的位移，完全可以用第6章所述方法求得。對于荷載作用下的平面結(jié)構(gòu)，這些位移的計(jì)算式可寫為 ：2、n次超靜定結(jié)構(gòu)的力法方程剪力圖和軸力圖：方法1、利用基本體系為一靜定結(jié)構(gòu)，可直接應(yīng)用平衡條件計(jì)算FQ和FN，并作出F

7、Q圖和FN圖。方法2、利用最后彎矩圖，根據(jù)前幾章彎矩圖與剪力圖的關(guān)系，直接作剪力圖，再根據(jù)剪力圖畫軸力圖。方法3、利用疊加原理： 彎矩圖繪制： 超靜定結(jié)構(gòu)的最后彎矩圖可按疊加法作出，即 ：P2211MXMXMXMMnn+=P2211VXVXVXVVnn+=P2211NXNXNXNNnn+=1、必須滿足幾何不變的條件二、力法基本體系的選擇對對對錯(cuò)錯(cuò)FPqFPqX1X2X3FPqX2X1X3FPqX1X2X3X1X2X3FPqX1X2X3FPq2、便于圖乘、繪制內(nèi)力圖3Pl/165Pl/32M3Pl/165Pl/32M3Pl/165Pl/32M1=11x1+1p= 0X1=1lX1=111=121

8、11=EI Pl/2l/2X12)P1=11x1+1p= 01=11x1+1p= 01）X1P3)PX1X1=1PPl/2MPPPl/4MPPPl/2MPEIPlP24521-=DEIPlP1621-=DEIPlP48531-=D3251111PlXP=D-=d16-31111 PlXP=D-=d1651111PXP=D-=d11=同一結(jié)構(gòu)選不同的基本體系進(jìn)行計(jì)算，則：1）典型方程形式相同；但力法方程代表的物理含義不同；方程中的系數(shù)和自由項(xiàng)不同。2）最后彎矩圖相同；但計(jì)算過程的簡繁程度不同。因此，應(yīng)盡量選取便于計(jì)算的靜定結(jié)構(gòu)為基本體系。同時(shí)應(yīng)盡量使較多的付系數(shù)、自由項(xiàng)為零或便于計(jì)算。2kN/m

9、2kN/mX1X2X1=11X2=112kN/mql2/8圖示連續(xù)梁，各跨的剛度為EI,跨度為a.2kN/m2kN/mX1X2若取基本體系請同學(xué)們自行計(jì)算！基本體系應(yīng)含有較多的基本部分，盡量減小荷載的影響范圍，使M圖只分布在基本結(jié)構(gòu)的某一局部。EI=常數(shù)PX1X211X1=1PPl/4Pll/2l/2l/2l/2ABCD1X2=13、基本結(jié)構(gòu)只能由原結(jié)構(gòu)減少約束而得到，不能增加新的約束對錯(cuò)ABCDABCDX1ABCDX1X17.4超靜定梁、剛架和排架力法求解超靜定結(jié)構(gòu)的步驟(1)選取基本體系。(2)列力法方程。(3)計(jì)算系數(shù)和自由項(xiàng)：作出單位內(nèi)力圖和荷載內(nèi)力圖計(jì)算系數(shù)和自由項(xiàng)。(4)求解力法方

10、程，確定多余未知力。(5)作內(nèi)力圖。內(nèi)力以受彎為主，變形以彎曲變形為主，因此,計(jì)算位移系數(shù)時(shí)一般只計(jì)算位移計(jì)算公式中的彎矩項(xiàng)。1、超靜定梁和剛架例1：作出M圖、FQ圖。lqEIAB解：(1)基本體系qX1X3X2(2)力法方程11 X1 +12X2 +13X3 +1P=021 X1 +22X2 +23X3 +2P=031 X1 +32X2 +33X3 +3P=0(3)系數(shù)與自由項(xiàng)的計(jì)算作出qX1=1lX3=1X2=11ql2/2計(jì)算系數(shù)和自由項(xiàng)。例1：作出M圖、FQ圖。lqEIABqX1X3X2(3)系數(shù)與自由項(xiàng)的計(jì)算作出qX1=1lX3=1X2=11ql2/2計(jì)算系數(shù)和自由項(xiàng)。例1：作出M圖

11、、FQ圖。lqEIABqX1X3X2qX1=1lX3=1X2=11ql2/2(4)求解力法方程？(5)作內(nèi)力圖ql2/12ql2/12ql2/8M圖ql/2ql/2FQ圖111q例2：求圖示剛架 M 圖。1、力法方程MP圖原結(jié)構(gòu)ABCE1I1 lE2I2 lqq基本體系CABX2CABX1=1CACABM1圖M2圖X2=12、求系數(shù)和自由項(xiàng)X11CABM2圖X2=1將求得的系數(shù)代入力法方程就得到：解方程得：3、解方程求出多余力11CAM1圖X1=14. 討論1）當(dāng)k = 0剛架彎矩圖為：可見，柱 AB 相當(dāng)于在橫梁 BC 的 B 端提供了固定約束。BC2）當(dāng)k = 13）當(dāng)k =a) M圖M

12、圖即 E1 I1 很小或 E2 I2 很大ABC剛架彎矩圖如圖 a) 示。即E1I1 很大或E2I2 很小。由于柱AB 抗彎剛度趨近于零，只提供軸向支撐，故梁BC相當(dāng)于簡支梁，M 圖見圖b)。b) M圖 結(jié)論： 在荷載作用下，超靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力只與各桿抗彎剛度EI 的比值 k 有關(guān)，而與桿件抗彎剛度EI 的絕對值無關(guān)。若荷載不變，只要 k 不變，結(jié)構(gòu)內(nèi)力也不變。2、鉸接排架EA=鉸接排架的超靜定次數(shù)=跨數(shù)EA=X1X1X2X2計(jì)算簡圖基本體系系數(shù)與自由項(xiàng)的表達(dá)式為：例3：求圖示鉸接排架在水平風(fēng)荷載作用下的M圖。2m4m12kN/m8kN/mEIEIEI2EI4EI2EI解：(1)基本體系(2)力法方程11 X1 +12X2 +1P=021 X1 +22X2