精選北大附中高考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)函數(shù)與方程

1、北大附中高考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)函數(shù)與方程學(xué)科：數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容：函數(shù)與方程考點(diǎn)梳理一、考試內(nèi)容集合、子集、交集、并集、補(bǔ)集。|ax+b|c(c0)型不等式。一元二次不等式。映射、函數(shù)。分?jǐn)?shù)指數(shù)冪與根式。函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的奇偶性。反函數(shù)，互為反函數(shù)的函數(shù)圖像間的關(guān)系。指數(shù)函數(shù)。對(duì)數(shù)，對(duì)數(shù)的性質(zhì)和運(yùn)算法那么。對(duì)數(shù)函數(shù)，換底公式。簡(jiǎn)單的指數(shù)方程和對(duì)數(shù)方程。二、考試要求1.理解集合、子集、交集、并集、補(bǔ)集的概念。了解空集和全集的意義。了解屬于、包含、相等關(guān)系的意義。能掌握有關(guān)的術(shù)語(yǔ)和符號(hào)，能正確地表示一些較簡(jiǎn)單的集合。2.理解|ax+b|c(c0)型不等式的概念，并掌握它們的解法。了解二次函數(shù)、一元二次不等式

2、及一元二次方程三者之間的關(guān)系，掌握一元二次不等式的解法。3.了解映射的概念，在此根底上理解函數(shù)及其有關(guān)的概念，掌握互為反函數(shù)的函數(shù)圖像間的關(guān)系。4.理解函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性的概念，并能判斷一些簡(jiǎn)單函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性。能利用函數(shù)的奇偶性來(lái)描繪函數(shù)的圖像。5.理解分?jǐn)?shù)指數(shù)冪、根式的概念，掌握分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算法那么。6.理解對(duì)數(shù)的概念，掌握對(duì)數(shù)的性質(zhì)。7.掌握指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的概念及其圖像和性質(zhì)，并會(huì)解簡(jiǎn)單的指數(shù)方程和對(duì)數(shù)方程。三、考點(diǎn)簡(jiǎn)析1.函數(shù)及相關(guān)知識(shí)關(guān)系表2.集合1作用地位“集合是數(shù)學(xué)研究的根本對(duì)象之一。學(xué)習(xí)集合的概念，有助于理解事物的邏輯關(guān)系和對(duì)應(yīng)關(guān)系，加深對(duì)數(shù)學(xué)的抽象特征的理解，也能

3、提高使用數(shù)學(xué)語(yǔ)言的能力。高考試題中，對(duì)集合從兩個(gè)方面進(jìn)行考查：一方面是考查對(duì)集合概念的認(rèn)識(shí)和理解水平，主要表現(xiàn)在對(duì)集合的識(shí)別和表達(dá)上。如對(duì)集合中涉及的特定字母和符號(hào)，元素與集合間的關(guān)系，集合與集合間的比擬，另一方面，那么是考查學(xué)生對(duì)集合知識(shí)的應(yīng)用水平，如求方程組、不等式組及聯(lián)立條件組的解集，以及設(shè)計(jì)、使用集合解決問(wèn)題等。2重點(diǎn)與難點(diǎn)重點(diǎn)是集合的概念和表示法及交、并、補(bǔ)集的運(yùn)算。難點(diǎn)是集合運(yùn)算的綜合運(yùn)用，特別是帶有參數(shù)的不等式解集的討論。3有關(guān)子集的幾個(gè)等價(jià)關(guān)系A(chǔ)B=AAB；AB=BAB；ABC uAC uB；ACuB =CuAB；CuAB=IAB。4交、并集運(yùn)算的性質(zhì)AA=A，A=，AB=BA

4、；AA=A，A=A，AB=BA；Cu (AB)= CuACuB，Cu (AB)= CuACuB；5有限子集的個(gè)數(shù)：設(shè)集合A的元素個(gè)數(shù)是n，那么A有2n個(gè)子集，2n1個(gè)非空子集。3.函數(shù)的性質(zhì)1函數(shù)的概念：定義域、值域、對(duì)應(yīng)法那么、反函數(shù)、復(fù)合函數(shù)、分段函數(shù)；2函數(shù)的性質(zhì)：?jiǎn)握{(diào)性、奇偶性、有界性、極最值性、對(duì)稱性、周期性等；3函數(shù)對(duì)稱性與周期性的幾個(gè)結(jié)論：設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镽，且滿足條件f(a+x)=f(bx)，那么函數(shù)y=f(x)的圖像關(guān)于直線x=對(duì)稱；定義在R上的函數(shù)y=f(x)對(duì)定義域內(nèi)任意x有f(x+a)=f(xb)，那么y=f(x)是以T=a+b為周期的函數(shù)；定義在R上的函數(shù)

5、y=f(x)對(duì)定義域內(nèi)任意x滿足條件f(x)=2bf(2ax)，那么y=f(x)關(guān)于點(diǎn)(a,b)對(duì)稱；假設(shè)y=f(x)既關(guān)于直線x=a對(duì)稱，又關(guān)于x=bab對(duì)稱，那么y=f(x)一定是周期函數(shù)，且T=2|ab|是它的一個(gè)周期；假設(shè)y=f(x)既關(guān)于直線x=a對(duì)稱，又關(guān)于點(diǎn)(b,c)中心對(duì)稱，那么y=f(x)一定是周期函數(shù)，且T=4|ab|是它的一個(gè)周期。4函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性：奇函數(shù)與偶函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，圖像分別關(guān)于原點(diǎn)與y軸對(duì)稱；任意定義在R上的函數(shù)f(x)都可以惟一地表示成一個(gè)奇函數(shù)與一個(gè)偶函數(shù)的和。即f(x)= +假設(shè)奇函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b(0ab)上單調(diào)遞增減，那么f(x)

6、在區(qū)間b,a上也是單調(diào)遞增減；假設(shè)偶函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b0af(b)，那么ab;函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞減，假設(shè)f(a)f(b)，那么a0時(shí)，f(x)在區(qū)間p,q上的最大值M，最小值m，令x0=(p+q)。假設(shè)p，那么f(p)=m,f(q)=M;假設(shè)px0，那么f()=m,f(q)=M;假設(shè)x0q，那么f(p)=M,f()=m;假設(shè)q,那么f(p)=M,f(q)=m。3二次方程的實(shí)根分布條件：二次方程f(x)=0的兩根中一根比r大，另一根比r小af(r)0;二次方程f(x)=0的兩根都大于r二次方程f(x)=0在區(qū)間(p,q)內(nèi)有兩根二次方程f(x)=0在區(qū)間(p,q)內(nèi)只有一根f(p)f

7、(q)0，或檢驗(yàn)或檢驗(yàn)。二次方程f(x)=0的一根小于p，另一根大于q(pq)4二次不等式的轉(zhuǎn)化策略：二次不等式f(x)0的解集是：(,，+a0且f()=f()=0.當(dāng)a0時(shí)，f()|+|;當(dāng)a0時(shí)，f()f() |+|0時(shí)，二次不等式f(x)0在p,q上恒成立或或f(x)0恒成立或f(x)0時(shí)，函數(shù)圖像過(guò)點(diǎn)1，1，0，0，且在第一象限內(nèi)隨x增加，圖像上升；當(dāng)n1時(shí)，在R上是增函數(shù)。當(dāng)0a1時(shí)，在0,+ 上是增函數(shù)。當(dāng)0a1時(shí)，在(0,+ )上是減函數(shù)。6.對(duì)數(shù)運(yùn)算常用公式1a=N2logaM+logaN=loga(MN)3logaMlogaN=loga4logaMn=nloga|M|5log

8、a=loga|M|6loga=loga|M|7logbM=89logablogbc=logac四、思想方法1.求函數(shù)解析式的方法：配方法與代入法。2.求值域的常用方法：觀察法，函數(shù)單調(diào)性法，求逆函數(shù)法，別離法，配方法，換元法，判別式法，不等式法等。3.函數(shù)與方程思想函數(shù)思想，即先構(gòu)造函數(shù)，把給定問(wèn)題轉(zhuǎn)化對(duì)輔助函數(shù)的性質(zhì)研究，得出所需的結(jié)論。方程思想，就是把對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題的認(rèn)識(shí)，歸納為對(duì)方程和方程組的認(rèn)識(shí)。對(duì)于函數(shù)思想，應(yīng)深刻理解一般函數(shù)y=f(x)、的性質(zhì)單調(diào)性、奇偶性、周期性、最值和圖像變換。熟練掌握根本初等函數(shù)的性質(zhì)，是應(yīng)用函數(shù)思想解題的根底。函數(shù)方程思想常同數(shù)形結(jié)合、等價(jià)轉(zhuǎn)化思想相互融合后才

9、能充分發(fā)揮其具體解題的成效。【例題解析】例1 1集合A=x|x2ax+a219=0，集合B=x|log2(x25x+8)=1，集合C=x|m=1,m0，|m|1滿足AB, AC=，求實(shí)數(shù)a的值；(2)集合P=x|x25x+40,Q=x|x22bx+b+20滿足PQ，求實(shí)數(shù)b的取值范圍。解 1由條件即可得B=2，3，C=4，2，由AB，AC=，可知3A，2A。將x=3代入集合A的條件得：a23a10=0a=2或a=5當(dāng)a=2時(shí)，A=x|x2+2x15=0=5,3,符合條件。當(dāng)a=5時(shí),A=x|x25x+6=0=2，3，不符合條件“AC=，故舍去。綜上得：a=2。2顯然P=x|1x4，記f(x)=

10、x22bx+b+2假設(shè)Q為空集，那么由0得：4b24(b+2)0 1b2。假設(shè)Q不是空集，那么應(yīng)滿足 即解之得：2b綜上得：1g(17)=9,g(x)g(20)=36g(x)的最大值為36，最小值為9。3由f(0)=0，及f(0)=f(4)=0，知f(0)在上至少有兩個(gè)解。而在1000，1000上有200個(gè)周期，至少有400個(gè)解。又f(1000)=0所以最少有401個(gè)解。且這401個(gè)解的和為200。注 題中2可根據(jù)函數(shù)圖像的對(duì)稱性、函數(shù)的周期性，通過(guò)作圖得到f(x)= 一般地：當(dāng)x3，2時(shí)，4x2,7f(x)=f(4x)=(x2)2當(dāng)x3,7,f(x)=(x2)2故當(dāng)x3+10k,7+10k,

11、x10k3,7f(x)= (x10k2)2(kz)f(x)= (x10k2)2 x3+10k,7+10k,kZ例3 設(shè)a是正數(shù)，ax+y=2(x0,y0)，記y+3xx2的最大值是M(a)，試求：1M(a)的表達(dá)式；2M(a)的最小值。解 將代數(shù)式y(tǒng)+3xx2表示為一個(gè)字母，由ax+y=2解出y后代入消元，建立關(guān)于x的二次函數(shù)，逐步進(jìn)行分類求M(a)。1設(shè)S(x)=y+3xx2,將y=2ax代入消去y，得：S(x)=2ax+3xx2 =x2+(3a)x+2 =x(3a)2+(3a)2+2(x0)y0 2ax0而a0 0 x下面分三種情況求M(a)(i)當(dāng)03a0)，即時(shí)解得 0a1或2a0)即

12、時(shí)，解得：1a2，這時(shí)M(a)=S()=2a+3 =+(iii)當(dāng)3a0；即a3時(shí)M(a)=S(0)=2綜上所述得：Ma=2下面分情況探討M(a)的最小值。當(dāng)0a1或2a2當(dāng)1a2時(shí)M(a)=+=2()2+1a21當(dāng)=時(shí)，M(a)取小值，即M(a)M2=當(dāng)a3時(shí)，M(a)=2經(jīng)過(guò)比擬上述各類中M(a)的最小者，可得M(a)的最小值是2。注 解題經(jīng)驗(yàn)的積累，有利于解題思路的挖掘，對(duì)參數(shù)a的分類，完全依據(jù)二次函數(shù)頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)3a是否在定義域區(qū)間0，內(nèi)，這樣就引出三種狀態(tài)，找出解題的方案。例4 函數(shù)f(x)=x(pZ)在(0,+)上是增函數(shù)，且在其定義域上是偶函數(shù)。1求p的值，并寫出相應(yīng)的函數(shù)f(x

13、)的解析式。2對(duì)于1中求得的函數(shù)f(x)，設(shè)函數(shù)g(x)=qff(x)+(2q1)f(x)+1，問(wèn)是否存在實(shí)數(shù)q(q0。f(x)在(0,+)上是增函數(shù)，p2+p+0解得：1p3,而pZp=0,1,2當(dāng)p=0或2時(shí)，有f(x)=x不是偶函數(shù)，故p=1，此時(shí),f(x)=x2。2利用函數(shù)單調(diào)性的定義進(jìn)行探索求解。f(x)=x2g(x)=qx4+(2q1)x2+1假設(shè)存在實(shí)數(shù)q(q0)，使得g(x)滿足題設(shè)條件。設(shè)x1x2,那么g(x1)g(x2)=qx14+(2q1)x12+qx24(2q1)x22=(x1+x2) (x2x1) q(x12+x22)(2q1)假設(shè)x1,x2(,4，易知x1+x20,

14、要使g(x)在(,4上是遞減函數(shù)，那么應(yīng)有q(x12+x22)(2q1)0恒成立x132，而q0q( x12+x22)32q從而要使q( x12+x22)2q1恒成立，那么必有2q132q即 q假設(shè)x1,x2(4，)，易知(x1+x2) (x2x1)0恒成立4x10,4x20 x12+x2232，而q32q要使q( x12+x22)2q1恒成立，那么必有2q132q,即 q綜合以上兩方面，得q=故存在實(shí)數(shù)q=，使得g(x)在(,4上是減函數(shù)，且在(4,0)上是增函數(shù)。注 本例是一道綜合性較強(qiáng)的題目。對(duì)于第2小題，還可以從復(fù)合函數(shù)性質(zhì)方面來(lái)考慮，就有如下解法：設(shè)t=x2，由g(x)在(,4上是減

15、函數(shù)，在(4,0)上是增函數(shù)，而t=x2在16，+和(0,16)上都是增函數(shù)，得h(t)=qt2+(2q1)t+1在0，16上是增函數(shù)，在16，+上是減函數(shù)，從而可得=16 q=例5 設(shè)函數(shù)f(x)定義域?yàn)镽，當(dāng)x0時(shí)，f(x)1，且對(duì)任意x,yR，有f(x+y)=f(x)f(y)。1證明：f(0)=1;2證明：f(x)在R上是增函數(shù)；3設(shè)集合A=(x,y)|f(x2)f(y2)0時(shí)，f(x)1。那么設(shè)x=0,y=1得：f(0+1)=f(0)f(1)，即f(1)=f(0)f(1)f(1)1 f(0)=12證明f(x)在R上是增函數(shù)，即證明當(dāng)x1x2時(shí)，有f(x1)f(x2)。對(duì)x1,x2R,x

16、10f(x2)=f(x1+x2x1)=f(x1)f(x2x1)中有f(x2x1)1故要證明f(x2)f(x1)，只要證明f(x1)0即可。事實(shí)上，當(dāng)x10時(shí)，f(x1)10當(dāng)x1=0時(shí)，f(x1)=10當(dāng)x11 0f(x1)0f(x2)=f(x1)f(x2x1)f(x1)，故命題得證。3解 A：f(x2+y2)f(1)，那么由單調(diào)性知x2+y20，得f(x)=，證得f(x)0恒成立。且=f(x2)f(x1)=f(x2x1)1f(x2)f(x1)例6 二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c和一次函數(shù)g(x)=bx，其中a、b、c滿足abc,a+b+c=0(a,b,cR)。1求證：兩函數(shù)的圖像交于不同

17、的兩點(diǎn)A、B；2求線段AB在x軸上的投影A1B1的長(zhǎng)度的取值范圍。解 1證：由消去y，得ax2+2bx+c=0=4b24ac=4(ac)24ac=4(a2+ac+c2)=4(a+)2+c2此證法不夠自然 abc ，c不同時(shí)為00，即兩函數(shù)的圖像交于不同的兩點(diǎn)。2設(shè)方程ax22bx+c=0的兩根為x1和x2，那么x1+x2=,x1x2=|A1B1|2=( x1x2)2=( x1+x2)24x1x2 =()2=4()2+1=4(+)2+abc，a+b+c=0，a0,c0，求證：1pf()0，所以，pf()0時(shí)，由1知f()0，那么f(0)0，又()0 又f()0，所以f(x)=0在,1內(nèi)有解。當(dāng)p

18、0),二次方程f(x)x=0的兩個(gè)根x1與x2滿足0 x1x2。1證明：當(dāng)u(0,x1)時(shí)，uf(u)x1;2假設(shè)f(x0 x)=f(x0+x)，證明：2x0 x1。證法一 1令F(x)=f(x)x，因?yàn)閤1,x2是方程f(x)x=0的根，所以可設(shè)F(x)=a(xx1)(xx2)當(dāng)u0，x1時(shí)， x10，又a0，得F(u)=a(ux1)(ux2)0，即uf(u)x1f(u)=x1(u+F(u) =(x1u)1+a(ux2)0ux1x20,1+a(ux2)=1+auax21ax20，得x1f(u)0。 f(u)x1故當(dāng)u0，x1時(shí)，uf(u)x12依題意得x0=x1,x2是方程f(x)x=0的兩

19、根，即x1,x2是方程ax2+(b1)x+c=0的根，所以x1+x2=x0=ax21, x0=，即2x0 x1。證法二 1方程f(x)x=0的兩根為x1,x2 f(x)x=a(xx1)(xx2)故欲證uf(u)x10f(u)ux1u0a(ux1)(ux2)x1u0a(x2u)00 x2u0)又0ux2, 0 x2u成立。故uf(u)x1成立。2由于方程x1,x2是方程f(x)x=0的根，也即ax2+(b1)x+c=0的兩根。x1+x2=+又0 x2x1+x2=+x1又x0=，故2x00。1求f()及f();2證明f(x)是周期函數(shù)；3記an=f(2n+),求(lnan)。解 1f(1)=f(+)=f()f()=f2()=af()=又f()=f(+)=f2()0 f()=a 同理可得f()=a2f(x)是偶函數(shù)， f(x)=f(x)又f(x)關(guān)于x=1對(duì)稱，f(x)=f(2x)f(x)=f(x)=f2(x)=f(2+x) xR這說(shuō)明f(x)是R上的周期函