數(shù)值計(jì)算方法22

1、Gauss型數(shù)值求積公式正交多項(xiàng)式及其零點(diǎn)數(shù)值微分方法數(shù)值積分與數(shù)值微分應(yīng)用數(shù)值分析 22 高斯型數(shù)值求積公式 考慮兩點(diǎn)插值型求積公式 為使代數(shù)精度盡可能高,取 f(x)=1, x, x2, x3(1) (2) (3) (4)(4)-(2)x02x12= x02(3)-(1) x02x02=1/32/18顯然,A0=1,A1=1.代數(shù)精度為3的數(shù)值求積公式為 對(duì)于a, b區(qū)間上的定積分,構(gòu)造變換t-1, 13/18定義 如果求積結(jié)點(diǎn)x0, x1,xn,使插值型求積公式的代數(shù)精度為2n+1,則稱該求積公式為Gauss型求積公式. 稱這些求積結(jié)點(diǎn)為Gauss點(diǎn). 定理7.2 如果多項(xiàng)式wn+1(x

2、)=(x x0) (x x1)(x xn)與任意的不超過(guò)n次的多項(xiàng)式P(x) 正交，即則, wn+1(x)的所有零點(diǎn)x0, x1 , xn 是Gauss點(diǎn) 證明: 設(shè)f (x)是任意(2n+1)次多項(xiàng)式 , 由多項(xiàng)式除法4/18構(gòu)造插值型求積公式,有 由于 Q(xk)= Q(xk)+wk+1(xk)P(xk) = f (xk) 其中,P(x) ,Q(x) 均為n次多項(xiàng)式. 兩端積分，得其中,所以插值結(jié)點(diǎn)為wn+1(x)的零點(diǎn)5/18例 證明多項(xiàng)式 是1,1上正交多項(xiàng)式. 證: 顯然兩點(diǎn)Gauss公式得Gauss點(diǎn)插值公式:6/18三點(diǎn)Gauss數(shù)值求積公式Legendre多項(xiàng)式遞推式 7/18

3、例.用兩點(diǎn)Gauss公式計(jì)算解:作變換 x = 0.5( t + 1 ), 則取= 0.9460411MATLAB函數(shù): sinint(1)=0.9460830703671838/18例.測(cè)得一個(gè)運(yùn)動(dòng)物體的距離D(t)數(shù)據(jù)如下t 8.0 9.0 10.0 11.0 12.0D(t) 17.45 21.46 25.75 30.30 35.08用數(shù)值微分求速率v(10)9/18Tylor展開(kāi) 方法一階向前差商一階向后差商10/18二階中心差商一階中心差商11/18隱式方法: 設(shè) xk= a + k h ,( k =0,1,n) 值令 mk = f (xk) ( k=0,1,n)k=1,2,n-112/18Lagrange插值函數(shù)方法 xk = x0 + kh (k=0，1，2) 13/1814/18外推算法15/18拉普拉斯方程邊值問(wèn)題 O1x1y xi = i h，( i = 0，1，n) yj = j h，(j = 0，1，n)取 h = 1/n16/18O1x1y( i, j = 1，n-1)n2 102202 402 外推k(次) 152542 1985 694T(秒) 0.219 3.187 47.89 4.344誤差 0.0028 7.1e-004 1.76e-004 6.52e-00617/18體積或表面積計(jì)算18/18x 0= ( x1 + x2 + x3 + x4