誤差分析和數(shù)據(jù)處理

1、誤差分析和數(shù)據(jù)處理電話：，祝大家學(xué)習(xí)愉快，天天進(jìn)步！物理化學(xué)實(shí)驗(yàn)講座2022/8/91 1.3 誤差分析和數(shù)據(jù)處理 1 緒論 1.3 誤差分析和數(shù)據(jù)處理 2022/8/9 1.3 誤差分析和數(shù)據(jù)處理 物理化學(xué)實(shí)驗(yàn)是研究物質(zhì)的物理性質(zhì)以及這些物理性質(zhì)與其化學(xué)反應(yīng)間關(guān)系的一門實(shí)驗(yàn)科學(xué)。在實(shí)驗(yàn)研究工作中，一方面要擬定實(shí)驗(yàn)的方案，選擇一定精度的儀器和適當(dāng)?shù)姆椒ㄟM(jìn)行測(cè)量；另一方面必須將測(cè)得的數(shù)據(jù)加以整理歸納、科學(xué)地分析，并尋求被研究體系變量間的關(guān)系規(guī)律。但由于儀器和感覺(jué)器官的限制，實(shí)驗(yàn)測(cè)得的數(shù)據(jù)只能達(dá)到一定程度的準(zhǔn)確性。因此，在著手實(shí)驗(yàn)之前了解測(cè)量所能達(dá)到的準(zhǔn)確度，以及在實(shí)驗(yàn)以后合理地進(jìn)行數(shù)據(jù)處理，都必

2、須具有正確的誤差2022/8/9 1.3 .有關(guān)數(shù)據(jù)處理的基本概念 概念。在此基礎(chǔ)上通過(guò)誤差分析，尋找適當(dāng)?shù)膶?shí)驗(yàn)方法，選用最適合的儀器及量程，得出測(cè)量的有利條件。1.3.1 有關(guān)數(shù)據(jù)處理的基本概念 1.3.1.1 測(cè)量值、真值和平均值通過(guò)儀器測(cè)量某種物理量，儀器所示值即為測(cè)量值，在一定條件下，被測(cè)物理量客觀存在的值成為真實(shí)值（真值）。真值在不同場(chǎng)合下有不同的含義。包括理論真值、規(guī)定真值和相對(duì)真值。2022/8/9 1.3 .有關(guān)數(shù)據(jù)處理的基本概念 對(duì)于被測(cè)物理量，真值通常是個(gè)未知量，由于誤差的客觀存在，真值一般是無(wú)法測(cè)得的。 測(cè)量次數(shù)無(wú)限多時(shí)，根據(jù)正負(fù)誤差出現(xiàn)的概率相等的誤差分布定律，在不存在

3、系統(tǒng)誤差的情況下，它們的平均值極為接近真值。故在實(shí)驗(yàn)科學(xué)中真值的定義為無(wú)限多次觀測(cè)值的平均值。 但實(shí)際測(cè)定的次數(shù)總是有限的，由有限次數(shù)求出的平均值，只能近似地接近于真值，可稱此平均值為最佳值（或可靠值）。 2022/8/9 1.3 .有關(guān)數(shù)據(jù)處理的基本概念常用的平均值有下面幾種：設(shè)x1、x2、 、xn為各次的測(cè)量值，n 代表測(cè)量次數(shù)。（1）算術(shù)平均值 這種平均值最常用。（1-1）2022/8/9 1.3 .有關(guān)數(shù)據(jù)處理的基本概念（2）均方根平均值（1-2）2022/8/9 1.3 .有關(guān)數(shù)據(jù)處理的基本概念（3）幾何平均值（1-3）2022/8/9 1.3 .有關(guān)數(shù)據(jù)處理的基本概念（4）加權(quán)平均

4、值（1-4）2022/8/91.3 . 1. 誤差的產(chǎn)生1.3.2 誤差的產(chǎn)生 測(cè)量值與真值之間的差值稱為測(cè)量誤差（簡(jiǎn)稱誤差），誤差的產(chǎn)生來(lái)自于以下幾個(gè)方面：（1）系統(tǒng)誤差 系統(tǒng)誤差是由某些固定不變的因素引起的，這些因素影響的結(jié)果永遠(yuǎn)朝一個(gè)方向偏移，其大小及符號(hào)在同一組實(shí)驗(yàn)測(cè)量中完全相同。實(shí)驗(yàn)條件一經(jīng)確定，系統(tǒng)誤差就是一個(gè)客觀上的恒定值，多次測(cè)量的平均值也不能減弱它的影響。誤差隨實(shí)驗(yàn)條件的改變按一定規(guī)律變化。2022/8/91.3 . 1. 誤差的產(chǎn)生 系統(tǒng)誤差主要是因?yàn)閷?shí)驗(yàn)方法本身的限制，使用的儀器不夠精確以及實(shí)驗(yàn)者個(gè)人的習(xí)慣所引起的主觀誤差等因素所造成的，通過(guò)改進(jìn)儀器和實(shí)驗(yàn)裝置，以及提高測(cè)

5、試技能等方法可以減小系統(tǒng)誤差。（2）隨機(jī)誤差 它是由某些不能預(yù)料的因素所造成的。 在相同條件下做多次測(cè)量，其誤差數(shù)值是不確定的，時(shí)大時(shí)小，時(shí)正時(shí)負(fù)，沒(méi)有確定的規(guī)律，這類誤差稱為隨機(jī)誤差或偶然誤差。這類誤差產(chǎn)生原因不明，因而無(wú)法控制和補(bǔ)償。 2022/8/91.3 . 1. 誤差的產(chǎn)生若對(duì)某一量值進(jìn)行足夠多次的等精度測(cè)量，就會(huì)發(fā)現(xiàn)隨機(jī)誤差服從統(tǒng)計(jì)規(guī)律，這種規(guī)律可用正態(tài)分布曲線表示。如圖1-2所示。 隨著測(cè)量次數(shù)的增加，隨機(jī)誤差的算術(shù)平均值趨近于零，所以多次測(cè)量結(jié)果的算術(shù)平均值將更接近于真值。 圖1-2 誤差的正態(tài)分布曲線2022/8/91.3 . 1. 誤差的產(chǎn)生（3）過(guò)失誤差 過(guò)失誤差是一種與

6、實(shí)際事實(shí)明顯不符的誤差，過(guò)失誤差明顯地歪曲試驗(yàn)結(jié)果。誤差值可能很大，且無(wú)一定的規(guī)律。 它主要是由于實(shí)驗(yàn)人員粗心大意、操作不當(dāng)造成的，如讀錯(cuò)數(shù)據(jù)，記錯(cuò)或計(jì)算錯(cuò)誤操作失誤等。在測(cè)量或?qū)嶒?yàn)時(shí)，只要認(rèn)真負(fù)責(zé)是可以避免這類誤差的。存在過(guò)失誤差的觀測(cè)值在實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)整理時(shí)應(yīng)該剔除。 2022/8/91.3.1.3 精密度和準(zhǔn)確度1.3.1.3 精密度和準(zhǔn)確度 測(cè)量的質(zhì)量和水平可以用誤差概念來(lái)描述，也可以用準(zhǔn)確度來(lái)描述。為了指明誤差來(lái)源和性質(zhì)，可分為精密度和準(zhǔn)確度。精密度：在測(cè)量中所測(cè)得的數(shù)值重現(xiàn)性的程度。它可以反映隨機(jī)誤差的影響程度，隨機(jī)誤差小，則精密度高。準(zhǔn)確度：測(cè)量值與真值之間的符合程度。它是測(cè)量中所有系

7、統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差的綜合影響結(jié)果。2022/8/91.3.1.3 精密度和準(zhǔn)確度根據(jù)誤差表示方法的不同，有絕對(duì)誤差和相對(duì)誤差。 （1）絕對(duì)誤差絕對(duì)誤差是指測(cè)量值與真值之差：絕對(duì)誤差=測(cè)量值-真值對(duì)于多次測(cè)量的結(jié)果，使用平均誤差的概念： （1-5）2022/8/91.3.1.3 精密度和準(zhǔn)確度絕對(duì)誤差能表示測(cè)量的數(shù)值是偏大還是偏小以及偏離程度,但不能確切地表示測(cè)量所達(dá)到的準(zhǔn)確程度。準(zhǔn)確程度可以用相對(duì)誤差來(lái)表示。(2)相對(duì)誤差相對(duì)誤差是指絕對(duì)誤差與被測(cè)真值的比值：相對(duì)誤差=絕對(duì)誤差/真值X100%同樣對(duì)于多次測(cè)量，相對(duì)平均偏差： （1-6）2022/8/91.3.1.3 精密度和準(zhǔn)確度 用數(shù)理統(tǒng)計(jì)方

8、法處理實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)時(shí)，常用標(biāo)準(zhǔn)誤差（均方根誤差）來(lái)衡量精密度。標(biāo)準(zhǔn)誤差： （1-7）2022/8/91.3.2 誤差分析 一切物理量的測(cè)定，可分為直接測(cè)量和間接測(cè)量?jī)煞N。直接表示所求結(jié)果的測(cè)量稱為直接測(cè)量，如用天平稱量物質(zhì)的質(zhì)量，用量筒測(cè)量液體的體積等。若所求結(jié)果為數(shù)個(gè)測(cè)量值以某種公式計(jì)算而得，則這種測(cè)量稱為間接測(cè)量。在間接測(cè)量中，每個(gè)直接測(cè)量值的準(zhǔn)確度都會(huì)影響最后結(jié)果的準(zhǔn)確性。 通過(guò)誤差分析，我們可以查明直接測(cè)量的誤差對(duì)結(jié)果的影響情況，從而找出誤差的主要來(lái)源，以便于選擇適當(dāng)?shù)膶?shí)驗(yàn)方法，合理配置儀器；尋求測(cè)量的有利條件。2022/8/91.3.2.1 儀器的精密度1.3.2.1儀器的精確度 誤差分

9、析限于對(duì)結(jié)果的最大可能誤差的估計(jì)，因而對(duì)各直接測(cè)量的量只要預(yù)先知道其最大誤差范圍就夠了。當(dāng)系統(tǒng)誤差已經(jīng)校正，而操作控制又足夠精密時(shí)，通?？梢杂脙x器讀數(shù)精密度來(lái)表示測(cè)量誤差范圍。 如果沒(méi)有精度表示，對(duì)于大多數(shù)儀器來(lái)說(shuō)，最小刻度的1/5可以看作其精密度，如玻璃溫度計(jì)、液柱式壓力（壓差）計(jì)等。 2022/8/91.3.2.1 誤差傳遞1.3.2.2 誤差傳遞(1) 平均誤差與相對(duì)平均誤差的傳遞設(shè)有物理量N，由直接測(cè)量值u1,u2,.un決定： N=f(u1,u2,.un)直接測(cè)量值的平均誤差為：u1, u2,. un，那么N可求得。 （1-8）2022/8/91.3.2.1 誤差傳遞 用各自變量的平

10、均誤差ui代替dui,并考慮最不利的情況下，直接測(cè)量的誤差不能抵消，從而引起誤差的累積，故取絕對(duì)值。上式變?yōu)椋海?-9）上式兩邊同除以N得：（1-10）2022/8/91.3.2.1 誤差傳遞運(yùn)用上式可以討論直接測(cè)量值與結(jié)果的不同函數(shù)關(guān)系時(shí)，誤差的傳遞的計(jì)算。加、減法：N=u1u2u3.（1-11）乘、除法：N=u1.u2或N=u1/u2（1-12）2022/8/91.3.2.1 誤差傳遞乘方、開(kāi)方：N=un（1-13）(2) 間接測(cè)量結(jié)果的標(biāo)準(zhǔn)誤差估計(jì)設(shè)函數(shù)為u=f(,.),式中,的標(biāo)準(zhǔn)誤差分別是，.，則u的標(biāo)準(zhǔn)誤差應(yīng)為： 2022/8/91.3.2.1 誤差傳遞（）2022/8/91.3.

11、3.1 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的記數(shù)法和有效數(shù)字1.3.3.1 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的記數(shù)法和有效數(shù)字 實(shí)驗(yàn)測(cè)量中所使用的儀器儀表只能達(dá)到一定的精度，因此測(cè)量或運(yùn)算的結(jié)果不可能也不應(yīng)該超越儀器儀表所允許的精度范圍。 通常稱所有確定的數(shù)字（不包括表示小數(shù)點(diǎn)位置的“”）和最后不確定的數(shù)字一起為有效數(shù)字。有效數(shù)字只能具有一位可疑值。2022/8/91.3.3.1 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的記數(shù)法和有效數(shù)字例如：用最小分度為cm的標(biāo)尺測(cè)量?jī)牲c(diǎn)間的距離，得到：9140 mm、914.0 cm、9.140 m、0.009140 km，其精確度相同，但由于使用的測(cè)量單位不同，小數(shù)點(diǎn)的位置就不同。有效數(shù)字的表示應(yīng)注意非零數(shù)字前面和后面的零。0.009

12、140km前面的三個(gè)零不是有效數(shù)字，它與所用的單位有關(guān)。非零數(shù)字后面的零是否為有效數(shù)字，取決于最后的零是否用于定位。 2022/8/91.3.3.1 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的記數(shù)法和有效數(shù)字有效數(shù)字的運(yùn)算規(guī)則：1）加、減法運(yùn)算有效數(shù)字進(jìn)行加、減法運(yùn)算時(shí)，各數(shù)字小數(shù)點(diǎn)后所取的位數(shù)位數(shù)與其中位數(shù)最小的相同。2）乘、除法運(yùn)算兩個(gè)量相乘（相除）的積（商），其有效數(shù)字位數(shù)與各因子中有效數(shù)字位數(shù)最少的相同。3）乘方、開(kāi)方運(yùn)算2022/8/91.3.3.1 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的記數(shù)法和有效數(shù)字其結(jié)果可比原數(shù)多保留一位有效數(shù)字。4）對(duì)數(shù)運(yùn)算對(duì)數(shù)的有效數(shù)字的位數(shù)應(yīng)與其真數(shù)相同。 在所有計(jì)算式中，常數(shù),e的數(shù)值的有效數(shù)字位數(shù)，認(rèn)為是無(wú)限

13、制，需要幾位就取幾位。表示精度時(shí)，一般取一位有效數(shù)字，最多取兩位有效數(shù)字。2022/8/91.3.3.1 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的記數(shù)法和有效數(shù)字?jǐn)?shù)值取舍規(guī)則（有時(shí)稱之為“四舍六入五留雙”），常用的“四舍五人”的方法對(duì)數(shù)值進(jìn)行取舍，得到的均值偏大。而用上述的規(guī)則，進(jìn)舍的狀況具有平衡性，變大的可能性與變小的可能性是一樣的。 2022/8/91.3.3.2 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理方法實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)中各變量的關(guān)系的表示可為列表法，圖示法和經(jīng)驗(yàn)公式法。 列表法：將實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)制成表格。它顯示了各變量間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，反映出變量之間的變化規(guī)律。它是進(jìn)一步處理數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)。 圖示法：將實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)繪制成曲線，它直觀地反映出變量之間的關(guān)系，而且為整理

14、成數(shù)學(xué)模型（方程式）提供了必要的函數(shù)形式的直觀表達(dá)。 經(jīng)驗(yàn)公式法：借助于數(shù)學(xué)方法將實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)按一定函數(shù)形式整理成方程，即數(shù)學(xué)模型。 2022/8/91.3.3.2 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理方法(1)列表法在科學(xué)試驗(yàn)中一系列測(cè)量數(shù)據(jù)都是首先列成表格，然后再進(jìn)行其他的處理。表格法簡(jiǎn)單方便，但要進(jìn)行深入的分析，表格就不能勝任了。首先，盡管測(cè)量次數(shù)相當(dāng)多，但它不能給出所有的函數(shù)關(guān)系；其次，從表格中不易看出自變量變化時(shí)函數(shù)的變化規(guī)律，而只能大致估計(jì)出函數(shù)是遞增的、遞減的或是周期性變化的等。列成表格是為了表示出測(cè)量結(jié)果，或是為了以后的計(jì)算方便，同時(shí)也是圖示法和經(jīng)驗(yàn)公式法的基礎(chǔ)。2022/8/91.3.3.2 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處

15、理方法列表法的基本要求：a.應(yīng)有簡(jiǎn)明完備的名稱、數(shù)量單位和因次；b.數(shù)據(jù)排列整齊（小數(shù)點(diǎn)），注意有效數(shù)字的位數(shù)；c.選擇的自變量如時(shí)間，溫度、濃度等，應(yīng)按遞增排列；d.如需要，將自變量處理為均勻遞增的形式，這需找出數(shù)據(jù)之間的關(guān)系，用擬合的方法處理。2022/8/91.3.3.2 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理方法(2)圖示法圖示式的最大優(yōu)點(diǎn)是一目了然，即從圖形中可非常直觀地看出函數(shù)的變化規(guī)律，如遞增性或遞減性，是否具有周期性變化規(guī)律等，也可從圖上獲得如：最大值、最小值，作出切線，求出曲線下包圍的面積等。但是，從圖形上只能得到函數(shù)變化關(guān)系而不能進(jìn)行數(shù)學(xué)分析。圖解的基本要點(diǎn)為：a.在直角坐標(biāo)系中繪制測(cè)量數(shù)據(jù)的圖形時(shí)

16、，應(yīng)以橫坐標(biāo)為自變量，縱坐標(biāo)為對(duì)應(yīng)的函數(shù)量。2022/8/91.3.3.2 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理方法b.坐標(biāo)紙的大小與分度的選擇應(yīng)與測(cè)量數(shù)據(jù)的精度相適應(yīng)。分度過(guò)粗時(shí)，影響原始數(shù)據(jù)的有效數(shù)字，繪圖精度將低于試驗(yàn)中參數(shù)測(cè)量的精度；分度過(guò)細(xì)時(shí)會(huì)高于原始數(shù)據(jù)的精度。坐標(biāo)分度值不一定自零起，可用低于試驗(yàn)數(shù)據(jù)的某一數(shù)值作起點(diǎn)和高于試驗(yàn)數(shù)據(jù)的某一數(shù)值作終點(diǎn)，曲線以基本占滿全幅坐標(biāo)紙為宜，直線應(yīng)盡可能與坐標(biāo)軸成450角。橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)的實(shí)際長(zhǎng)度應(yīng)基本相等。c.坐標(biāo)軸應(yīng)注明分度值的有效數(shù)字和名稱、單位，必要時(shí)還應(yīng)標(biāo)明試驗(yàn)條件，坐標(biāo)的文字書寫方向應(yīng)與該2022/8/91.3.3.2 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理方法坐標(biāo)軸平行，在同一圖上

17、表示不同數(shù)據(jù)時(shí)應(yīng)該用不同的符號(hào)加以區(qū)別。d.實(shí)驗(yàn)點(diǎn)的標(biāo)示可用各種形式，如點(diǎn)、圓、矩形、叉等，但其大小應(yīng)與其誤差相對(duì)應(yīng)。e.曲線平滑方法。由于每一個(gè)測(cè)點(diǎn)總存在誤差，按帶有誤差的各數(shù)據(jù)所描的點(diǎn)不一定是真實(shí)值的正確位置。根據(jù)足夠多的測(cè)量數(shù)據(jù)，完全有可能作出一光滑曲線。決定曲線的走向應(yīng)考慮曲線應(yīng)盡可能通過(guò)或接近所有的點(diǎn)，顧及到所繪制的曲線與實(shí)測(cè)值之間的誤差的平方和最小，此時(shí)曲線兩邊的點(diǎn)數(shù)接近于相等。2022/8/91.3.3.2 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理方法作圖完成后，可以通過(guò)圖形進(jìn)行進(jìn)一步的分析和處理了。 (3)經(jīng)驗(yàn)公式法測(cè)量數(shù)據(jù)不僅可用圖形表示出數(shù)據(jù)之間的關(guān)系，而且可用與圖形對(duì)應(yīng)的一個(gè)公式（解析式）來(lái)表示所有

18、的測(cè)量數(shù)據(jù)，當(dāng)然這個(gè)公式不可能完全準(zhǔn)確地表達(dá)全部數(shù)據(jù)。因此，常把與曲線對(duì)應(yīng)的公式稱為經(jīng)驗(yàn)公式，在回歸分析中則稱之為回歸方程。2022/8/91.3.3.2 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理方法把全部測(cè)量數(shù)據(jù)用一個(gè)公式來(lái)代替，不僅有緊湊扼要的優(yōu)點(diǎn)，而且可以對(duì)公式進(jìn)行必要的數(shù)學(xué)運(yùn)算，以研究各自變量與函數(shù)之間的關(guān)系。建立公式的步驟大致可歸納如下：a.描繪曲線。用圖示法把數(shù)據(jù)點(diǎn)描繪成曲線。 b. 對(duì)所描繪的曲線進(jìn)行分析，確定公式的基本形式。 c.曲線化直。如果測(cè)量數(shù)據(jù)描繪的曲線被確定為某種類型的曲線，盡可能地將該曲線方程變換為直線方程2022/8/91.3.3.2 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理方法，然后按一元線性回歸方法處理。d.確定公

19、式中的常量。代表測(cè)量數(shù)據(jù)的直線方程或經(jīng)曲線化直后的直線方程表達(dá)式為y=a+bx，可根據(jù)一系列測(cè)量數(shù)據(jù)用各種方法確定方程中的常量a和b。e.檢驗(yàn)所確定的公式的準(zhǔn)確性，即用測(cè)量數(shù)據(jù)中自變量值代人公式計(jì)算出函數(shù)值，看它與實(shí)際測(cè)量值是否一致，如果差別很大，說(shuō)明所確定的公式基本形式可能有錯(cuò)誤，則應(yīng)建立另外形式的公式。如果測(cè)量曲線很難判斷屬何種類型，則可按多項(xiàng)式回歸處理。2022/8/91.3.3.2 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理方法(4)回歸分析的基本原理和方法 若兩個(gè)變量x和y之間存在一定的關(guān)系，并通過(guò)試驗(yàn)獲得x和y的一系列數(shù)據(jù)，用數(shù)學(xué)處理的方法得出這兩個(gè)變量之間的關(guān)系式，這就是回歸分析，也稱擬合。所得關(guān)系式稱為經(jīng)驗(yàn)公式，或稱回歸方程、擬合方程。 如果兩變量x和y之間的關(guān)系是線性關(guān)系，就稱為一元線性回歸或稱直線擬合。如果兩變量之間的關(guān)系是非線性關(guān)系，則稱為一元非線性回歸或稱曲線擬合。 這里只介紹一元線性回歸的原理和方法，對(duì)于非線性擬合的方法在“Matlab處理實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)”中介紹