高等量子力學基本原理1

1、 二、 量子力學基本原理1 波函數(shù)的統(tǒng)計解釋原理4 力學量用厄米算符表示2 態(tài)疊加原理5 體系狀態(tài)波函數(shù)可用算符的 本征函數(shù)展開3 體系狀態(tài)波函數(shù)滿足薛定諤方程7 全同性原理6 不確定度關系11 波函數(shù)的統(tǒng)計解釋原理經(jīng)典概念中 1.有一定質(zhì)量、電荷等“顆粒性”的屬性; 粒子意味著 2.有確定的運動軌道，每一時刻有一定 位置和速度。經(jīng)典概念中 1.實在的物理量的空間分布作周期性的變化; 波意味著 2干涉、衍射現(xiàn)象，即相干疊加性。粒子和波的經(jīng)典觀點:2經(jīng)典粒子的圖像在經(jīng)典物理中，粒子的概念抽象為：大小可忽略不計的具有質(zhì)量的對象，即所謂質(zhì)點。 為敘述的方便，可把粒子等同于質(zhì)點。要描述一個質(zhì)點的運動狀

2、態(tài)，我們需要知道（m,x,t） 經(jīng)典波動的圖像 波動是一種集體運動，是由很多粒子參與步調(diào)統(tǒng)一的運動 3微觀粒子因具有波粒二象性，其運動狀態(tài)的描述必有別于經(jīng)典力學對粒子運動狀態(tài)的描述。這就要求在描述微觀粒子的運動時，要有創(chuàng)新的概念和思想來統(tǒng)一波和粒子這樣兩個在經(jīng)典物理中截然不同的物理圖像。 描述自由粒子的波是具有確定能量和動量的平面波deBroglie 波如果粒子處于隨時間和位置變化的力場中運動，他的動量和能量不再是常量（或不同時為常量）粒子的狀態(tài)就不能用平面波描寫，而必須用較復雜的波描寫，一般記為：描寫粒子狀態(tài)的波函數(shù)，它通常是一個復函數(shù)。微觀粒子狀態(tài)的量子描述4(1) 是怎樣描述粒子的狀態(tài)呢

3、？(3) 如何體現(xiàn)波粒二象性的？(2) 描寫的是什么樣的波呢？三個問題？5(1)入射電子流強度小，開始顯示電子的微粒性，長時間亦 顯示衍射圖樣;(2) 入射電子流強度大，很快顯示衍射圖樣.單電子衍射實驗(1)“亮紋”處是到達該處的電子數(shù)多，或講電子到達該處的概 率大。“暗紋”處是到達該處的電子數(shù)少，或講電子到達該 處的概率小。(2)衍射圖樣由電子波動性引起 “亮紋”處表示該處波強度| (r)|2大， “暗紋”處表示該處波強度| (r)|2小， 所以，電子到達屏上各處的概率與波的強度成正比.單電子衍射實驗結果分析6當降低光的強度，發(fā)現(xiàn)光竟然也是由一個一個的粒子-“光子”組成的。當光強極弱時，我們

4、可完成所謂單光子干涉實驗，每個光子對應一個隨機的位置，很多單光子事件累積起來呈現(xiàn)干涉條紋。 光雙縫干涉實驗 7 兩種錯誤的看法（1） 波由粒子組成如水波，聲波，由物質(zhì)的分子密度疏密變化而形成的一種分布。這種看法是與實驗矛盾的，它不能解釋長時間單個電子衍射實驗。電子一個一個的通過小孔，但只要時間足夠長，底片上仍可呈現(xiàn)出衍射花紋。這說明電子的波動性并不是許多電子在空間聚集在一起時才有的現(xiàn)象，單個電子就具有波動性。 波由粒子組成的看法僅注意到了粒子性的一面，而抹殺了粒子的波動性的一面，具有片面性。8（2） 粒子由波組成電子是波包。把電子波看成是電子的某種實際結構，是三維空間中連續(xù)分布的某種物質(zhì)波包。

5、因此呈現(xiàn)出干涉和衍射等波動現(xiàn)象。波包的大小即電子的大小，波包的群速度即電子的運動速度。什么是波包？波包是各種波數(shù)（長）平面波的迭加。 平面波描寫自由粒子，其特點是充滿整個空間，這是因為平面波振幅與位置無關。如果粒子由波組成，那么自由粒子將充滿整個空間，這是沒有意義的，與實驗事實相矛盾。 實驗上觀測到的電子，總是處于一個小區(qū)域內(nèi)。例如一個原子內(nèi)的電子，其廣延不會超過原子大小1 。 物質(zhì)波包的觀點夸大了波動性一面，而抹殺了粒子性一面，也具有片面性。9爭論：微觀粒子是波還是粒子薛定諤：不管是電子也好，光子也好，或者任何粒子也好，都只是波動表面的泡沫，它的本質(zhì)上是波，都可以用波動方程來表達基本的運動方

6、式。海森堡：物理世界的基本現(xiàn)象是離散性，或者說不連續(xù)性。從原子光譜到康普頓散射，從光電現(xiàn)象到原子中電子在能級間的躍遷，都顯示出大自然是不連續(xù)的。薛定諤：粒子就像一個椰子一樣，如果你敲開那堅硬的外殼，你會發(fā)現(xiàn)那里面是波動的柔軟的水汁。電子無疑是由正弦波組成的，但這種波在各個尺度上伸展都不大，可以看成是一個波包。當這種波包做為一個整體前進時，它看起來就像是一個粒子?？墒潜举|(zhì)上它還是波。10電子究竟是什么東西呢？是粒子？還是波？“ 電子既不是粒子也不是波 ”，既不是經(jīng)典的粒子也不是經(jīng)典的波;“ 電子既是粒子也是波，它是粒子和波動二重性矛盾的統(tǒng)一。”這個波不再是經(jīng)典概念的波，粒子也不是經(jīng)典概念中的粒子

7、。1.有一定質(zhì)量、電荷等“顆粒性”的屬性;2有確定的運動軌道，每一時刻有一定 位置和速度。經(jīng)典概念中粒子意味著 1.實在的物理量的空間分布作周期性的 變化; 2干涉、衍射現(xiàn)象，即相干疊加性。經(jīng)典概念中波意味著 11衍射實驗所揭示的電子的波動性是：許多電子在同一個實驗中的統(tǒng)計結果，或者是一個電子在許多次相同實驗中的統(tǒng)計結果。 波函數(shù)正是為了描述粒子的這種行為而引進的，在此基礎上，Born 提出了波函數(shù)意義的統(tǒng)計解釋。 r 點附近衍射花樣的強度 正比于該點附近感光點的數(shù)目， 正比于該點附近出現(xiàn)的電子數(shù)目， 正比于電子出現(xiàn)在 r 點附近的概率。在電子衍射實驗中，照相底片上 玻恩的解釋（1882197

8、0） 1954年諾貝爾物理學獎 12 據(jù)此，描寫粒子的波可以認為是概率波，反映微觀客體運動的一種統(tǒng)計規(guī)律性，波函數(shù)(r)有時也稱為概率波幅. 這就是首先由 Born 提出的波函數(shù)的概率解釋，它是量子力學的基本原理。假設衍射波用 (r) 描述，衍射花紋的強度則用 | (r)|2 描述。| (r)|2 的意義是代表電子出現(xiàn)在 r 點附近概率的大小.確切的說 | (r)|2 xyz 表示在 r 點處，體積元xyz中找到粒子的概率。波函數(shù)在空間某點的強度（振幅絕對值的平方）和在這點找到粒子的概率成比例. 波函數(shù)模的平方 與粒子 時刻在 處附近出現(xiàn)的概率成正比。13 （1）“微觀粒子的運動狀態(tài)用波函數(shù)描

9、述，描寫粒子的波是概率波”，這是量子力學的一個基本假設（基本原理）。 知道了描述微觀粒子狀態(tài)的波函數(shù)，就可知道粒子在空間各點處出現(xiàn)的概率，以后的討論進一步知道，波函數(shù)給出體系的一切性質(zhì)，因此說波函數(shù)描寫體系的量子狀態(tài)（簡稱狀態(tài)或態(tài)）（2）波函數(shù)一般用復函數(shù)表示。（3）波函數(shù)一般滿足連續(xù)性、有限性、單值性。小結14 態(tài)的迭加原理是量子力學的一個基本假設，它的正確性也依賴于實驗的證實。 1. 若 是粒子的可能狀態(tài)，則粒子也可處在它們的線性迭加態(tài) 2.當體系處于 態(tài)時，發(fā)現(xiàn)體系處于 態(tài)的概率是 ，并且2 態(tài)疊加原理15經(jīng)典粒子和量子粒子以及經(jīng)典波與概率波的區(qū)別1、經(jīng)典粒子和量子粒子 相同：局域，不連

10、續(xù) 不同 經(jīng)典：確定的軌道、坐標、動量等 量子：無確定的軌道，概率 2、經(jīng)典波和概率波 相同：均滿足疊加原理 （1）疊加 不同 （3）數(shù)學表達式（2）振幅變化 經(jīng)典：各 觀測時同時出現(xiàn)于 中 量子：各 觀測時不能同時出現(xiàn)于 中 經(jīng)典： 不同狀態(tài) 量子： 同一狀態(tài) 經(jīng)典：實函數(shù)（可測察量） 量子：復函數(shù)（不可測察量） 163 體系狀態(tài)波函數(shù)滿足薛定諤方程微觀粒子運動狀態(tài)用波函數(shù)完全描述，波函數(shù)確定之后，量子力學最核心的問題就是要解決以下兩個問題：(1)在各種情況下，找出描述系統(tǒng)的各 種可能的波函數(shù)； (2)波函數(shù)如何隨時間演化。17Schrodinger 的方程一般表達式薛定諤方程知道體系所受力

11、場和相互作用及初始時刻體系的狀態(tài)后，由Schrodinger方程即可確定以后時刻的狀態(tài)。18當 不顯含時間t 時,體系的能量是守恒量對于一個粒子在勢場 中運動的特殊情況, 有定態(tài)薛定諤方程定態(tài)薛定諤方程：本征能量值譜：本征函數(shù)系：本征波函數(shù)任意狀態(tài) 19判別定態(tài)的方法：（1）能量是否為確定值（2）概率與時間無關（3）概率流密度與時間無關非定態(tài)：一個粒子不是處于能量本征態(tài)，而是若干個能量本征態(tài)的疊加測量粒子的能量時,求和中所包含的能量本征值En都有可能出現(xiàn),出現(xiàn)的概率為稱這種態(tài)為非定態(tài)204 力學量用厄米算符表示 經(jīng)典力學中物質(zhì)運動的狀態(tài)總用坐標、動量、角動量、自旋、動能、勢能、轉動能等力學量描

12、述。 量子力學引入了波函數(shù)這樣一個基本概念，以概率的特征全面地描述了微觀粒子的運動狀態(tài)。但并不能作為量子力學中的力學量。于是，又引入了一個重要的基本概念算符，用它表示量子力學中的力學量。 21什么是算符? 算符代表對波函數(shù)進行某種運算或變換的符號1）du / dx = v ， d / dx 就是算符，其作用 是對函數(shù) u 微商， 故稱為微商算符。2）x u = v， x 也是算符。 它對 u 作用 是使 u 變成 v。由于算符只是一種運算符號，所以它單獨存在是沒有意義的，僅當它作用于波函數(shù)上，對波函數(shù)做相應的運算才有意義，例如：u = v 表示 把函數(shù) u 變成 v， 就是這種變 換的算符。（

13、一）算符的定義與構造22Ex.動能算符 角動量算符 若量子力學中的力學量 在經(jīng)典力學中有相應的力學量，則表示該力學量的算符 由經(jīng)典表示 中將動量 換成動量算符 而得出。 構造力學量算符的規(guī)則：23 （1）以上所述力學量算符規(guī)則是對坐標表象而言；對于動量表象，表示力學量F 的算符是將經(jīng)典表示 中的坐標變量 換成坐標算符（2）對于只在量子理論中才有，而在經(jīng)典力學中沒有的力學量，其算符如何構造的問題另外討論。即 注意24力學量算符坐標表象動量表象坐標算符動量算符力學量算符其中25(二）算符的本征方程、本征值與本征函數(shù)算符 作用在函數(shù) 上，等于一常數(shù) 乘以 此稱為算符 的本征方程 即 稱為其本征值，

14、為其本征函數(shù)。 如果算符 表示力學量 ，那么當體系處于 的本征態(tài)中時，力學量 有確定值，這個值就是 屬于該本征態(tài)的本征值。 該假設給出了表示力學量的算符與該力學量的關系 26算符 之厄密共軛算符 + 定義:可以證明: ( )+ = + + ( .)+ = . + + +（1）復共軛算符與厄密共軛算符算符的復共軛算符 *就是把表達式中 的所有量換成復共軛.例如: 坐標表象中可以證明：(三) 厄密算符27(2) 厄密算符1. 定義: 滿足下列關系 的算符稱為 厄密算符.2. 性質(zhì)性質(zhì) I: 兩個厄密算符之和仍是厄密算符。 即 若 + = , + = 則 (+)+ = + + + = (+) 性質(zhì) II: 兩個厄密算符之積一般不是厄密 算符,